Эта глава посвящена первому пересечению фрактальной геометрии Природы с основным направлением математической физики. Тема эта представляется мне настолько важной, что заслуживает отдельной главы. Читатели, интересы которых лежат в других областях, могут эту главу спокойно пропустить и двигаться дальше.
РАСКОЛ В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Основным недостатком текущего состояния теоретических исследований турбулентности является то, что они разделены, как минимум, на две не связанные друг с другом области. В одной царит предложенная Колмогоровым в 1941 г. (см. [276]) весьма успешная феноменология (о которой мы подробно поговорим в главе 30). Вторая имеет дело с дифференциальными уравнениями гидродинамики, выведенными для невязких жидкостей Эйлером, а для вязких — Навье (и Стоксом). Эти области никак не соотносятся между собой. Если «объяснить» и «понять» означает «свести к фундаментальным уравнениям», то теория Колмогорова еще не объяснена и не понята. Решать уравнения о движении жидкости она также не помогает.
На первый взгляд может показаться, будто сделанное мною в предыдущей главе утверждение о том, что турбулентное рассеяние является гомогенным не на всем пространстве, а лишь на некотором фрактальном подмножестве, только углубляет пропасть между областями. Но я заявлял и заявляю: это не так. И у меня есть свидетельства в свою защиту.
ВАЖНОСТЬ ОСОБЕННОСТЕЙ
Припомним процедуру, которая позволяет успешно решать уравнения математической физики. Обычно сначала составляется список, который объединяет результаты, полученные решением уравнения при особых условиях, с результатами, предположенными на основании физических наблюдений. Далее, опуская связанные с этими решениями детали, мы составляем список элементарных «особенностей», характерных для рассматриваемой задачи. Начиная с этого этапа, часто бывает возможно решать более сложные варианты уравнения в первом приближении посредством идентификации подходящих особенностей и связывания их в требуемую последовательность. Именно так студент-аналитик строит график рациональной функции. Разумеется, стандартные особенности — это стандартные евклидовы множества, т. е. точки, кривые и поверхности.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ: ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ - ЭТО ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА [386]
Рассматривая в таком свете сложности, возникающие при описании турбулентности с помощью решений Эйлера и Навье-Стокса, я склонен счесть их следствием того факта, что не существует стандартной особенности, которая объясняла бы воспринимаемые нами на интуитивном уровне характеристические признаки турбулентности.
Исходя из этого, я заявляю [386], что турбулентные решения фундаментальных уравнений включают в себя особенности или «почти особенности» совершенно иного рода. Эти особенности представляют собой локально масштабно-инвариантные фрактальные множества, а почти особенности — приближения к ним.
Самым простым основанием для данного утверждения можно считать такое соображение: раз уж стандартные множества оказались неспособны адекватно описать феномен, ничто не мешает попробовать следующие по изученности множества. Существуют, однако, и более конкретные основания.
НЕВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ (СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА)
Первое конкретное предположение. В моем вышеизложенном утверждении говорится, в частности, и о том, что особенности решений уравнений Эйлера представляют собой фрактальные множества.
Основания. Эта вера зиждется на одном очень старом правиле: симметрии и другие инвариантности, представленные в уравнении, «должны» быть отражены и в решении уравнения. (Самодостаточное, тщательное и красноречивое описание можно найти в четвертой главе книги Биркгофа «Гидродинамика» [37].) Безусловно, сохранение симметрии ни в малейшей степени не является всеобщим законом Природы, следовательно, здесь нельзя исключать и возможности «нарушения симметрии». Однако давайте предположим, что симметрия сохраняется, и посмотрим, что получится. Поскольку уравнения Эйлера независимы от масштаба, их типичные решения также должны быть независимы от масштаба, причем это условие должно соблюдаться и для любых особенностей, которыми они могут обладать. А так как безуспешность всех предшествующих попыток мы принимаем как свидетельство того, что эти особенности не являются стандартными точками, линиями или поверхностями, они должны быть фракталами.
Может, конечно же, случиться так, что форма границы и начальные скорости окажутся ограничены неким масштабом. Здесь, однако, следует учитывать еще одну возможность — локальное поведение решений может определяться «принципом отсутствия ощущения границы». В этом случае решения должны быть локально безмасштабны.
