[535] (столь же непостижимом для нас, как наше пространство для предполагаемого плоского червя) каким-то искажениям, аналогичным смятию страницы…». Заметили, что это та же теория, которую излагала миссис Чтотут, только вместо муравья на нити используется книжный червь?
Однажды Сильвестр начал лекцию с извинения: «Красноречивый математик[536] должен по природе вещей оставаться таким же редким явлением, как говорящая рыба», однако это обязательное извинение человека, скорее гордящегося своим умением оперировать словами. Подобно Уильяму Роуэну Гамильтону и Рональду Россу, Сильвестр был поэтом. Он написал, возможно, единственный в истории сонет, адресованный алгебраическому выражению: «Недостающему члену в группе членов в алгебраической формуле»[537]. Сильвестр пошел еще дальше, написав целую книгу «Законы стихосложения», где стремился поставить техническую сторону поэзии на строгую математическую основу. При этом Сильвестр хоть и не сообщает, что когда-либо изучал санскритское стихосложение, принимает ту же точку зрения, что и Вираханка тринадцатью столетиями ранее: ударный слог вдвое длиннее безударного. Для того, что Вираханка называл лагху и гуру, Сильвестр использует музыкальные термины crotchet (четвертная нота) и quaver (восьмая).
Я считаю, что цель Сильвестра – поднять поэзию до уровня математики, а не опустить до него, поскольку Сильвестр определенно думал именно так. Он всю жизнь был противником популярного взгляда на математику как на бессистемную прогулку дедуктивными шагами. Для Сильвестра математика была способом прикоснуться к трансцендентной реальности; чтобы попасть туда, требовалась вспышка интуиции, и только после этого происходило возвращение и строительство логического помоста, чтобы помочь другим тоже туда добраться. Он нападает на традиционную педагогику своего времени, прямо связывая ее с отупляющим англиканским консерватизмом, лишившим его места в академической науке:
Я рано изучил Евклида[538], и это сделало меня ненавистником геометрии, что, я надеюсь, послужит мне оправданием, если я шокировал представления присутствующих в этой комнате (а я знаю, что есть люди, считающие Евклида вторым по святости после самой Библии и одним из форпостов британской конституции) тем тоном, которым ранее упоминал о нем как об учебнике; и тем не менее, несмотря на это отвращение, которое стало моей второй натурой, каждый раз, когда я достаточно глубоко погружался в какой-то математический вопрос, я обнаруживал, что наконец касался геометрического дна.
Он восхищался и Германией, и Америкой, где ощущал тот интеллектуальный ветер, который был невозможен в Англии, и зашел так далеко, что однажды сказал (конечно, перед американской аудиторией: он мог быть невежливым, но не глупцом), что Америка и Германия, несмотря на географию[539], находятся в одном полушарии, а Англия в другом. Тем не менее Сильвестр вернулся в Англию в 1883 году в качестве савильского профессора геометрии[540] в Оксфордском университете; кстати, первым этот пост в свое время занял составитель таблицы логарифмов Генри Бригс. Примерно в то же время Сильвестр посетил молодого Пуанкаре, который в конце XIX века приложил максимум усилий ради освобождения геометрии из евклидовой тюрьмы и настаивал на ее фундаментальном значении для науки.
Недавно я посетил Пуанкаре[541] в его высоком насесте на улице Гей-Люссака в Париже… В присутствии этого могучего хранилища сдерживаемой интеллектуальной силы мой язык поначалу отказался выполнять свои функции, глаза блуждали, и я был в состоянии говорить только спустя некоторое время (может быть, две или три минуты), потраченное на то, чтобы рассмотреть и уловить его внешне юношеские черты.
Впервые за свою долгую жизнь разговорчивый Сильвестр потерял дал речи.
Когда ученый умер в 1897 году, Королевское общество отчеканило в его честь медаль. Первым ее получил Пуанкаре. На ежегодном обеде общества 1901 года он произнес трогательную речь, посвященную старшему коллеге. Сильвестру, несомненно, было бы приятно услышать, как великий геометр восхваляет его математику, говоря, что она обладает «чем-то от поэтического духа Древней Греции».
На обеде присутствовал и сэр Рональд Росс[542]. Представьте, что было бы, если бы он оказался рядом с Пуанкаре и французский математик в духе застольной беседы рассказал ему об одной интересной работе своего студента Башелье по случайным блужданиям на финансовом рынке, а Росс заметил бы связь со своими идеями о блуждающих комарах…
В номере от 15 мая 1916 года журнал для фокусников The Sphinx опубликовал такое объявление:
ЧТЕНИЕ МЫСЛЕЙ НА РАССТОЯНИИ. Вы отправляете по почте какому-нибудь лицу обыкновенную колоду карт, просите его перетасовать их пролистыванием и выбрать одну карту. Затем он возвращает выбранную карту на любое место в колоде и присылает вам только ПОЛОВИНУ колоды, не сообщая, есть ли в ней искомая карта. В ответном письме вы называете карту, которую он выбрал. Цена 2,5 доллара.
