Весьма приятное свойство случайных блужданий – то, что у этого вопроса есть ответ. И уходит он корнями во времена Андрея Андреевича Маркова и закона долгих блужданий: если у комара есть конечное множество болот, куда он может приземлиться; если у каждого из болот есть определенное множество связанных с ним других болот; если комар в любой момент выбирает болото, в которое полетит, случайным образом из доступных ему болот, то для него существует какая-то предельная вероятность оказаться в каждом из болот. Иными словами, каждому болоту присваивается определенная процентная доля, и комар, блуждающий долгое время, скорее всего, проведет в каждом болоте почти точно такой процент времени.
Несколько проще понять эту ситуацию на примере игры «Монополия». Это случайное блуждание: ваша фишка перемещается между сорока полями в соответствии с указаниями игрального кубика. В 1972 году Роберт Эш и Ричард Бишоп вычислили предельные вероятности[477] для этой игры. Самым вероятным полем для фишки оказалась тюрьма: там в среднем проводится 11 % всего времени[478]. Но если вы хотите знать, где должны строить дома и отели, вам нужно определить, на какие поля с собственностью фишки попадают с наибольшей вероятностью. Лучше всего поле «Иллинойс-авеню», где фишка проводит 3,55 % времени, что существенно выше, чем те 2,5 %, которых вы могли ожидать при равномерном случайном распределении по сорока имеющимся на доске полям. Конечно же, в любой конкретной партии вы можете вообще не попадать сюда (во всяком случае, так вечно происходит с моими везучими детьми, когда я строю дома на Иллинойс-авеню, подчиняясь законам вероятности). Но в целом, если вы будете отслеживать, куда попадают все игроки во всех играх за длительный промежуток времени, то, согласно закону долгих блужданий, именно к таким долям вы будете приближаться.
Для каждого из сорока полей существует предельная вероятность, и поэтому у вас есть список из сорока чисел. Такая штука называется вектором, но этот вектор не просто вектор, а собственный вектор. Как и собственное значение, он фиксирует нечто присущее долговременному поведению системы, что не очевидно при простом взгляде на нее, нечто скрытое, как дым в табачном листе.
То, что Эш и Бишоп сделали для «Монополии», создатели Google сделали для всего интернета. Точнее, тут надо сказать «делают», потому что в интернете, в отличие от «Монополии», постоянно появляются новые сайты и исчезают старые. Предельная вероятность для сайта дает вам оценку, которую они назвали PageRank, и она отражает истинную геометрию интернета лучше, чем что-либо ранее.
Это действительно осуществляется красиво. Вероятность оказаться в определенном месте интернета – это сложная сумма геометрических прогрессий, как это было с общим количеством зараженных в двух Дакотах, только сейчас у нас не две, а миллиарды Дакот. Кажется, что такое невозможно проанализировать. Однако помните: геометрическая прогрессия может экспоненциально расти, экспоненциально затухать, а на границе между этими вариантами оставаться постоянной. Для описанного случайного блуждания одна из геометрических прогрессий постоянна, а все остальные экспоненциально затухают. Их вклад становится все меньше и меньше по мере блуждания. Мы можем увидеть это даже на примере простого блуждания комара по двум болотам из главы 4. Анализ показал, что треть времени комар проведет на одном из болот. Однако мы можем уточнить: если комар начинает свой путь с болота 1, то вероятность того, что он окажется в болоте 1 через день, равна 0,8, через два дня – 0,66, а через три дня – 0,562[479]; мы можем объединить их в такой ряд:
1, 0,8, 0,66, 0,562, 0,493…
и со временем они будут стремиться к числу 1/3 – долгосрочной вероятности нахождения комара в этом болоте. Эта последовательность не геометрическая прогрессия, а результат (полагаю, это вас уже не удивит) сложения двух прогрессий. Одна их них – постоянная:
1/3, 1/3, 1/3, 1/3, 1/3…
а другая – нет, и каждый ее член на 70 % меньше предыдущего:
2/3, 14/30, 98/300…
Со временем эта вторая прогрессия неумолимо сходится практически к нулю, оставляя лишь постоянный рефрен: 1/3.
Что верно для двух болот, то верно и для миллиардов сайтов. Операция случайного блуждания устраняет все несущественные затруднения с сетью. В конце остается одна постоянная геометрическая прогрессия – единственное неизменное число, в то время как все остальное исчезает, как при удержании клавиши фортепиано остается чистый тон, пока не стихнут гармоники. Оставшееся число – это и есть PageRank.
