Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального — страница 63 из 82

Существует около четырех с половиной квадриллионов различных тасований пролистыванием. Это много, но все равно не сравнимо с факториалом числа 52. Поэтому новая колода, вынутая из коробки и перетасованная таким способом один раз, не может дать совершенно произвольный порядок: это может быть только порядок, находящийся на расстоянии 1 от фабричного. В геометрии есть название для множества точек, которые находятся на расстоянии не более 1 от данной точки: мы называем это множество шар[547].

Малый размер шара – это ключ к умению читать мысли по почте. Суть трюка в следующем. Я отправляю вам колоду карт. Вы ее тасуете, делите перетасованную колоду на две стопки, выбираете любую карту из одной стопки, запоминаете ее и вставляете в другую стопку. Теперь возьмите любую из стопок, бросьте на пол, соберите снова, вложите в любом порядке в конверт и отправьте обратно мне. Я дистанционно проникну в ваш разум и вытащу из него ту карту, которую вы выбрали.

Как?

Для простоты изложения предположим, что мы проделываем этот фокус только с бубновой мастью. Вот как тасование выглядит на странице. Вы начинаете с карт в следующем порядке:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т.

Делите карты на две стопки, необязательно одного размера:

2, 3, 4, 5, 6

7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т

и выполняете тасование пролистыванием: – фр-р-р-р-р-р-р:

2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 5, В, 6, Д, К, Т.

Карты перетасованы, но, если присмотреться, можно заметить, что они сохраняют определенную память об исходном порядке. Все начинается с 2, затем прыжок к следующей по старшинству карте 3, затем прыжок к 4 и так далее – пока вам не придется вернуться к следующей по старшинству карте: это произойдет, когда вы доберетесь до 6 бубен. Я выделил жирным шрифтом карты, где вы приземляетесь при первом проходе:

2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 5, В, 6, Д, К, Т.

Теперь вернитесь к первой еще не использованной карте – семерке – и повторите процесс. На этот раз вы охватите все оставшиеся карты. Две эти последовательности карт и есть те две стопки, которые мы смешали вместе тасованием. Неважно, как оно происходило, – колода всегда делится на две подобные возрастающие последовательности.

Теперь предположим, что вы снова делите надвое получившуюся колоду:

2, 3, 7, 4, 8, 9

10, 5, В, 6, Д, К, Т,

перекладываете какую-то карту (например, даму) из одной части в другую:

2, 3, 7, Д, 4, 8, 9

10, 5, В, 6, К, Т

и посылаете одну из стопок по почте мне, умеющему читать мысли.

Вот как работает этот фокус. Когда я получаю карты по почте, я раскладываю их в отдельные последовательности идущих по порядку карт. Если бы вы не переложили карту из одной стопки в другую, то последовательностей было бы две, но поскольку вы переложили одну карту, то их, вероятно, будет три. Если одна из последовательностей состоит из одной карты, то именно ее вы и перекладывали. Если нет, но есть недостающая карта, наличие которой могло бы склеить две последовательности, то перекладывали ее (но она осталась в другой стопке). Давайте посмотрим, как это выглядит в нашем случае. Если вы отправили мне по почте первую стопку, я раскладываю карты в возрастающем порядке:

2, 3, 4, 7, 8, 9, Д

и замечаю, что здесь есть два ряда последовательных карт (2, 3, 4 и 7, 8, 9) и одна карта отдельно. Именно она и есть перемещенная карта – дама.

А если вы отправили мне вторую стопку? Я упорядочиваю карты и получаю:

5, 6, 10, В, К, Т.

Если попробовать разбить их на ряды последовательных карт, то получится три пары. Однако можно заметить, что если бы у вас была еще одна карта, которая отделяет ряд 10, В от ряда К, Т, то вышло бы всего два ряда. Эта недостающая карта – дама.

К сожалению, этот трюк срабатывает не всегда. Что, если вы переложите 10 из второй стопки в первую и пришлете мне первую стопку? Тогда я получу 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10 и разделю их на две возрастающие последовательности: 2, 3, 4 и 7, 8, 9, 10. И в результате не буду иметь ни малейшего понятия, какую карту перекладывали. Когда карт всего тринадцать, такое происходит часто. Но с полной колодой из 52 карт фокус работает почти всегда.

Разумеется, Джордан не отправлял людям колоду в фабричном порядке: в этом случае секрет трюка был бы очевиден. Если вы соберетесь его проделывать, то и вам не следует так поступать. Вам нужно знать, в каком порядке изначально располагалась колода, поэтому выберите его так, чтобы вы могли легко его запомнить. Когда получите обратно половину колоды, расположите ее строго в соответствии с выбранным вами порядком, и переложенная карта сразу же бросится вам в глаза.

Этот трюк возможен потому, что колода, перетасованная перелистыванием, не организована в случайном порядке. Точнее, если пользоваться правильной математической терминологией, это не равномерный случайный порядок: так выражают идею, что не все порядки карт в колоде одинаково вероятны. Математики используют слово «случайный» в более широком смысле: если монета несимметрична и орел выпадает с вероятностью 2/3, то результат ее подбрасывания все равно случаен. Однако равномерности уже не будет, поскольку один из двух результатов подбрасывания более вероятен, чем другой. Даже если на монете два орла, результат подбрасывания в понимании математиков все равно будет случайным! Просто в таком случайном событии один из исходов (орел) будет наблюдаться в 100 % случаев. Вы можете настаивать, что это уже точно не случайность, поскольку результат вообще не зависит от случая. Однако для меня это все равно что сказать: ноль не является числом, потому что он выражает не количество, а его отсутствие. (Даже сейчас эта плохая идея сохраняется в термине «натуральные числа», обозначающем целые числа, начинающиеся с 1. Ненавижу этот термин: нет ничего более натурального, чем 0. Существует множество вещей, которых нет!)

Чем чаще вы перетасовываете колоду, тем более равномерно случайной она становится. Это кажется естественным (и было бы крайне неприятно для всех дилеров блек-джека, если бы дела обстояли иначе), однако доказать это непросто. Одно из первых объяснений[548] можно найти в книге старого доброго Пуанкаре, который отвлекся от геометрии ради статьи по вероятности. Используемая в ней математика во многом та же, что и в основе гугловского PageRank, – закон долгих блужданий. Когда вы наугад блуждаете по пространству всевозможных порядков карт в колоде, память об исходной точке начинает постепенно стираться. Вы могли начать где угодно. Отличие PageRank от карт в том, что одни веб-страницы популярнее других, так что человек, бродящий по интернету, будет проводить на них больше времени, увеличивая их параметр PageRank. В колоде все упорядочения карт одинаково хороши, и если перетасовывать их достаточно долго, то шансы получить тот или иной порядок равны.

Если жертва телепатического трюка Джордана перетасует карты два раза, а не один, то фокус не сработает, – по крайней мере, так, как описано. Это вдохновило Диакониса и его соавтора Дэйва Байера[549] на вопрос: сколько раз нужно перетасовать колоду методом перелистывания, чтобы порядок карт в ней настолько приблизился к равномерному, что трюки с картами станут невозможны?

Оказывается, шестикратного тасования достаточно, чтобы добиться любого порядка карт в колоде. Можно сказать, что 6 – это радиус такой геометрии, то есть наибольшее расстояние, пройденное от центра, пока еще хватает места. Точно так же, как 13 – наибольшее число Эрдёша, которое может быть у математика, 6 – это максимальное число тасований, которое может быть у некоторой перестановки карт. (Как и следовало ожидать, одна из перестановок, где требуется шесть тасований, – та, где все карты расположены в обратном порядке.) Итак, геометрия тасования карт велика, но каким-то образом и мала, подобно миру с межконтинентальными рейсами: различных точек много, но, чтобы добраться из одной в другую, не требуется много шагов.

Однако даже после шести тасований некоторые порядки карт гораздо вероятнее других. Оказывается, никакое количество тасований не делает все порядки абсолютно равновероятными, но вероятности довольно быстро становятся к ним настолько близки, что значимой разницы между ними уже нет. Ни один фокусник, даже самый искусный, уже не сможет определить карту, которую вы перекладывали из одной стопки в другую. Диаконис и Байер смогли измерить эту схождение в сторону равномерности. В математическом мире этот результат называют «теоремой о семи тасованиях», поскольку семь тасований обеспечивают[550] разумную степень перемешивания.

Диаконис интересовался тасованием карт, потому что был фокусником. А чем обусловлен интерес Пуанкаре? Отчасти это связано с физикой. Как и все ученые того времени, Пуанкаре был озадачен проблемой энтропии. Концепция Больцмана, что поведение материи можно вывести из совокупного поведения мириад отдельных молекул, сталкивающихся в соответствии с законами Ньютона, выглядела привлекательной и элегантной. Однако законы Ньютона обратимы во времени: они одинаково работают и вперед, и назад. Почему же тогда в соответствии со вторым законом термодинамики энтропия всегда увеличивается? Если смешать горячий и холодный суп, быстро получится теплый, однако теплый суп никогда самопроизвольно не разделится в тарелке на горячую и холодную половину.

Один ответ исходит из вероятностей. Возможно, дело не в том, что энтропия невозможна, а в том, что она крайне маловероятна. Тасование карт – это тоже обратимый во времени процесс. Скорее всего, вы никогда не тасовали колоду так, чтобы в итоге порядок карт в ней оказался тем же, что и в фабричной упаковке. Однако причина не в невозможности – такое возможно! Просто маловероятно. Точно так же длинная гибкая веревка (например, шнур от наушников) склонна запутываться узлами, когда вы суете ее в карман, – так подсказывает вам жизненный опыт и статья 2007 года с убийственным названием «Самопроизвольное завязывание узлов при встряхивании веревки» (Spont