Трудновато представить себе это в нашем трехмерном пространстве, но почему бы не попробовать? Веревочную петлю, которую вы держите в руке, наверняка можно стянуть в точку, не покидая Вселенной.
Но как насчет космического корабля, который удаляется от Земли на много гигапарсеков, а потом возвращается домой? Если представите его путь в космосе как длинную-длинную петлю, очевидно ли, что можно стянуть ее в точку? Геометрия Вселенной в таких масштабах так же недоступна нашим прямым наблюдениям, как и мелкомасштабные странности внутри электрона.
Пуанкаре понял, что понятие о таких стягиваемых и нестягиваемых петлях играет фундаментальную роль. Его гипотеза заключалась в том, что есть только один вид трехмерного пространства без нестягиваемых петель – то, с которым мы знакомы. Убедитесь, что все петли можно стянуть, и вы знаете все, что нужно знать о форме пространства.
Честно говоря, Пуанкаре не строил в точности таких предположений. Он просто спросил в статье 1904 года (года выставки), так ли это, не останавливаясь ни на одном из двух вариантов. Возможно, от конкретики его удержал консервативный характер, а может быть, тот факт, что четырьмя годами ранее он высказал другую подобную гипотезу, которая, как он сам признал в работе 1904 года, оказалась полностью неверна. Такое встречается чаще, чем вы думаете. Даже великие математики высказывают множество ложных предположений. Если вы никогда их не делаете, значит, не высказываетесь о достаточно сложных вещах.
Перельман ответил на вопрос Пуанкаре, используя такие методы, которые французский математик едва ли мог вообразить. Его доказательство поднимается на уровень выше, используя геометрию всех геометрий, позволяя загадочному трехмерному пространству без петель течь через пространство всех пространств, пока оно не станет стандартным трехмерным пространством, которое мы знаем и любим.
Это не простое доказательство.
Однако новые идеи из работы Перельмана обусловили огромную волну работ с этими абстрактными потоками и расширили понимание математиков о том, какой может быть геометрия. Сам Перельман в этом не участвовал[692]. Бросив свою бомбу, он уединился в своей маленькой квартирке в Санкт-Петербурге, отказавшись и от медали Филдса, и от премии в миллион долларов, учрежденной Институтом Клэя за решение этой проблемы.
Позвольте предложить мысленный эксперимент. Что, если бы гипотезу Пуанкаре доказал не российский геометр-интроверт, а машина? Скажем, внук внука «Чинука», который, вместо того чтобы разбираться с шашками, взялся бы за эту задачу трехмерной геометрии.
Предположим также, что доказательство (подобно идеальной стратегии «Чинука» для шашек) было бы чем-то совершенно непонятным для человеческого разума, цепочкой чисел или формальных символов, правильность которой мы можем проверить, но не можем понять ни в каком значимом смысле.
Тогда, несмотря на тот факт, что одна из самых известных проблем геометрии была бы решена, а истинность гипотезы раз и навсегда установлена, мне было бы все равно. Абсолютно! Поскольку суть не в том, чтобы знать, что истинно, а что ложно. Истина и ложь не так уж интересны. Это факты без души. Уильям Тёрстон, выдающийся современный специалист по неевклидовым трехмерным геометриям и разработчик грандиозной стратегии классификации всех таких геометрий, которую успешно завершила работа Перельмана, не имел времени для промышленного взгляда на математику как фабрику истин: «Мы не пытаемся выполнить какую-то абстрактную норму по производству определений, теорем и доказательств[693]. Мера нашего успеха – позволяет ли людям то, что мы делаем, лучше понимать математику и думать о математике более ясно и эффективно». Математик Дэвид Блэквелл выразился более прямолинейно: «Вообще-то мне неинтересно заниматься исследованиями, и никогда не было интересно. Мне интересно понимать, а это совершенно другое дело»[694].
Геометрия – это люди. Она универсальна и вечна, проявляясь в тех же формах в любом когда-либо существовавшем человеческом сообществе, но она также находится прямо здесь, располагаясь во времени и пространстве среди людей. Она здесь, чтобы научить нас чему-то, заставив дом расширяться.
Блэквелл специализировался в теории вероятностей, много работал с марковскими цепями, однако, подобно Линкольну, Дав и Рональду Россу, находил вдохновение в евклидовой плоскости. По его словам, геометрия была «единственным курсом, который позволил мне увидеть, что математика действительно красива и полна идей». Блэквелл вспоминает одно доказательство, возможно даже доказательство с мостом ослов: «Я все еще помню понятие вспомогательной линии[695]. Перед вами утверждение, которое выглядит довольно загадочно. Кто-то проводит одну линию, и внезапно все становится очевидным. Это красиво».