Столь замысловатое наложение сотен тысяч взаимосвязанных моделей, геометрических прогрессий или чего-нибудь еще более устрашающего поначалу может показаться несколько вычурным, как доньютоновская теория эпициклов, согласно которой движение планет представлялось в виде сложной комбинации круговых движений, когда планета двигалась по кругу, центр которого двигался по другому кругу[480]. Или, если уж на то пошло, как волновая теория Эллиотта с ее маленькими и средними волнами, накладывающимися на ультра-супермегациклы. Однако собственные значения – это настоящая математика, и она повсюду. Они находятся в сердце квантовой механики, и я бы хотел рассказать эту геометрическую историю здесь. Пожалуй, я расскажу одну ее маленькую часть, поскольку она дает мне возможность разместить в конце главы настоящее математическое определение. Хватит неопределенности, давайте вычислять!
Рассмотрим бесконечную последовательность – и не просто бесконечную, а бесконечную в обе стороны:
… 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8…
Такую последовательность можно сдвинуть на одно место влево:
… 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16…
В этом случае происходит нечто очень интересное: сдвиг последовательности на один шаг влево – то же самое, что и удвоение каждого члена. Причина в том, что эта последовательность – геометрическая прогрессия! Если бы я взял прогрессию со знаменателем 3, то сдвиг умножал бы каждый член последовательности на 3. Но если бы я использовал последовательность, не являющуюся геометрической прогрессией, например:
…–2, –1, 0, 1, 2…
то сдвинутый вариант
…–1, 0, 1, 2, 3…
не был бы кратным для исходной последовательности. Последовательности с тем особым свойством, что сдвиг умножает их на какое-то число (то есть геометрические прогрессии), – это собственные последовательности для операции сдвига, а число, на которое умножается такая собственная последовательность, – это собственное значение.
Сдвиг не единственное, что можно сделать с последовательностью. Например, мы можем умножить каждый член на его номер: нулевой член на 0, первый – на 1, второй – на 2, минус первый по порядку – на – 1 и так далее. Давайте назовем эту операцию креном. Если мы проведем крен для нашей геометрической прогрессии (считая нулевым членом 1), то преобразуем
… 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8…
в
…–3/8, –2/4, –1/2, 0, 2, 8, 24…
Эта последовательность не кратна исходной, так что наша геометрическая прогрессия не является собственной последовательностью для преобразования крена. Собственной последовательностью для операции крена будет последовательность вроде этой:
…0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0…
где в позиции 2 стоит единица, а все остальные члены равны нулю.
Проведите крен для этой последовательности, и получите
…0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0…
которая вдвое больше исходной. Поэтому это собственная последовательность для операции крена с собственным значением 2. На самом деле можно показать (вы сможете?), что только последовательности с одним ненулевым членом могут быть собственными последовательностями для преобразования крена. (А как насчет последовательности из одних нулей? Она действительно кратна себе самой хоть при сдвиге, хоть при крене, однако нулевая последовательность не считается; одна из причин – отсутствие способа определить, каким кратным себя она является.)
Возможно, вы слышали, что на нижнем уровне организации материи частица, как правило, не имеет четко определенного положения или импульса, а существует скорее в форме облака неопределенности в отношении того или иного из этих параметров. Можно думать об определении положения как об операции, которую мы можем выполнить над частицей, – точно так же, как совершали операцию сдвига над последовательностью. Если точнее, частица имеет состояние, где фиксируется все о ее текущей физической ситуации, а операция под названием «определение положения» каким-то образом меняет его. Для целей нашего обсуждения неважно, какого рода сущность именуется состоянием[481], но важно, что состояние – это что-то, что можно умножать на число, как последовательность. И точно так же, как собственной последовательностью для операции сдвига была некая последовательность, умножаемая при сдвиге на число, так и собственное состояние для операции определения положения получается путем умножения на число (собственное значение) при такой операции. Оказывается, частица действует так, словно имеет точное положение в пространстве, именно тогда, когда ее состояние является собственным. (И каково же ее положение? Это вы можете узнать с помощью собственного значения.) Однако большинство состояний не являются собственными состояниями, так же как большинство последовательностей – не геометрические прогрессии. Однако, как мы уже видели, более широкий класс последовательностей, например Вираханки – Фибоначчи, часто можно разложить в комбинацию геометрических прогрессий, и так же состояние, не являющееся собственным, можно разложить в комбинацию собственных состояний, где каждое будет иметь собственное значение. Одни собственные состояния проявляются с большей интенсивностью, другие – с меньшей, и именно этот разброс определяет вероятность обнаружить данную частицу в любом конкретном месте.