Хотя мы могли бы его устроить! Мы можем сделать полюс, где захотим. Например, ничто не мешает нам заявить, что один полюс находится в пустыне Кызылкум в Узбекистане, а другой – в противоположной точке Земли, в южной части Тихого океана. Инженер-программист из Нью-Йорка Гарольд Купер составил такую карту. Почему именно такую? Потому что тогда около дюжины меридианов (или, как называет их Купер, «авеню») проходят вдоль по Манхэттену, а перпендикулярные им параллели – это поперечные улицы. Иными словами, вы можете расширить сетку улиц Манхэттена на остальную часть земного шара[504]. Математический факультет Висконсинского университета находится на углу 5086-й авеню и минус 3442-й Западной улицы, что, возможно, объясняет нашу атмосферу и энергетику.
То, что мы рисуем на своих картах параллели в виде прямых линий, – наследие изобретателя карт Герарда Меркатора[505]. При рождении он был Кремером, но по моде ученых своего времени взял латинизированную версию имени: латинское слово Mercator, как и нижненемецкое слово Kremer, означает «купец, торговец». (Если бы я сделал то же самое, меня звали бы Jordanus Cubitus[506], что звучит неплохо.) Меркатор изучал математику и картографию у фламандского мастера Геммы Фризиуса, написал популярное руководство по начертанию шрифтов, просидел в тюрьме часть 1544 года по подозрению в протестантской ереси, разработал и преподавал курс геометрии в Дуйсбурге, а также создал множество карт. Сегодня его имя известно благодаря карте 1569 года, которую Меркатор назвал Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata («Новое и наиболее полное представление земного шара, приспособленное для использования в навигации»), где он применил то, что мы сейчас называем проекцией Меркатора.
Карта Меркатора была удобна для моряков, поскольку их не волновал кратчайший путь: им было важно не заблудиться. В море вы с помощью компаса можете выдерживать курс под определенным углом к направлению на север (точнее, на магнитный полюс, который от северного не так далеко). В проекции Меркатора меридианы были вертикальными прямыми, параллели – горизонтальными, а все углы на карте – такими же, как и в реальной жизни. Поэтому если курс лежит строго на запад, или на 47 градусов от северного направления, или куда-то еще и вы намерены его придерживаться, то ваш путь (который называется локсодромой) на карте Меркатора будет изображен в виде прямой линии. Если у вас есть карта и транспортир, то вы легко увидите, в какую точку берега приведет вас локсодрома.
Однако карта Меркатора отображает некоторые вещи неверно, ведь меридианы на ней параллельны и не пересекаются. На самом же деле они встречаются дважды – на полюсах. Следовательно, на севере и на юге с картой Меркатора что-то должно происходить не так. Действительно, картограф обрезал свою карту по параллелям, проходящим недалеко от полюсов, чтобы избежать явных искажений Арктики и Антарктики. Чем ближе к полюсам, тем параллели на карте располагаются все дальше и дальше друг от друга, хотя фактически их разделяет одинаковое расстояние. Поэтому объекты в высоких широтах выглядят на изображении больше, чем в реальности. В меркаторовской проекции Гренландия получается величиной с Африку, хотя на самом деле Африка в четырнадцать раз больше.
Нет ли проекции получше? Возможно, вам захочется, чтобы большие круги отображались отрезками прямых (гномоническая проекция), чтобы относительная площадь объектов соответствовала реальной жизни (равноплощадная проекция) и чтобы проекция сохраняла углы (равноугольная (конформная) проекция, к которым относится и меркаторовская). Однако вы не можете сразу получить все эти свойства. Причина – теорема Карла Фридриха Гаусса о пицце. Правда, Гаусс не называл ее так, хотя определенно мог бы назвать, если бы у него в Геттингене XIX века были такие ломтики. Но он назвал ее Theorema Egregium, что на латыни означает «Замечательная теорема». Я не буду утомлять вас точной формулировкой, а просто нарисую изображение.
Гладкая искривленная поверхность, если ее достаточно увеличить, будет выглядеть как одна из этих четырех картинок. Слева мы видим часть сферы, в середине – плоскость и часть цилиндра, справа – нечто типа чипса[507]. Гаусс разработал числовое понятие кривизны; у плоскости и цилиндра кривизна равна 0, у сферической поверхности она положительна, а у чипса – отрицательна. Более сложные поверхности вроде следующей могут иметь положительную кривизну в одних точках и отрицательную – в других.
Оказывается, если вы можете сопоставить одну поверхность с другой так, чтобы сохранялись углы и площади, то сохранится и метрика, – иными словами, геометрия двух поверхностей будет одинакова. Расстояние между двумя точками на одной поверхности будет таким же, как и между соответствующими точками другой поверхности.
