Правило 1,618 не было абсолютным; следующая волна может быть длиннее на 61,8 %, потому что в этом случае длина последующего тренда в 1,618 раз больше, чем предыдущего. Или она может быть длиннее на 38,2 %, потому что это 61,8 % от 61,8 %. Тут много места для маневров, а чем больше места для маневров допускает теория, тем проще описывать то, что уже происходило, с уверенным «Я так и думал!». Честно говоря, постороннему человеку трудно точно осознать, что именно Эллиотт предсказывает и не предсказывает. Волновая теория, как и все теории, разработанные людьми, много времени проводящими в одиночестве, изобилует специфической терминологией: «Треть трети – мощная средняя часть в импульсной волне. Прорыв – импульсная волна после завершения треугольника». Не удовлетворившись решением проблем фондового рынка, последние десять лет жизни Эллиотт посвятил написанию обобщающей монографии, труда всей жизни под названием «Закон природы – секрет Вселенной». (Спойлер: это волны.)
Эта теория могла быть всего лишь еще одной из странных разработок, оказавшихся на свалке финансовой истории наряду с теориями Роджера Бэбсона, который считал[462], что фондовым рынком управляют законы движения Ньютона, предсказал великий крах 1929 года, затем – неминуемый[463] конец Депрессии в 1930 году, основал колледж Бэбсона в Массачусетсе и колледж Утопия в Юрике в Канзасе (это географический центр Соединенных Штатов, где, по его мнению, будет безопасно в случае взрыва атомной бомбы), баллотировался в президенты США от Партии запрета в 1940 году и потратил большую часть денег, заработанных на книгах и статьях о бизнесе, на попытки разработать антигравитационный металл.
Но разница в том, что волновая теория Эллиотта по-прежнему дееспособна. Руководство по техническому анализу от инвестиционного банка Merrill Lynch включает о ней целую главу – «Концепция Фибоначчи», где излагаются обычные рекламные россказни о золотом сечении:
Как и все иные методы анализа[464], отношение Фибоначчи не является надежным на все 100 %. Тем не менее просто невероятно, насколько часто оно предсказывает важные критические точки. Существует множество предположений о том, почему отношение Фибоначчи и его производные постоянно появляются в жизни. Дело в том, что это загадочное отношение часто обнаруживается в природе. Оно повсеместно встречается на картинах Ренессанса, определяя пропорции и перспективу. Оно также выявлено в архитектуре античных греческих храмов – задолго до времени Фибоначчи.
Ваш блумбергский терминал[465] (если у вас достаточно средств, чтобы его иметь) будет рисовать на ваших биржевых диаграммах маленькие «линии Фибоначчи», чтобы вы знали, до какого уровня поднимется цена, прежде чем будет вынуждена повторить предыдущий тренд с масштабом φ (сторонники теории волн называют это коррекциями Фибоначчи). В апреле 2020 года Wall Street Journal предупредил своих читателей[466], что у пострадавшего от коронавируса индекса S&P 500 «впереди, вероятно, еще больше проблем»; цены подскочили на 23 % после того, как рынок достиг в конце марта дна, но коррекции Фибоначчи предсказывали дальнейшие потери. Через два месяца S&P вырос еще на 10 %[467].
У меня есть состоятельная знакомая, которая использует методы Фибоначчи для своих инвестиций. Ее аргументация такова: неважно, работает ли это на самом деле, важно то, что достаточное количество людей думают, что работает, и в результате рынки хоть как-то коррелируют с предсказаниями волн Эллиотта. Волны, как и фея Динь-Динь[468], воплощаются в жизнь теми, кто в них по-настоящему верит. Возможно, моя знакомая права, но подтверждений ее взглядов крайне мало. Если ваш инвестиционный менеджер – приверженец коррекций Фибоначчи, я бы сказал, уж простите, что он некомпетентен.
Что, если мы подправим нашу модель и сделаем северодакотцев немного опаснее? Скажем, каждый инфицированный житель Северной Дакоты будет заражать не одного, а двух человек из своего штата. Если мы начнем, как и ранее, с одного инфицированного в Северной Дакоте и нуля в Южной, то есть:
(1 СД, 0 ЮД),
то в следующем поколении получится два новых инфицированных северодакотца и один новый зараженный южнодакотец:
(2 СД, 1 ЮД).
Затем эти два северодакотца заразят еще четверых жителей Северной Дакоты и двух – Южной, в то время как единственный зараженный южнодакотец заразит одного нового северодакотца:
(5 СД, 2 ЮД).
