Аналогичная ситуация и с импульсом частицы: определение импульса – это еще одна операция с состояниями, которую можно представлять как аналог операции крена. Частица с точно определенным значением импульса (а не смутным вероятностным облачком) была бы собственным значением для такого оператора – аналогом собственной последовательности для операции крена.
Итак, у какой же частицы окажутся точно определенными и положение, и импульс? Она была бы аналогом последовательности чисел, которая оказалась бы собственной последовательностью и для сдвига, и для крена. Но такой последовательности не существует! Собственная последовательность для операции сдвига – геометрическая прогрессия. Собственная последовательность для операции крена – последовательность с единственным ненулевым элементом.
Никакая ненулевая последовательность не может одновременно быть и той и другой.
Вот еще один способ доказать этот факт, который еще сильнее приближает нас к квантовой физике. (Оставшаяся часть главы – отличный повод взять бумагу и карандаш, но если вы ее просто бегло прочитаете, я не стану вас осуждать.) Начнем с вопроса: что произойдет, если применить к последовательности обе операции? Скажем, мы начали с последовательности:
Тогда сдвиг дает:
а операция крена, то есть умножения на номер (помните, что число – 3, которое было на первом месте, теперь находится на нулевом месте, число 1 – на минус первом месте и так далее) дает:
Можно было бы назвать эту комбинированную операцию «сдвиг, затем крен» или, для краткости, сдвигокрен[482]. Но почему мы ее делали в таком порядке? Что, если выполнить операцию «сдвиг, затем крен»? Исходная последовательность после операции крена превращается в:
и когда вы затем ее сдвинете, то получите:
Выходит, что креносдвиг – вовсе не то же самое, что сдвигокрен! Мы обнаружили явление, называемое некоммутативностью. Этим вычурным математическим словом обозначается тот факт, что выполнение одного действия, а потом второго не всегда приводит к тому же результату, что и их выполнение в обратном порядке, то есть сперва второе, а затем первое. Школьная математика в основном коммутативна: умножение на 3, а потом на 2 – это то же самое, что умножение на 2, а затем на 3. Некоторые операции в физическом мире тоже коммутативны: например, надевание левой и правой перчаток. В каком порядке их ни надевай, результат будет одинаковым – обе руки в перчатках. Однако попробуйте натянуть туфли раньше носков – и столкнетесь с некоммутативностью.
Но какое отношение это имеет к собственным значениям? Все сводится к разности между креносдвигом и сдвигокреном. Вычтем сдвигокрен из креносдвига:
и получим последовательность:
Но ведь именно с нее мы и начинали! (Ну, если точнее, это – ее сдвиг.) На самом деле неважно, с какой последовательности вы начнете, – разность между креносдвигом и сдвигокреном всегда будет сдвигом первоначальной последовательности. А теперь предположим, что вы каким-то образом умудрились найти загадочную последовательность S, которая является собственной и для операции сдвига, и для операции крена: допустим, например, что сдвиг S – это утроенная S, а крен S – это удвоенная S. В этом случае крен сдвига S – это крен утроенной S, а потому должен быть 6S[483]. Аналогичные рассуждения показывают, что и сдвиг крена S – тоже 6S. Следовательно, разность между креносдвигом и сдвигокреном – это последовательность из одних нулей. Однако эта разность – сама по себе сдвиг S! Стало быть, последовательность S – нулевая, а, как было оговорено ранее[484], ее мы не учитываем.
Идея собственной последовательности – понять, когда такие операции, как сдвиг и крен, действуют подобно умножению. Однако умножения коммутируют между собой, а сдвиг и крен – нет. Вот вам и нестыковка! Операции как бы похожи, но не совсем. С той же нестыковкой столкнулся Уильям Роуэн Гамильтон при определении своих любимых кватернионов. Он хотел рассматривать поворот как своеобразное число, но повороты не коммутировали: результат поворота на 20 градусов вокруг одной оси и последующего поворота на 30 градусов вокруг другой оси оказывался вовсе не тем же самым, что результат тех же двух поворотов, выполненных в обратном порядке. Чтобы получить «числа», моделирующие вращения, ему пришлось отказаться от аксиомы коммутативности. (Разумеется, некоторые повороты могут коммутировать, – например, если производятся вокруг одной оси. Стоит отметить, что в этом случае любая точка на этой общей оси остается неподвижной при обоих поворотах; это собственное направление для обоих поворотов сразу, причем собственное значение в обоих случаях равно 1.)
