организации Girls’ Public Day School Company[681], которая финансировала среднее образование женщин. Поскольку я не знал, что автор был англиканским священником, чьи публикации, кроме этого романа, носили преимущественно теологический характер, я, конечно же, не улавливал христианской аллегории, оживляющей всю эту историю: принципы геометрии не навязывают деспотический социальный порядок, а позволяют выйти из него тем, кто готов принять реальность другого мира.
Сила геометрии в этом повествовании состоит в том, что двумерное существо может с помощью чистого разума вывести свойства мира более высоких измерений, который оно не может непосредственно наблюдать. По аналогии с известными ему квадратами наш герой способен вычислить, что у куба должно быть восемь вершин и шесть граней, каждая из которых является квадратом, как и он сам. На этом этапе аналогия с христианством разрушается или становится крайне подрывной, поскольку Квадрат идет дальше и спрашивает сферу, что ей известно о четвертом измерении, о котором можно рассуждать совершенно аналогичным образом. Сфера отвечает, что это смешно, что никакого четвертого измерения не существует и что это глупость.
Известную нам геометрию можно использовать для поддержки традиционных взглядов. Но геометрия, которой мы еще не знаем, представляет собой угрозу. В XVII веке в Италии иезуиты[682] пресекали попытки математиков создать теорию бесконечно малых и вычислять площади и объемы ранее недоступных фигур; все, что выходило за рамки Евклида, считалось подозрительным. В Англии ньютоновское исчисление подвергалось церковным нападкам, и его приходилось защищать. Например, Джеймс Джурин написал книгу «Геометрия, не являющаяся другом неверия, или Защита сэра Исаака Ньютона и британских математиков». Но она станет таким другом, если ваша вера недостаточна! Геометрия (особенно новая) предлагает местоположение авторитета, который соперничает с установленным порядком. В этом смысле она может оказаться дестабилизирующей силой и радикальной мерой.
Рита Дав – поэтесса, получившая Пулицеровскую премию, бывший поэт – лауреат США, профессор английского языка в Вирджинском университете, где в свое время математическими размышлениями занимались Томас Джефферсон и Джеймс Джозеф Сильвестр; однако в начале 1960-х она была закомплексованным ребенком в Акроне (штат Огайо). Ее отец, промышленный химик, был первым чернокожим химиком-исследователем в компании Goodyear Tire[683]. Дав вспоминает:
Мы с братом собирались вместе, чтобы решить домашнее задание по математике[684]. Мы часами пытались решать сложную задачу самостоятельно, прежде чем сдаться и обратиться к отцу, потому что он был настоящим знатоком математики, и, если у нас возникал вопрос по алгебре, он говорил: «Ну, это было бы проще, если бы вы использовали логарифмы». Мы протестовали: «Но мы же ничего не знаем о логарифмах!» Но он все равно доставал логарифмическую линейку, и через пару часов мы знали логарифмы, но вечер был потерян.
Это воспоминание превратилось в стихотворение Flash Cards («Карточки для обучения»)[685].
Карточки для обучения
Я была математиком-вундеркиндом, хранителем
апельсинов и яблок. Что тут непонятного,
говорил мне отец; чем быстрее
я отвечала, тем быстрее они появлялись.
Я могла наблюдать за бутоном на герани учителя,
за пчелой, жужжащей на мокром окне.
Тюльпанное дерево[686]всегда тянулось после сильного дождя,
и я втягивала голову, когда мои ботинки шлепали по дому.
Отец закидывал ноги после работы
и расслаблялся с бокалом виски и «Жизнью Линкольна».
После ужина шло натаскивание, и я поднималась в темноту
перед сном, перед тем как тонкий голос пищал
числа, когда я крутилась на колесе. Я должна была угадывать.
«Десять, – повторяла я, – мне всего лишь десять».
Это стихотворение отображает факты арифметики как авторитет, навязанный сверху. (Вдвойне: там есть и строгий отец, и любящий математику Авраам Линкольн, появляющийся в названии книги.) В стихотворении есть и привязанность. Дав говорит: «Вы также осознаете, что вас любят[687], потому что тратят на вас свое время. Мой отец был тогда очень суров, эти карточки появлялись перед сном. Тогда я их ненавидела, но сейчас я довольна». Однако в конце вы перебираете ногами на колесе в темноте, выдавая ответы как можно быстрее и правильнее. Такова математика в понимании множества школьников.