Исследования Александра Чорина. В 1981 г. Чорин [80] применил к анализу диапазона инерции в полностью установившейся турбулентности метод вихрей, чем весьма серьезно укрепил мои позиции. Чорин установил, что сильно растянутая завихренность собирается в тело уменьшающегося объема, размерность которого D~2,5 вполне согласуется с выводами, сделанными в главе 10. Поправка к колмого- ровским показателям, B=0,17±0,03, также согласуется с экспериментальными данными. Из расчетов следует, что решения уравнений Эйлера в трех измерениях становятся несправедливыми при конечном значении времени.
В своей следующей, неопубликованной, работе Чорин подходит еще ближе к экспериментальному значению: 2,5
ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ (СЛУЧАЙ НАВЬЕ-СТОКСА)
Второе конкретное предположение. Далее я утверждаю, что особенности решений уравнений Навье-Стокса могут быть только фракталами.
Неравенство размерности. На интуитивном уровне мы чувствуем, что решения уравнений Навье-Стокса должны непременно быть более гладкими, а значит — менее особыми, нежели решения уравнений Эйлера. Отсюда возникает следующее предположение: размерность особенностей в случае Эйлера превышает таковую в случае Навье-Стокса. Переход к нулевой вязкости можно, вне всякого сомнения, считать особенностью.
Почти особенности. Заключительное предположение моего общего утверждения касается пиков рассеяния, входящих в понятие перемежаемости: они представляют собой особенности Эйлера, сглаженные вязкостью.
Исследования В. Шеффера. Рассмотрение моих предположений для случая вязких жидкостей было впервые предпринято В. Шеффе- ром; некоторое время назад к нему присоединились и другие исследователи, желающие взглянуть в новом свете на поведение конечного или бесконечного объема жидкости, подчиняющегося уравнениям Навье-Стокса и обладающего в момент времени t=0 конечной кинетической энергией.
Шеффер [510] исходит из допущения, что особенности действительно имеют место, и показывает, что они непременно удовлетворяют следующим теоремам. Во-первых, фрактальная размерность их проекции на временную ось не превышает 1/2. Во-вторых, их проекция на пространственные координаты представляет собой в лучшем случае фрактал с размерностью 1.
Впоследствии обнаружилось, что первый из вышеприведенных результатов является следствием одного замечания в старой и довольно известной работе Лере [301], которая внезапно обрывается после получения формального неравенства, из которого как раз и следует первая теорема Шеффера. Хотя вряд ли ее можно назвать следствием — скорее, просто новая формулировка. Однако подобает ли нам относиться к этому свысока? Перенос чужих выводов в терминологически более изящную форму редко (и небезосновательно) расценивается как научное достижение, однако мне кажется, что для данного случая следует сделать исключение. Упомянутое неравенство из теоремы Лере было с практической точки зрения почти бесполезным, пока следствие Мандельброта-Шеффера не представило его миру в должной перспективе.
Все случаи применения размерности Хаусдорфа-Безиковича (во многом, кстати, шаблонные) в последних работах по уравнениям Навье-Стокса могут быть непосредственно выведены из моих предположений.
ОСОБЕННОСТИ ДРУГИХ ФИЗИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Другие явления, которые, как мне представляется, следует описывать с помощью масштабно-инвариантных фракталов, не имеют ничего общего ни с Эйлером, ни с Навье и Стоксом. Например, распределение галактик определяется уравнениями гравитации. Однако аргумент о сохранении симметрии применим ко всем масштабно-инвариантным уравнениям. В сущности, довольно туманное замечание Лапласа (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ, глава 41) можно теперь (задним числом!) истолковать так, будто оно намекает на тему главы 9.
В более общем смысле, фрактальный характер особенностей можно, скорее всего, проследить в неких обобщенных признаках, общих для самых различных уравнений математической физики. Может, это просто какой-то очень широкий род нелинейности? Мы еще вернемся к этому вопросу в главе 20 — правда, в несколько иной терминологии.