В Талмуде есть знаменитая история о печи Ахная[696]. Группа раввинов горячо спорит, как это обычно бывает в группе раввинов. Суть вопроса: будет ли печь, если разрезать ее на части, а затем скрепить обратно с помощью песка, подчиняться законам о ритуальной чистоте, которые регулировали печь из чистого камня? Впрочем, неважно, о чем был спор; важно, что один раввин, Элиэзер бен Гиркан, твердо придерживался мнения, отличного от остальных. Ситуация накалилась. Как говорится в Талмуде, Элиэзер привел в тот день «все возможные аргументы в мире», но их не приняли. Тогда Элиэзер обратился к более эффектным формам доказательства. Он сказал:
– Если я прав, то пусть рожковое дерево подтвердит мою правоту!
Тут же соседнее рожковое дерево вырвало с корнем, и оно отлетело на сто локтей. Но рабби Йеошуа возразил:
– Рожковое дерево – это еще не доказательство.
Тогда Элиэзер сказал:
– Если я прав, то пусть ручей подтвердит это!
Воды ручья потекли вспять. Однако и это их не убедило:
– Какая разница, ручей тоже ничего не доказывает.
Тогда Элиэзер сказал:
– Если я прав, то пусть стены Дома Учения подтвердят это!
Стены накренились внутрь. Но даже это не впечатлило оппонентов[697].
Элиэзер разыграл еще одну карту.
– Если я прав в толковании Торы, то пусть небеса подтвердят мою правоту!
И раздался сверху голос Бога:
– Зачем противитесь вы словам рабби Элиэзера? Ведь в таких вопросах он всегда прав!
Встал тогда рабби Йеошуа и сказал:
– Глас Божий – тоже не доказательство! Не на небе Тора уже, а на земле, она записана, и данные нам правила ясны; в Торе сказано: «по большинству склоняться», а большинство против мнения рабби Элиэзера.
И Бог засмеялся и сказал: «Победили меня дети мои, победили меня».
Эта история о разногласии порождает множество разногласий. Некоторые считают Йеошуа героем, подобно Прометею восставшим против власти Бога. В этой истории он – юрист, и я думаю, что Авраам Линкольн встал бы на его сторону. Партнер Линкольна Уильям Херндон описывал его так: «Он безжалостно анализировал факты и принципы[698]. Только после такого всестороннего рассмотрения он мог сформировать идею и выразить ее, но не раньше. У него не было ни веры в голословные утверждения, ни уважения к ним, даже если они исходили из традиции или от авторитета».
Другие предпочитают Элиэзера, который отстаивал свои убеждения один против всех. Писатель Эли Визель говорит о тезке-раввине так: «Элиэзер мне также нравится за одиночество[699]. Он был тем, кем был, никогда не пытался сдаться, оставался верен себе, что бы ни говорили другие. Он был готов к одиночеству». Это перекликается со словами Александра Гротендика, который в 1960-х годах перестроил геометрию с нуля и чьих работ мы не касались, хотя книга уже подошла к концу (ну ладно, может быть, в следующий раз). Он вспоминал свои дни учебы в Париже:
В те критические годы я научился быть одиноким… добираться к вещам, которые хотел изучать, собственным путем, а не опираясь на представления общего мнения, явные или молчаливые, исходящие от более или менее обширного клана, членом которого я оказался или который по иной причине претендовал на то, чтобы его заявления считались авторитетными. Это молчаливое общее мнение информировало меня в лицее и в университете, что не следует беспокоиться о том, что на самом деле подразумевается при использовании таких терминов, как «объем», что считалось «очевидно не требующим доказательства», «общеизвестным», «беспроблемным» и так далее. Но я не прислушивался к ним… Именно в этом поступке «выхода за пределы», в том, чтобы быть личностью, а не пешкой в общем мнении, в отказе оставаться в жестком круге, который другие очерчивают вокруг себя, – именно в этом акте уединения человек находит истинное творчество. А все остальное будет само собой разумеющимся следствием[700].
И все же Гротендик стал Гротендиком только благодаря плодородной почве французской геометрии, питавшей его идеи, и мгновенному восприятию его инноваций десятками математиков парижского кружка.
Когда мы по-настоящему глубоко размышляем о геометрических вещах (пытаемся создать схему распространения пандемии; бродим по дереву стратегий, управляющих какой-либо игрой; разрабатываем рабочий протокол для демократического представительства; осознаем, какие вещи близки между собой; пробуем представить внешний вид дома, находясь внутри, или, подобно Линкольну, критически подходим к собственным убеждениям и предположениям), мы в каком-то смысле одиноки. Но одиноки вместе со всеми остальными людьми на земле. Каждый занимается геометрией по-разному, но все ею занимаются. Это, как следует из названия, способ измерения мира и, следовательно (только в геометрии мы говорим «следовательно»), способ измерения себя.