Большинство выдающихся поэтов не написали ни одного математического стихотворения, а у Дав их целых два. Вот еще одно.
Геометрия
Я доказываю теорему, и дом расширяется[688]:
окна плавно взмывают и парят у потолка,
потолок со вздохом уплывает вдаль,
поскольку стены очищаются от всего,
кроме прозрачности, унося с собой запах гвоздики.
Я под открытым небом,
и над окнами, превратившимися в бабочек,
солнечный свет вспыхивает там, где они пересеклись.
Они устремляются к какой-то точке недоказанной истины.
Какая огромная разница! Там, где арифметика – утомительная работа, геометрия – своеобразное освобождение. Озарение настолько мощное, что раздвигает стены (или делает их невидимыми; это поэзия, и я не думаю, что мы должны углубляться в точную физику подобного сценария). Пересечения плоскостей в пространстве становятся живыми существами, которые могут красиво упорхнуть, даже если вы не можете прикрепить их к двумерной странице. То, что происходит в разуме, когда открывается вот такое доказательство, – это что угодно, но только не утомительная логическая работа.
В геометрии есть нечто особенное – то, ради чего стоит писать стихи. В других местах школьной программы вы в конце концов обязаны полагаться на авторитет учителя или учебника, когда дело касается того, кто воевал во французских или индейских войнах или какова основная продукция Португалии. В геометрии у вас есть собственное знание. Сила в ваших руках.
Именно поэтому флатландцы и итальянские иезуиты справедливо считали геометрию опасной. Она – альтернативный источник авторитета и власти. Теорема Пифагора верна не потому, что Пифагор так сказал, а потому, что мы сами можем доказать, что она верна. Смотри!
Однако истина и доказательство – не одно и то же. Именно на этом и заканчивается стихотворение Дав: «…точке недоказанной истины». Пуанкаре оказывается там же, когда настаивает на необходимой роли интуиции. Он пишет:
Только что сказанного мною достаточно[689], чтобы показать, насколько тщетно было бы пытаться заменить свободную инициативу математика каким-либо механическим процессом. Для получения реально ценного результата недостаточно громоздить вычисления или иметь машину для упорядочивания; ценность заключена не в порядке вообще, а в неожиданном порядке. Машина может хвататься за голый факт, однако душа этого факта всегда будет ускользать от нее.
Мы используем формальное доказательство в качестве опоры, чтобы расширить возможности нашей интуиции, однако это было бы лестницей в никуда, если бы мы не использовали его, чтобы добраться до места, которое мы каким-то необъяснимым образом могли увидеть.
Мы, математики, представляемся миру людьми, чьи знания вечны и неоспоримы, поскольку мы все это доказали. Доказательство – важный инструмент для нас, мерило нашей уверенности, так же как это было для Линкольна. Однако суть не в этом. Суть в понимании вещей. Нам нужны не просто факты, а души фактов. Именно в момент понимания, когда стены стали прозрачными, а потолок улетает, мы и творим геометрию.
Несколько лет назад российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Это была не единственная гипотеза Пуанкаре, но именно она связывается с его именем, поскольку оказалась трудной, а попытки справиться с ней, как правило, приводили к появлению новых интересных идей; вот так действительно хорошая гипотеза оправдывает себя.
Я не собираюсь точно формулировать гипотезу Пуанкаре. Она касается трехмерных пространств, но не обязательно нашего; скорее Пуанкаре спрашивает о несколько более геометрически богатых трехмерных пространствах – пространствах, которые можно искривлять и сгибать[690]. Представьте, что Квадрат, вынутый из Флатландии его трехмерным гостем, обнаружил бы, что плоскость, на которой он жил, – на самом деле поверхность сферы[691] или вообще какого-нибудь сложного пончика, а затем сказал бы своему новому другу: а что, если ваш трехмерный мир на самом деле имеет какую-то сложную форму, видимую только из четвертого измерения? Как вы могли бы об этом судить?
Вот один из способов узнать, живете вы на пончике или на сфере. На поверхности пончика можно сделать замкнутую петлю из эластичной веревки так, чтобы ее нельзя было стянуть в точку, сколько бы вы ни пытались. Сфера – другое дело: любая веревочная петля на поверхности стягивается в точку.