IV МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ФРАКТАЛЫ
12 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДЛИНОЙ, ПЛОЩАДЬЮ И ОБЪЕМОМ
В главах 12 и 13 мы подробно рассмотрим свойства фрактальной размерности на примере многочисленных «мини-прецедентов» различной важности и возрастающей сложности, а в главе 14 покажем, что фрактальная геометрия непременно включает в себя различные концепции за пределами фрактальной размерности.
В настоящей главе мы опишем и применим к различным конкретным случаям фрактальные аналоги, которые я разработал специально для определенных стандартных выводов евклидовой геометрии. Их можно рассматривать как параллельные фрактальным отношениям вида M(R)∝RD, полученным в главах 6, 8 и 9.
СТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Из того, что длина окружности радиуса R равна 2πR, а площадь диска, ограниченного этой окружностью, составляет πR2, следует, что
(длина)=2π1/2(площадь)1/2.
Соответствующее соотношение для квадрата имеет вид
(длина)=4(площадь)1/2.
Вообще в любом семействе плоских фигур, геометрически подобных, но имеющих различные линейные размеры, отношение (длина)/(площадь)1/2 представляет собой число, полностью определяемое общей для семейства формой.
Пространство (E=3) предоставляет нам новые альтернативные способы оценки линейной протяженности фигуры с помощью (длины), (площади)1/2 и (объема)1/3, причем отношение между любыми двумя из этих трех величин является параметром фигуры, независимым от единиц измерения.
Эквивалентность различных линейных протяженностей во многих случаях оказывается очень полезной. А ее расширение (включающее время и массу) лежит в основе мощной методики, известной физикам как «анализ размерностей». (Желающим подробнее ознакомиться с основными его особенностями рекомендую прочесть [37].)
ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
Однако нам известно множество примеров (и их количество неуклонно растет), демонстрирующих, к нашему вящему разочарованию, полное отсутствие эквивалентности между альтернативными линейными протяженностями. Например, мозг млекопитающего характеризуется соотношением
(объем)1/3∝(площадь)1/D,
где D~3 значительно больше ожидаемого значения 2. Измерения длины главной реки бассейна (см. [186]) показывают, что
(площадь)1/2∝(длина)1/D,
где D определенно больше ожидаемого значения 1. В ранних исследованиях этот последний результат объяснялся тем, что речные бассейны не самоподобны — большие бассейны имеют вытянутую форму, а маленькие несколько сплюснуты. К сожалению, такая интерпретация не согласуется с экспериментальными данными.
Ниже приведено мое объяснение этих и других похожих наблюдений с более убедительных позиций, и моим инструментом будет новое-фрактальное-соотношение между длиной, площадью и объемом.
ФРАКТАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИНОЙ И ПЛОЩАДЬЮ
Для большей наглядности рассмотрим совокупность геометрически подобных островов с фрактальными береговыми линиями размерности D>1. Стандартное отношение (длина)/(площадь)1/2 в этом контексте стремится к бесконечности, но я намерен показать, что оно имеет достойный фрактальный аналог, вполне пригодный для каких угодно практических целей. Определим длину побережья, измеренную с шагом длины G, как (G-длину), а площадь острова, измеренную в единицах G2 — как (G-площадь). Учитывая, что зависимость (G-длины) от G нестандартна, в отличие от стандартной зависимости (G-площади) от G, мы можем записать следующее обобщенное отношение:
(G−длина)1/D/(G−площадь)1/2.
Я утверждаю, что значение этого отношения одинаково для любого из наших самоподобных островов.
В результате мы имеем два различных способа оценки линейной протяженности каждого острова в единицах G: стандартное выражение (G−площадь)1/2 и нестандартное (G−длина)1/D.
Характерная особенность данного подхода заключается в том, что при смене длины шага с G на G' мы получим другое отношение альтернативных линейных протяженностей:
(G'−длина)1/D/(G'−площадь)1/2,
которое отличается от исходного на коэффициент (G'/G)1/D−1.
Что касается отношения линейных протяженностей, то для каждого семейства взаимно подобных фигур оно имеет свое значение, независимо от того, фрактальные это фигуры или стандартные. Следовательно, это отношение представляет в количественном виде лишь один аспект формы фигуры.
