Исследователи из Университета Дьюка с помощью своих ансамблей показывают, что карта Акта 43 делает именно то, что предсказывал Гэдди. Она сохраняет ассамблею в республиканских руках, если только демократы не выиграют общие выборы с отрывом от 8 до 12 пунктов, а такой перевес в этом разделенном практически пополам штате крайне маловероятен. Как математик я впечатлен. Как избиратель Висконсина чувствую себя немного больным[653].
Я кое-что упустил. Существует огромное количество возможных карт, поэтому мы не можем выбрать лучшую. Тогда почему же мы можем выбрать девятнадцать тысяч из них наугад?
Для этого нам понадобится геометр. Мун Дачин – специалист по геометрической теории групп и профессор математики из Университета Тафтса в Массачусетсе. Его диссертация в Чикагском университете была посвящена случайным блужданиям в пространстве Тейхмюллера[654]. Пусть вас не волнует, что это такое, просто сосредоточьтесь на случайном блуждании – ключ именно в этом. Мы уже видели на примере позиций го, тасования карт и даже в определенной степени на примере комаров, что случайное блуждание, наша старая добрая марковская цепь, – это способ исследовать неконтролируемо огромное количество вариантов.
Вспомните: для случайного блуждания по картам округов нужно знать, с какой карты и на какую вы можете перейти; иными словами, знать, какие карты близки друг к другу. Мы возвращаемся к геометрии, но к геометрии очень высокого и концептуального типа: не геометрии штата Висконсин, а геометрии множества всех способов разбить эту геометрию на 99 частей. Именно ее изучали картографы, чтобы обнаружить нужную им жульническую карту; и именно ее должны исследовать математики, чтобы показать, насколько ужасным выбросом является эта жульническая карта.
О том, какую геометрию использовать в самом штате, разногласий нет. Город Мэдисон близок к деревне Маунт-Хореб, город Мекван – к деревне Браун-Дир. Когда имеешь дело с геометрией всех разбиений на округа, есть масса способов выбора, и оказывается, что выбор важен. Я предпочитаю способ, разработанный Дачином вместе с Дэрилом Дефордом и Джастином Соломоном, под названием ReCom-геометрия[655] (сокращение от слова «рекомбинация»). Случайное блуждание в такой геометрии работает следующим образом.
1. Случайным образом выберите на вашей карте два избирательных округа, граничащих друг с другом.
2. Объедините их в один округ двойного размера.
3. Случайным образом выберите способ разделить этот удвоенный округ пополам, получив тем самым новую карту.
4. Проверьте, не нарушает ли эта новая карта какие-то юридические нормы, и если да, вернитесь к пункту 3 и разделите иным способом.
5. Вернитесь к пункту 1 и начните заново.
Для разбиения карты на округа описанная процедура «разделить и воссоединить» (или рекомбинация), включающая пункты 2 и 3, – то же самое, что тасование для колоды карт. И точно так же как в случае с картами, вы всего за несколько ходов можете добраться до множества самых разных конфигураций. Это маленький мир. Всего семью тасованиями вы могли добиться случайного порядка в колоде. Но, к сожалению, семи рекомбинаций недостаточно, чтобы изучить все пространство разбиений на округа. Сто тысяч рекомбинаций, похоже, справятся с делом; это число выглядит большим, но по сравнению с проблемой сортировки всех разбиений оно ничтожно мало. На своем ноутбуке вы можете провести сотню тысяч рекомбинаций за час. Это даст вам подходящий по размеру ансамбль нейтральных карт, с которыми можно сравнить ту карту, которую подозреваете в джерримендеринге.
Смысл метода ансамбля не в том, чтобы полностью устранить партийный джерримендеринг, равно как и суть дела Рейнольдс против Симса не в том, чтобы избирательные округа равнялись по численности с точностью до одного человека. Каждое решение составителя карты – от защиты действующего политика до помощи в конкурентных выборах – может иметь влияние. Цель не в том, чтобы обеспечить невозможный абсолютный нейтралитет, а в том, чтобы заблокировать вопиющие нарушения.
Вспомните речь Тэда Оттмана перед законодателями-республиканцами о том, что партия обязана воспользоваться возможностью укрепить контроль. Если ваша задача – добиться большинства в законодательном органе и удержать его, а закон позволяет вам играть так грязно, как вам нравится, то грязь – это ваш долг. Ослабление мощи джерримендеринга, определение уровня нечестности, с которым демократия не будет мириться, оказало бы оздоровляющее влияние на весь процесс. Политики охотнее шли бы на разумные компромиссы, если бы вознаграждение за джерримендеринг не было так велико. Если вы не хотите, чтобы дети воровали в магазинах, возможно, не стоит оставлять столько шоколадок так близко к дверям.