Ситуация в квантовой физике во многом похожа. Операторы определения положения и импульса не коммутируют. И разница между положением импульса и импульсом положения для состояния частицы – это просто… ну, не само это состояние, а состояние, умноженное на некоторое число, известное как постоянная Планка и обозначаемое ħ[485]. В частности, это означает, что разность не может быть нулевой[486], откуда, в свою очередь, следует, что состояние частицы не может быть собственным одновременно и для оператора определения положения, и для оператора определения импульса. Иными словами, у частицы нельзя одновременно точно определить и положение, и импульс. В квантовой механике это утверждение называется принципом неопределенности Гейзенберга, и он окружен покровом тайны и загадочности. Хотя на деле это всего лишь собственные значения.
Очевидно, мы многое опустили[487]. Мы постоянно говорим, что массу интересных последовательностей можно представить в виде комбинации геометрических прогрессий и что состояние частиц можно разложить как комбинации реальных собственных состояний. Но как на практике это реализовать? Вот пример из более классической части физики. Звуковую волну можно разложить на чистые тона, которые представляют собой собственные значения для какой-то операции; их собственное значение определяется частотой – нотой, которую они дают. Если вы слышите аккорд до мажор, то это комбинация трех собственных волн: с собственным значением до (C), с собственным значением ми (E) и с собственным значением соль (G). Для разделения волны на составляющие собственные значения применяют математический механизм под названием преобразование Фурье. Эта область математики появилась только в XIX веке, и в этой интересной истории переплетаются анализ, геометрия и линейная алгебра.
Однако вы способны услышать отдельные ноты в аккорде, даже если не знаете анализа! Причина в том, что это геометрическое вычисление, на разработку которого у математиков ушли сотни лет, также умеет выполнять изогнутый кусок плоти в вашем ухе, именуемый улиткой[488]. Геометрия существовала в наших телах задолго до того, как мы научились излагать ее на страницах книг.
Глава 13. Складка в пространстве
Одним из первых примеров применения теории случайных блужданий Маркова была работа венгерского математика Дьёрдя Пойа и его ученика Флориана Эггенбергера, посвященная распространению явлений в двумерном пространстве. Игнорируя презрение неистового русского к практической реализации, они использовали марковские процессы[489] для моделирования оспы, скарлатины, крушений поездов и взрывов паровых котлов. Эггенбергер назвал диссертацию «Вероятностная инфекция» (поскольку она была на немецком языке, ученый обошелся одним словом: Wahrscheinlichkeitsansteckung).
Распространение болезни в виде случайного блуждания в пространстве можно представить следующим образом. Предположим, мы начинаем в какой-то точке квадратной сетки, похожей на карту Манхэттена. Точка – это инфицированный вирусом человек. Его личные контакты – это четыре человека в соседних точках сетки. Для максимальной простоты допустим, что каждый человек ежедневно заражает всех людей, которым не повезло быть его соседями.
У каждого человека есть четыре соседа по сетке, поэтому можно подумать, что мы увидим экспоненциально растущую пандемию с R0 = 4. Но это не так. Через день инфицированы пятеро:
через два дня – 13:
а через три – 25:
Получается последовательность: 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113… Она растет быстрее, чем арифметическая прогрессия (разница между соседними членами не постоянна, а увеличивается)[490], но медленнее любой геометрической. Поначалу каждый член превышает предыдущий более чем вдвое, но далее вы видите, что 113/85 – уже всего лишь 1,33.
При построении своей первой модели заболевания мы видели, что случаи заражения росли в геометрической прогрессии. Эта модель другая, потому что мы думаем не только о том, сколько людей инфицировано, но и о том, где и насколько далеко они находятся друг от друга. Мы учитываем геометрию. Геометрия такого рода эпидемии – диагонально ориентированный квадрат[491] с центром в нулевом пациенте, постепенно расширяющийся день ото дня с постоянной скоростью. Это совершенно не то, что мы видели в случае COVID-19, который, казалось, охватил весь мир за несколько недель.
Почему же рост такой медленный? Потому что встреченные вами четыре человека – это не четыре человека, выбранные наугад из всего населения Северной Дакоты, а люди рядом с вами. Если вы – вот этот человек: