aneous Knotting of an Agitated String)[551]. Однако причина не в существовании универсального закона об увеличении запутанности, а в наличии для веревки гораздо большего количества способов запутаться, чем распутаться, а потому случайные подергивания вряд ли приведут к редкому состоянию распутывания[552].
Мы снова возвращаемся к лекции Пуанкаре на выставке в Сент-Луисе в 1904 году, в которой он затронул многочисленные кризисы, охватившие физику. В 1890-х Пуанкаре решительно выступал против вторжения вероятности в эту область. Но он не был доктринёром; он боролся с ненравившейся ему теорией, читая курс по ней, и в ходе этого процесса пришел к выводу, что у нее есть свои достоинства. Он сообщил аудитории в Сент-Луисе, что если бы вероятностная точка зрения была верной, то «физический закон приобрел бы совсем иной облик и был бы уже не просто дифференциальным уравнением, а принял бы характер статистического закона»[553].
Тасование карт очень похоже на комара Росса. В обоих случаях мы выполняем последовательность шагов, каждый из которых выбирается случайным образом из определенного числа вариантов. Комар при каждом тиканье часов выбирает, лететь ему на север, запад, юг или восток; колода карт проходит через одно из применимых к ней тасований пролистыванием.
Однако у этих двух геометрий есть и различия. Вспомним, что комар двигается очень медленно. Если он находится в центре сетки 20 × 20, то ему понадобится двадцать дней, чтобы у него появился шанс добраться до угла сетки; при этом реальное случайное отклонение от центра, как мы видели, происходит гораздо медленней. Чтобы положение комара на сетке стало более или менее случайным, нужны сотни перемещений. Колода карт, несмотря на то что число порядков в ней гораздо больше, обходит всю свою геометрию за шесть шагов и практически обеспечивает равномерность за семь.
Одно очевидное отличие состоит в том, что у комара есть четыре направления и перетасовать карты пролистыванием можно четырьмя миллиардами способов. Но скорость обеспечивается не этим. Если из всех четырех миллиардов способов[554] выбрать какие-нибудь четыре и использовать только их, то порядок карт все равно станет случайным очень быстро.
Но есть и принципиальная разница между перемещением комара и тасованием колоды. Первое связано с обычной геометрией пространства. Второе – нет. В этом и разница. Абстрактные геометрии вроде геометрий перетасованных карт, как правило, исследуются гораздо быстрее, чем геометрии из физического пространства. Количество мест, куда можно добраться, растет экспоненциально с количеством сделанных вами шагов, следуя ужасающему закону геометрического роста, а это предполагает, что вы можете попасть куда угодно за короткое время. Кубик Рубика имеет[555] 43 квинтиллиона конфигураций, но из любой из них можно попасть в исходное одноцветное положение всего лишь за 20 ходов. Сотни тысяч публиковавших статьи математиков (за исключением отдельных изолятов) находятся всего в тринадцати шагах от Пала Эрдёша.
Однако математика – это человеческая деятельность, математики – люди, и если честно, то сеть, сильнее всего привлекающая наше внимание, – это сеть людей и их взаимодействий. Она имеет отношение и к распространению пандемии. Что это за сеть? Она больше походит на тасование карт или на блуждающих анофелесов Росса?
Понемногу и на то, и на другое. Большинство людей, на которых вы кашляете, живут непосредственно рядом с вами. Однако существуют и дальние связи: бизнесмен из Уханя летит в Калифорнию, лыжник из северной Италии летит домой в Исландию. Такие дальние связи редки, но имеют большое значение. В теории графов мы называем сети, сочетающие короткие и длинные расстояния, выражением «маленький мир», которое восходит к 1960-м годам и социальному психологу Стэнли Милгрэму[556]. Возможно, Милгрэм наиболее известен экспериментом, где властно побуждал испытуемых бить актеров ложными ударами тока, но в более веселые моменты жизни он изучал и позитивные формы человеческих связей. Он задался вопросом: насколько в геометрии знакомства, где мы считаем двух людей связанными, когда они знакомы друг с другом, вероятно, что их соединяет какая-то цепочка, и если да, то какой она длины? В своей пьесе «Шесть степеней отчуждения» Джон Гуэйр излагает результаты Милгрэма устами одного из персонажей – Уизы, торгующей предметами искусства в Нью-Йорке:
Я где-то прочитала, что всех на этой планете отделяют друг от друга всего лишь шесть других людей. Шесть степеней отчуждения. Между нами и любым жителем планеты. Президентом Соединенных Штатов. Гондольером в Венеции. Впишите любые имена. Я нахожу: a) такую близость невероятно утешительной, б) при этом она похожа на китайскую пытку водой. Потому что вам нужно найти шесть подходящих человек для этой связи. Это не знаменитости. Это кто угодно. Житель тропического леса. Огнеземелец. Эскимос.