Я мог бы обойти вниманием ту часть рекомбинации, где вы делите удвоенный округ на два, но не стану, поскольку это позволит мне вернуть двух персонажей из предыдущей части книги. Прежде всего, участки для голосования в избирательном округе, подобно кинозвездам или атомам в углеводородах, образуют сеть, или граф, если пользоваться термином Джеймса Джозефа Сильвестра. Территории – это вершины графа, и если они граничат друг с другом, то соответствующие вершины соединены ребром. Если участки выглядят так:
то граф так:
Нам требуется найти способ разделить эти участки на две группы, причем нужно гарантировать, что каждая из этих групп образует связную сеть.
Если определить в одну группу A, B, и C, а в другую D, E и F, то все хорошо:
Однако, если взять C, D и F, то останутся A, B и E, которые не образуют связный округ.
Здесь мы оказались на краю целого кипящего кратера в теории графов. Джон Уршел, нападающий клуба «Балтимор Рэйвенс»[656], в 2017 году ушел из спорта и занялся этой темой, поскольку она всегда была ему интересна. Одна из его первых работ[657] после ухода из футбола посвящалась разбиению графов на две связные компоненты с помощью теории собственных значений, о которых мы говорили в главе 12.
Существует масса способов разбить граф на части. Когда он маленький, как представленный выше, можно просто перечислить все возможные разбиения и выбрать одно из списка наугад. Но если граф будет больше, то составлять списки всевозможных разбиений труднее. Есть трюк для случайного выбора, и в нем поучаствуют наши старые знакомые. Предположим, Акбар и Джефф играют в такую игру: по очереди убирают по одному ребру из графа, и проигрывает тот, кто разбивает граф на отдельные компоненты. Например, в графе выше Акбар может убрать ребро AF, Джефф – ребро DF, затем Акбар мог бы удалить ребро EF (но не AB, потому что тогда вершина A отделится от графа, и он проиграет!). После этого Джефф может удалить BF, и теперь Акбар в тупике: какое бы ребро он ни стер, граф разделится на две не связанные между собой части.
Мог ли Акбар сыграть умнее и победить? Нет, потому что у этой игры есть секретное свойство: если оба игрока будут стремиться не делить граф на части, то совершенно неважно, какие ходы вы делаете: игра всегда закончится после четырех ходов, и Акбар всегда проиграет. На самом деле неважно, насколько велика сеть: количество ходов в игре фиксировано. Для этой величины даже есть изящная формула:
число ребер – число вершин + 1.
В начале игры у нас 6 вершин и 9 ребер, так что 9–6 + 1 = 4. В конце игры остается только 5 ребер, и это число уменьшается до 0. То, что осталось от нашей сети, имеет весьма специальную форму: в получившемся графе нет ни одного цикла, хотя в исходном графе вы могли пройти по циклу от A к B, к F и обратно к A. Если бы в графе был какой-нибудь цикл, то вы могли бы удалить одно из его ребер, но граф не распался бы на части. Поэтому в оставшемся в результате нашей игры графе нет никаких циклов, а граф без циклов – это дерево.
Сколько отверстий в этой сети? Это в каком-то смысле вопрос запутанный – подобно вопросу о количестве отверстий в соломинке или в брюках. Однако я уже дал вам на него ответ – в точности написанное выше число: количество ребер минус количество вершин плюс 1. Каждый раз, вырезая ребро из цикла, вы избавляетесь от одного отверстия. Когда больше вырезать нечего, у вас остается граф без отверстий вообще: дерево. Это не просто метафора, а фундаментальный инвариант для любых видов пространства под названием эйлерова характеристика; она очень, очень, очень примерно говорит вам о количестве отверстий[658]. Мы уже встречались с ней, когда считали отверстия в соломинках и штанах. Свои эйлеровы характеристики есть у соломинок, сетей и моделей 26-мерного пространства-времени из теории струн: единая теория охватывает все геометрии – от скромных до космических.
Итак, мы вернулись к геометрии деревьев. Дерево, которое получается в конце описанной игры с вырезанием ребер, называется остовным: остовное дерево графа – это дерево с теми же вершинами и с максимальным вырезанным числом ребер. Такие объекты встречаются в математике постоянно. Если вы построите остовное дерево для квадратной решетки (вроде улиц Манхэттена), то получится нечто знакомое под названием лабиринт. Белые линии на рисунке – это ребра[659]. Если у вас есть под рукой карандаш, то можете убедиться, что лабиринт связный: вы можете проложить путь от любой точки до другой, не покидая белых линий. По сути, существует только один маршрут, который можно проложить без возвращения.
Вы можете также изобразить остовное дерево, где вершины будут точками, а ребра – отрезками прямых; это больше похоже на то, как мы рисовали граф для разбиения избирательных участков.