[510], время от времени появляясь в доме у того или иного ученого, доказывая теоремы вместе с хозяином и потребляя лошадиные дозы стимуляторов. (Однажды он отказался присоединиться к группе математиков за чашечкой послеобеденного кофе, объяснив: «У меня есть кое-что получше, чем кофе»[511].)
Ваше число Эрдёша – это длина кратчайшей цепочки, соединяющая вас с венгерским ученым. Если вы – Эрдёш, то ваше число Эрдёша равно 0; если вы не Эрдёш, но написали с ним совместную работу, то ваше число Эрдёша равно 1; если вы не писали совместной статьи, но писали ее с человеком, чье число Эрдёша равно 1, то ваше число Эрдёша равно 2 и так далее. Эрдёш связан практически со всеми математиками, когда-либо писавшими статьи с соавторами, так что число Эрдёша есть практически у каждого математика. Мастер шашек Марион Тинсли имел число Эрдёша 3; у меня оно такое же: в 2001 году я написал статью о модулярных формах с Кристофером Скиннером, который в 1993 году, будучи стажером в Bell Labs, написал статью о дзета-функциях с Эндрю Одлыжко, который написал три статьи с Эрдёшем в 1979–1987 годах. Расстояние между Тинсли и мною равно 4[512]. Мы образуем равнобедренный треугольник.
Этот треугольник выглядит несколько сжатым сверху, потому что Тинсли за свою короткую математическую карьеру написал всего одну совместную статью со своим учеником Стэнли Пейном, так что это звено – и часть цепочки от Тинсли до Эрдёша, и часть цепочки от Тинсли до меня.
А теперь изменим масштаб, чтобы нарисовать 400 000 математиков, которые когда-либо публиковали статьи. Каждую пару соавторов соединим линией-звеном.
Большой кусок на рисунке (на специализированном языке это большая «компонента связности») – это 268 000 математиков, которые каким-то образом соединены с Эрдёшем. То, что похоже на пыль вокруг, – математики, которые никогда не делали совместных публикаций; их примерно 80 000. Остальные математики разбиты на мелкие кластеры, самый большой из которых – это 32 специалиста по прикладной математике из Симферопольского университета в Крыму. Каждый математик в наибольшей компоненте соединен с Эрдёшем цепочкой не более чем из тринадцати звеньев; если у вас вообще есть какое-то число Эрдёша, то оно не превосходит 13.
Может показаться странным, что получилась не куча компонент разной величины, а одна гигантская компонента и множество почти полностью разобщенных математиков-одиночек. Однако мир устроен именно так, и мы знаем об этом факте благодаря самому Эрдёшу. Понятие числа Эрдёша не просто дань общительности ученого; это также дань уважения новаторской работе о статистических свойствах больший сетей, выполненной им совместно с Альфредом Реньи. Вот что они показали. Предположим, у вас есть миллион точек, где под миллионом подразумевается «некое большое число, которое мне незачем уточнять». Допустим, выбрано какое-то число R. Чтобы сделать из этих точек сеть, вы решаете одни пары соединить, а другие – нет; при этом все осуществляется абсолютно случайно – любая пара точек соединяется ребром с вероятностью R на миллион. Скажем, R = 5. Каждую точку можно соединить с миллионом других точек (ну хорошо, с 999 999), но шансы на соединение для каждой всего 5 миллионных. Складывая миллион пятимиллионных, получаем, что каждая точка в среднем соединяется с пятью другими[513]. Число R – среднее число «соавторов» для каждой точки.
Эрдёш и Реньи обнаружили, что существует некое критическое значение. Если R< 1, то сеть практически наверняка распадается на огромное количество несвязных кусков. Однако если R> 1, то с не меньшей уверенностью можно сказать, что получается один гигантский кусок, охватывающий большую часть сети. Внутри этого куска для двух любых точек есть соединяющий путь – как почти у всех математиков есть путь до Эрдёша[514]. Крошечное изменение числа R от 0,9999 до 1,0001 приводит к полному изменению поведения всей сети.
Мы уже видели это. Предположим, что точки – это население Южной Дакоты (а там его как раз около миллиона) и что две точки соединены, если люди контактируют и дышат друг на друга. Это не идеальная модель для распространения инфекции (поскольку не учитывает, что разные люди заразны в разное время), однако вполне приемлемая для консультационной деятельности. Среднее число людей, которых заражает инфицированный человек, равно R; это число срывает свою маску, и оказывается, что оно все время было числом R0. Меньше 1? Болезнь будет локализована в каком-то небольшом фрагменте сети. Больше 1? Она распространится практически повсюду.