Это не совсем то, что обнаружил Милгрэм. Он изучал только американцев, попросив людей из Омахи найти цепочку знакомств, заканчивающуюся конкретным биржевым маклером в Шароне (Массачусетс). И он не обнаружил, что все люди связаны; напротив, всего 21 % жителей Небраски нашли путь к маклеру[557]. Как правило, в цепочке было от 4 до 6 человек, но как минимум в одном случае понадобилось 10 шагов. Пьеса Гуэйра искажает результаты, чтобы исследование служило лучшей метафорой расового беспокойства: белые персонажи пьесы хотят сказать, что являются частью разнообразного современного мира, но им физически больно осознавать, что тропический лес и его жители могут оказаться не так далеко от Верхнего Ист-Сайда на Манхэттене, как они думают. (То отчуждение, которое добавляет Гуэйр к милгрэмовским шести ступеням, конечно же, несет скрытое дополнение «но равенство».) Милгрэм действительно провел дополнительное исследование в 1970 году[558], в котором экспериментаторы просили 540 белых человек в Лос-Анджелесе установить цепочку связей с восемнадцатью людьми в Нью-Йорке, половина из которых была белыми, а половина – черными. Связь между белыми и белыми была успешно установлена примерно в трети случаев, но только каждый шестой из белых калифорнийцев смог найти дорогу к черному адресату.
Эти «Шесть шагов отчуждения» превратились в «Шесть шагов до Кевина Бейкона» – обычное название процесса построения кратчайшего пути до Кевина Бейкона в геометрии кинозвезд. Во время эпидемии COVID-19 в марте 2020 года Бейкон запустил кампанию «Шесть шагов», призвав своих поклонников сохранять социальную дистанцию. В записанном видеоролике он сказал: «Технически я нахожуcь всего в шести шагах от вас[559]. Но я остаюсь дома, поскольку это сохраняет жизни, и это единственный способ замедлить распространение коронавируса».
Сегодня мы можем проводить эксперименты с пошаговым разделением, не обращаясь к людям, пересылающим почтовые открытки, как у Милгрэма. В 2011 году в Facebook♦ [560] насчитывалось примерно 700 миллионов активных пользователей – в среднем по 170 друзей у каждого; и математики из исследовательского подразделения компании имеют доступ ко всей этой мегасети. Выберите наугад двух пользователей в любой точке земного шара: средняя длина кратчайшей цепочки друзей в Facebook♦ между ними будет всего 4,74 (то есть, как правило, между двумя пользователями есть еще три или четыре промежуточных человека). Почти все пары (99,6 %) оказались в пределах шести шагов. Facebook♦ – это граф типа маленького мира[561]. (И становится все теснее[562] по мере увеличения числа пользователей: к 2016 году средняя длина пути еще немного снизилась – до 4,57.) Охват Facebook♦ настолько велик, что его сеть побеждает географическое пространство. Расстояние между случайными пользователями в Соединенных Штатах равно 4,34; между двумя шведскими пользователями – 3,9. Для Facebook♦ мир лишь ненамного больше Швеции.
Анализ такого гигантского графа требует серьезных вычислений. Facebook♦ сообщит вам, сколько у вас друзей, но для анализа пути нужно знать, сколько у вас друзей друзей, а далее – сколько друзей у этих друзей друзей и так далее. Одним словом, требуется еще как минимум несколько итераций. Это усложняет дело: вы не можете просто сложить количество друзей ваших друзей, поскольку они повторяются. Поиск по всему списку повторяющихся имен предполагает сохранение сотни тысяч записей и постоянного обращения к ним, что сильно замедлит вашу работу.
Трюк, позволяющий ускорить процесс, называется алгоритм Флажоле – Мартена. Я не стану вдаваться в детали его действия, а расскажу упрощенную версию. Facebook♦ не скажет вам, сколько у вас друзей друзей, но позволит искать среди них людей, например по имени Констанс. У меня таких 25. Констанс не особо распространенное имя: в тех возрастных группах, куда входит большая часть моего круга общения, это имя носят 100–300 женщин на миллион родившихся в Соединенных Штатах. Если среди друзей моих друзей имя Констанс имеет такое же распространение, как и в среднем по Америке, то это означает, что у меня примерно 85–250 тысяч друзей друзей. Я пробовал сделать то же самое еще для нескольких имен, выбирая редкие, чтобы получить достаточно короткий список: 50 Джеральдов, 18 Чарити. В основном выходило около четверти миллиона, на этой оценке я и остановился.