«Замечательная теорема» гласит: если вы можете спроецировать одну поверхность на другую таким образом, чтобы геометрия оставалась неизменной (иными словами, если вам разрешено изгибать ее и крутить, но не растягивать), то кривизна должна остаться той же самой. Апельсиновая корка – это кусок сферы, а потому имеет положительную кривизну, следовательно, вы не можете расплющить ее на плоскости, ведь у плоскости кривизна нулевая. А кусок пиццы, вырезанный из плоского круга, имеет нулевую кривизну, и его можно свернуть в цилиндрическую форму нулевой кривизны, загнув кончик:
или завернув с обоих краев:
Однако нельзя сделать и то и другое одновременно[508], поскольку получится чипс. Пицца – это не чипс, и ее нельзя сделать чипсом, поскольку кривизна чипса отрицательная, а не нулевая. Вот почему, когда вы идете по Амстердам-авеню с только что купленным куском пиццы, вы загибаете его края вверх: потому что кривизна пиццы и теорема Гаусса не дадут кончику пиццы загнуться вниз, и горячий сыр не капнет вам на рубашку.
Совершенно не обязательно понимать всю замечательность «замечательной теоремы», чтобы осознать, что нельзя получить карту сферической Земли, которая удовлетворяла бы всем вашим геометрическим требованиям. Эта проблема отражена еще в старой загадке. Охотник проснулся, вылез из палатки и стал искать медведя. Он прошел десять километров на юг – медведя нет; прошел десять километров на восток – медведя тоже нет; прошел десять километров на север и увидел медведя прямо перед своей палаткой.
Вопрос: какого цвета был медведь?
Если вы не знаете этой загадки, вот другая версия. Начните путешествие из Либревиля в Габоне примерно на экваторе, двигайтесь строго на север до Северного полюса, поверните на 90 градусов направо и возвращайтесь на юг, пока не наткнетесь на экватор около городка Батаан на Суматре; наконец, снова поверните на 90 градусов направо и двигайтесь по экватору на запад на четверть его длины, пока не вернетесь обратно в Либревиль.
Вспомните, что наша воображаемая идеальная проекция должна использовать дуги большого круга в качестве прямых. Пройденный путь полностью состоял из дуг больших кругов, поэтому на нашей воображаемой идеальной карте он должен отображаться тремя отрезками, то есть быть треугольником. Однако идеальная карта должна сохранять углы, а мы поворачивали под углом в 90 градусов, значит, и на карте должны получить углы по 90 градусов. Однако треугольник на плоскости не может иметь три прямых угла, так что наша мечта об идеальной карте не сбылась.
Ах да, медведь был белым. Поскольку при описанных условиях палатка должна находиться на Северном полюсе[509], так что это был полярный медведь.
(Ха!)
При переходе от геометрии плоской карты к геометрии сферы уже появляется довольно богатая математика. Однако давайте обратимся к еще более радикальным отклонениям от книги Евклида. Как насчет геометрии кинозвезд? Я не об изгибах и плоскостях их тел (хотя о них написано предостаточно), а о сети, которую образуют их связи при совместной работе. Чтобы актеры обладали геометрией, нам нужна метрика, показывающая, насколько далеко они отстоят друг от друга. Для этого введем расстояние по совместному участию в фильмах. Будем считать, что между двумя актерами есть соединяющее звено, если они снимались в одном фильме. Джордж Ривз снимался в фильме «Отныне и во веки веков» вместе с Джеком Уорденом. Уорден сыграл вместе с Киану Ривзом в фильме «Дублеры». Следовательно, расстояние между Джорджем Ривзом и Киану Ривзом равно 2. Строго говоря, максимум 2, ведь нам надо проверить, нет ли между ними более короткого пути в одно звено (если бы они снимались в одном фильме). Впрочем, Джордж Ривз умер за пять лет до рождения Киану, так что расстояние действительно равно 2.
Однако нам вовсе не обязательно брать киноактеров: такое же расстояние можно определить для любой сети, где происходит совместная работа. На самом деле эту идею намного раньше применили к математикам. Мы считаем, что два математика соединены звеном, если они написали совместную статью. Геометрия математиков стала игрой на вечеринках после того, как Каспер Гоффман написал в 1969 году в журнале American Mathematical Monthly заметку на полстранички под названием «Какое у вас число Эрдёша?». Ваше число Эрдёша – это расстояние до математика Пала Эрдёша, который считается центральным элементом такой сети благодаря своему огромному числу соавторов – 511 по последним подсчетам (несмотря на то что Эрдёш умер в 1996 году, он периодически образует новые звенья, поскольку другие авторы все еще пишут статьи, пользуясь идеями, которые почерпнули во время общения с ним). Эрдёш был знаменитым эксцентричным ученым, который не имел обычного жилья, не умел (или якобы не умел) готовить и стирать