Теперь число зараженных в Северной Дакоте образует последовательность
1, 2, 5, 12, 29…
в которой каждое число – это сумма удвоенного предыдущего и предпредыдущего. У нее тоже есть название – последовательность чисел Пелля. Это не геометрическая прогрессия, но, как и последовательность Фибоначчи, тоже к ней стремится. Отношение между последовательными членами равно:
2/1 = 2;
5/2 = 2,5;
12/5 = 2,4;
29/12 = 2,416666…
Продвиньтесь в ней подальше, и найдете число 33 461, за которым следует 80 782; отношение этих величин равно 2,4142…, то есть почти точно 1 + √2. И чем дальше вы заберетесь в эту последовательность, тем ближе отношения будут к этой управляющей константе.
Мы бы наблюдали то же самое, если бы каждый житель Северной Дакоты заражал трех жителей своего штата; тогда магическое отношение было бы (3 + √13) / 2, то есть чуть больше 3,3. Или можем расширить нашу исходную модель, добавив в нее штат Небраска[469] и предположив, что каждый житель Небраски заражает одного южнодакотца, каждый южнодакотец – одного небрасканца, а друг друга жители Небраски не инфицируют. Это сложное взаимодействие между тремя штатами дает такую последовательность для числа больных в Северной Дакоте:
1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 33…
У нее нет собственного названия[470], но ее свойства похожи на описанные выше; последовательные отношения ее членов постепенно приближаются к числу 1,7548…, которое, если уж вы настаиваете на точном выражении, равняется:
Подобные закономерности (а не конкретно золотое сечение) будут базовым принципом повсюду. Неважно, сколько штатов вы включите, сколько именно жителей Юты заразит в среднем житель Вайоминга и т. д., – количество инфекций в каждом штате будет стремиться к какой-то геометрической прогрессии[471]. Платон был прав: природа действительно в каком-то смысле к ней благоволит.
Это до странности сложное число, управляющее скоростью геометрического роста, называется собственным значением. Золотое сечение – всего лишь один из вариантов; его приятные свойства проистекают из того факта, что оно – собственное значение очень простой системы. У других систем – другие собственные значения; на самом деле в большинстве систем их больше одного. В самом первом сценарии для Дакот эпидемия состояла из двух разных вспышек: в обоих случаях рост был геометрическим, только в первом еженедельно происходило утроение числа больных, а во втором – удвоение. Со временем начала доминировать более мощная вспышка: суммарное число заболеваний стало примерно геометрической прогрессией со знаменателем 3. В такой ситуации у вас есть два собственных значения – 2 и 3, причем важно наибольшее из них.
В системах, где разные части взаимодействуют между собой, не так просто понять, как разделить процесс на отдельные идеальные геометрические прогрессии. Но вы сможете! Например, вот геометрическая прогрессия, которая начинается с числа, примерно равного 0,7236… а каждый последующий ее член в φ раз больше предыдущего:
0,7236… 1,1708… 1,8944… 3,0652… 4,9596…
А вот еще одна, которая начинается с 0,2764… и имеет отрицательный знаменатель – 0,618… (на самом деле это просто число 1 – φ). У этой последовательности наблюдается экспоненциальное убывание к нулю, а не экспоненциальный рост, как у эпидемий с маленьким показателем R0. (Ну, возможно, не совсем так, поскольку у нас каждое второе число получается отрицательным.)
0,2764… –0,1708… 0,1056… –0,0652… 0,0403…
Сложите эти два геометрических ряда – и произойдет нечто замечательное: хвосты после десятичных точек исчезнут, а вы получите в точности последовательность Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5…
Другими словами, последовательность Фибоначчи – это не геометрическая прогрессия, а сумма двух геометрических прогрессий, одна из которых определяется золотым сечением φ, а другая – числом 1 – φ = –0,618… Это два собственных значения. В долгосрочной перспективе реальное значение имеет только большее из них.
Но откуда взялись эти два числа? Это не какое-то северное и южное собственное значение; каждое из чисел 1,618… и – 0,618… отражает нечто глубокое и глобальное в поведении системы. Это не свойство отдельных частей системы, а результат взаимодействия между ее частями. Алгебраист Джеймс Джозеф Сильвестр (о котором мы скоро расскажем) назвал эти числа скрытыми корнями. Как он ярко объяснял, «скрытыми в том смысле[472], в каком можно сказать, что пар скрыт в воде или дым в табачном листе». К сожалению, англоговорящие математики предпочли наполовину перевести предложенное Давидом Гильбертом слово