Заметим, что полученное соотношение между длиной и площадью можно применять для оценки размерности фрактальной кривой, ограничивающей стандартную область.
Доказательство соотношения. Первым делом измерим длину каждой береговой линии с помощью внутренней, зависящей от площади, мерки:
G*=(G−площадь)1/2/1000.
Если аппроксимировать каждое из побережий наших островов многоугольником с длиной стороны G*, эти многоугольники также будут взаимно подобны, а их периметры будут пропорциональны стандартным линейным протяженностям (G−площадь)1/2.
Заменим теперь G* заданным шагом G'. Из главы 6 нам известно, что измеренная длина при этом изменится в отношении (G/G*)1−D. Следовательно:
Наконец, возведя каждую часть в степень 1/D, получаем искомое соотношение.
НАСКОЛЬКО ИЗВИЛИСТА РЕКА МИССУРИ?
Вышеизложенные соображения проливают свет и на измерение длины рек. Чтобы определить длину главной реки речного бассейна, мы аппроксимируем форму русла извилистой самоподобной кривой размерности D>1, которая начинается в точке, называемой истоком, и заканчивается в точке, называемой устьем. Если бы все реки, равно как и их бассейны, были взаимно подобны, то, согласно фрактальному соотношению между длиной и площадью, мы получили бы следующее соотношение:
(G−длина реки)1/D∝(G−площадь бассейна)1/2.
Более того, исходя из стандартности площади:
(G−площадь бассейна)1/2∝(расстояние до прямой от истока до устья).
Объединив эти соотношения, заключаем, что
(G−длина реки)1/D∝(расстояние до прямой от истока до устья).
В высшей степени замечательно, что в уже упоминавшейся работе Хака [186] на основании эмпирических данных показано, что отношение
(G−длина реки)/(G−площадь бассейна)0,6
и в самом деле одинаково для всех рек. Из косвенной оценки D/2=0,6 получаем D=1,2 — значение, весьма напоминающее те, что дают измерения длины береговых линий. Если с помощью D измерять степень иррегулярности, то значения для локальных излучин окажутся абсолютно идентичными значениям для поворотов в масштабе всей реки!
С другой стороны, согласно наблюдениям Дж. Э. Мюллера, значение D для бассейнов с площадью более 104км2 и рек соответствующих размеров уменьшается до 1. Исходя из наличия двух различных значений D, можно предположить, что если отобразить бассейны всех рек на листах бумаги одинакового размера, то карты бассейнов малых и больших рек будут выглядеть приблизительно одинаково, в то время как карты бассейнов очень длинных рек будут почти прямолинейными. Может оказаться, что нестандартное самоподобие нарушается вблизи внешнего порога Ω, величина которого составляет порядка 100 км.
Суммарная длина речного дерева. На основании вышеизложенных соображений можно также предположить, что суммарная длина всех рек в бассейне должна быть пропорциональна площади бассейна. Мне говорили, что это предположение верно, однако конкретных ссылок у меня нет.
Назад к геометрии. Для рек и водоразделов, родственных кривой «прохождения снежинки» (см. рис. 104 и 105), D~1,2618, что несколько больше наблюдаемого значения. Соответствующие размерности на рис. 106 и 107 составляют D~1,1291 — недолет.
Кривые Пеано на рис. 95 и 98 и вовсе попадают пальцем в небо, так как D=1.
Заметим, что равенство размерностей рек и водоразделов является не логической необходимостью, а всего лишь характерной особенностью некоторых конкретных рекурсивных моделей. Возьмем, например, речную сеть, объединенную стреловидной кривой (см. рис. 205) и описанную в [381]. Реки здесь имеют размерность D=1, а водоразделы — D~1,5849.
ГЕОМЕТРИЯ ДОЖДЯ И ОБЛАКОВ
На с. 13, 25 и 146 упоминается о возможности использования фракталов для моделирования облаков. Эта возможность теперь получила подтверждение в работе Лавджоя [319], который построил график зависимости фрактального периметра облаков и дождевых областей от их фрактальной же площади (см. рис. 169). Не много существует метеорологических графиков, которые учитывали бы все доступные данные в столь обширном диапазоне размеров, и были бы при этом хоть приблизительно такими же прямолинейными.