ПРИМЕЧАНИЕ. При получении 50 центов я устрою реальную демонстрацию. Тогда, если вы захотите узнать секрет, останется заплатить 2 доллара.
Это объявление разместил Чарльз Джордан, куровод из Петалумы, который в качестве хобби собирал гигантские радиоприемники, а также подрабатывал, выигрывая конкурсы головоломок в газетах. (Он был так хорош[543], что газеты запрещали ему участвовать. Тогда он сколотил группу из нескольких человек, и те отдавали его ответы в обмен на часть прибыли; однажды его схема едва не провалилась, когда одного из его партнеров пригласили в редакцию для проведения тай-брейка[544].) Джордан был также плодовитым изобретателем карточных фокусов. Несмотря на отсутствие математического образования в том смысле, как мы это понимаем, он был пионером в применении математики в фокусах.
Я собираюсь научить вас тому, как читать мысли по почте. Да, я знаю, что фокусник никогда не раскрывает секреты трюков. Но я ведь не фокусник, а преподаватель математики. И секрет трюка Джордана кроется в геометрии тасования карт.
О геометрии тасования карт я узнал от Перси Диакониса, у которого писал дипломную работу. У многих профессиональных математиков довольно предсказуемый путь в науку. Но не у Диакониса – сына мандолиниста и учительницы музыки, сбежавшего из дома в 14 лет, чтобы стать фокусником в Нью-Йорке, затем поступившего в Городской колледж Нью-Йорка, чтобы изучать теорию вероятностей, потому что коллега сказал ему, что это улучшит его карточные навыки. Он встретил Мартина Гарднера, энтузиаста математики и фокусов[545], и тот написал для него рекомендательное письмо, включавшее такие слова: «Я не особо разбираюсь в математике, но этот парень изобрел два лучших карточных фокуса за последние десять лет. Вам следует дать ему шанс». В некоторых местах (например, таких как Принстон) это впечатления не произвело, но в Гарварде работал Фред Мостселлер – не только статистик, но и фокусник-любитель, и Диаконис стал его учеником. Когда я поступил в Гарвард, Перси был там уже профессором.
Вводные математические курсы для аспирантов не имеют в Гарварде определенного учебного плана: профессорам разрешается читать любой материал, который они сочтут подходящим. В осеннем семестре моего первого года обучения алгебру преподавал Барри Мазур, мой будущий научный руководитель, и курс был посвящен его (а позже и моей) области – алгебраической теории чисел. Весной у нас преподавал Диаконис, и целый семестр мы занимались тасованием карт.
Геометрия тасования карт во многом похожа на геометрию кинозвезд и математиков – только она гораздо, гораздо масштабнее. Точки этого пространства – способы, которыми можно упорядочить 52 карты. Сколько существует таких способов? Первую карту из колоды можно выбрать 52 способами. Следующей картой может быть любая из оставшихся в колоде, то есть ее можно выбрать 51 способом. Поэтому всего получается 52 × 51 = 2652 способа выбрать две карты. Третья карта выбирается 50 способами, что дает нам для первых трех карт 52 × 51 × 50 = 132 600 способов. Продолжая в том же духе, мы получим, что количество способов упорядочить 52 карты равно произведению всех чисел от 52 до 1. Это число обычно обозначается 52![546] и читается как «52 факториал», хотя в XIX веке его предлагали назвать «52 восхищение» – в соответствии с типографским знаком. Факториал числа 52 – это 67-значное число, и я не собираюсь загружать вас его точным значением. Но поверьте, оно определенно намного больше, чем число математиков или кинозвезд.
(Конечно, эта геометрия в каком-то наивном смысле меньше, чем геометрия скромного отрезка прямой, где бесконечно много точек!)
Чтобы получить какую-то геометрию, нам нужно понятие расстояния. Вот тут на сцену и выходит тасование. Под ним понимается тасование пролистыванием: вы делите колоду на две части, затем составляете новую стопку, выбирая по одной карте из каждой части слева или справа (необязательно строго чередовать обе стопки). Когда все карты будут выложены, появится новая перетасованная стопка. Обычно это выполняется с помощью приема «ласточкин хвост», когда вы сводите две стопки так, чтобы уголки слегка загибались кверху, а затем отпускаете, и карты начинают чередоваться с успокаивающим звуком «фр-р-р-р-р-р-р». Существуют и другие способы тасовать карты: например, если в одной из двух стопок всего одна карта, то вы можете вставить ее в любое место другой стопки. Это тоже будет пролистывание, хотя, вероятно, в реальной жизни вы так не делаете. Будем говорить, что один порядок карт связан со вторым, если от первого ко второму можно перейти с помощью тасования пролистыванием. Соответственно, расстояние между двумя порядками карт – это количество тасований, которые придется сделать, чтобы добраться от одного порядка до другого.