Кроме того, Эрдёш знаменит идеей Книги: он любил говорить, что у Бога есть Книга, в которой содержатся самые сжатые, элегантные и наглядные доказательства теорем. Вам не нужно верить в Бога, чтобы верить в Книгу; сам Эрдёш, хотя и вырос в еврейской семье, был далек от религии. Побывав в католическом Университете Нотр-Дам[515], он заметил, что кампус очарователен, но в нем слишком много знаков плюс (то есть крестов)[516]. И тем не менее он пришел практически к тем же взглядам на математическую реальность, что и набожная Хильда Хадсон; она ведь тоже считала, что поистине хорошее доказательство – это случай проявления прямой связи с божественным. Пуанкаре, который не был верующим, но и не насмехался над верой, относился к подобным откровениям более скептически. Он писал, что если бы какое-то трансцендентное существо знало истинную природу вещей, то оно «не смогло бы найти слов[517], чтобы выразить ее; мы не только не можем предвидеть ответ, но, даже если бы он нам был дан, мы бы все равно ничего не поняли».
Игру Эрдёша на киноактеров переключила в 1990-е годы одна группа скучающих студентов колледжа, которые заметили, что актер Кевин Бейкон, похоже, снимался в фильмах со всеми[518]: он был Эрдёшем для Голливуда 1980-х и 1990-х годов. Поэтому для любого киноактера вы можете определить число Бейкона – это расстояние до Кевина Бейкона в геометрии совместных съемок. Как почти у всех математиков есть число Эрдёша, так почти у всех актеров есть число Бейкона[519]. Мое число Бейкона равно 2, поскольку я снимался с Октавией Спенсер в фильме «Одаренная», а она сыграла в 2005 году роль клиентки в фильме «Салон красоты» с певицей Куин Латифой, где Бейкон играл Джорджа. Поэтому мое число Эрдёша – Бейкона: 3 + 2 = 5. Клуб людей с определенным числом Эрдёша – Бейкона довольно мал. Даника Маккеллар, которая подростком играла в телесериале «Чудесные годы» и, по мнению всех моих друзей, учивших ее в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, сделала бы блестящую карьеру в математике, если бы не предпочла актерскую профессию, имеет число Эрдёша – Бейкона, равное 6. Николас Метрополис[520] разработал и дал свое имя одному из важнейших алгоритмов при случайных блужданиях, который помог реализовать мечту Больцмана о понимании свойств газов, жидкостей и твердых тел путем последовательного анализа движения молекул и их бильярдных столкновений. Однако для нас сейчас важнее, что он сыграл эпизодическую роль в фильме Вуди Аллена «Мужья и жены» и тем самым обошел меня с числом Эрдёша – Бейкона: у него оно 2 + 2 = 4[521].
Математики обычно не называют такие сети сетями; мы называем их графами, и они не имеют ничего общего с графиками функций, которые вы, возможно, рисовали в школе. Мы виним в этом химиков. Предельные углеводороды (парафины или алканы) – это вещества, молекулы которых состоят только из атомов углерода и водорода. Самый простой из них – один атом углерода и четыре атома водорода – это метан (газ «коровья отрыжка вызывает глобальное потепление»). Слово «парафин» может напомнить вам о парафиновом воске, различные молекулы которого содержат уже десятки атомов углерода. Химики XIX века определяли, сколько углерода и водорода содержится в каждом соединении, проводя «элементный анализ» (это причудливый способ сказать «подожгите и посмотрите, сколько выделится двуокиси углерода, а сколько воды»). Однако вскоре они начали понимать, что существуют молекулы с одинаковыми формулами, но при этом с разными свойствами. Они пришли к мысли, что дело не только в количестве атомов. Молекулы обладают геометрией. Одни и те же атомы могут располагаться по-разному.
Бутан – вещество, сгорающее в зажигалке Zippo, – имеет формулу C4H10: четыре атома углерода, десять атомов водорода. Эти атомы углерода можно расположить в цепочку:
а можно в виде буквы Y, что дает молекулу под названием изобутан.
Чем больше у нас атомов углерода, тем больше разных геометрий можно построить. Октан, как следует из его названия, содержит восемь атомов углерода: его формула C8H18. В стандартной форме все они выстроены в одну линию. Однако октан, входящий в состав вашего бензина и обеспечивающий плавную езду, выглядит так:
Его научное название – 2,2,4-триметилпентан. Я понимаю, почему на бензоколонках не пишут 2,2,4-триметилпентановое число. Однако обычная номенклатура приводит к довольно странному факту, что у октана крайне низкое октановое число[522].
Молекула – это сеть; точки – атомы, между которыми есть связи. В предельных углеводородах атомы углерода не образуют замкнутого цикла, поэтому сеть атомов углерода – это дерево, как в случае позиций для шашек.