График построен на основании данных радиолокационных наблюдений зон дождей над тропической Атлантикой (скорость выпадения осадков свыше 0,2 мм/час) и данных наблюдений в инфракрасном диапазоне с геостационарного спутника зон облаков над Индийским океаном (т.е. зон с максимальной температурой облаков не выше — 10°С). Площади зон варьируются от 1км2 до 1000000км2. Размерность периметра, пригодного, по меньшей мере, для шести порядков величины, составляет 4/3. Удовольствие предоставить физическое объяснение наблюдаемому феномену я уступаю доктору Лавджою.
Самое большое облако простиралось от центральной Африки до южной Индии — а ведь это расстояние далеко превосходит толщину атмосферы, с которой очень часто (слишком часто, на мой взгляд) связывают внешний порог L атмосферной турбулентности. Заявление Ричардсона (см. с. 152) может еще оказаться пророческим.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПЛОЩАДЬЮ И ОБЪЕМОМ. КОНДЕНСАЦИЯ МИКРОКАПЕЛЬ
Рассуждение, с помощью которого мы получили соотношение между длиной и площадью, легко обобщается для случая пространственных областей, ограниченных фрактальными поверхностями, приводя к следующему соотношению:
(G−площадь)1/D∝(G−объем)1/3.
Чтобы проиллюстрировать это соотношение, рассмотрим конденсацию пара в жидкость. Это физическое явление знакомо всем, однако его теоретическое описание появилось совсем недавно. Согласно Фишеру [151], нижеследующая геометрическая картинка была предложена (по всей видимости, совершенно независимо друг от друга) Я. Френкелем, В. Бандом и А. Бийлом в конце 30-х гг. Газ состоит из отдельных молекул, достаточно удаленных друг от друга, за исключением случайных скоплений, где молекулы более-менее тесно связаны между собой силами притяжения. Скопления различных размеров находятся во взаимном статистическом равновесии, ассоциируя и вновь диссоциируя, однако шансов на то, что появится настолько огромное скопление, что его можно будет счесть «каплей» жидкости, чрезвычайно мало. Площадь поверхности больших скоплений (тех, что не слишком «размазаны» в пространстве на манер, скажем, скоплений водорослей) достаточно хорошо определена. Поверхность скопления придает ему устойчивость. Если теперь понизить температуру, то скоплениям станет выгодно соединяться в капли, а каплям — сливаться вместе, минимизируя тем самым общую площадь поверхности и, как следствие, общую энергию. При благоприятных условиях капли быстро растут. Появление капли макроскопических размеров означает начало конденсации.
Отталкиваясь от этой картины, Фишер предположил, что площадь и объем конденсирующейся капли связаны формулой, эквивалентной соотношению (площадь)1/D=(объем)1/3. Фишер оценивает величину D аналитически, не задумываясь о ее геометрическом смысле, мы же с неизбежностью должны признать, что поверхности капель представляют собой фракталы размерности D.
МОЗГОВЫЕ ИЗВИЛИНЫ МЛЕКОПИТАЮЩИХ
Чтобы проиллюстрировать соотношение между площадью и объемом в важном предельном случае D=3 и в то же время довершить изгнание дьявола из кривых Пеано, представленных в главе 7, рассмотрим одну широко известную проблему из сравнительной анатомии в терминах почти заполняющих пространство поверхностей.
Объем головного мозга млекопитающих колеблется от 0,3 до 3000 мл, причем у мелких животных его кора выглядит относительно или совершенно гладкой, тогда как у крупных животных она покрыта видимыми складками, независимо от положения животного на эволюционной лестнице. Зоологи утверждают, что отношение количества белого вещества (образованного нейронными аксонами) к количеству серого вещества (где находятся окончания нейронов) приблизительно одинаково у всех млекопитающих, и для того, чтобы поддерживать это отношение, кора большого мозга неизбежно собирается в складки. Знание того, что степень складчатости обусловлена чисто геометрическими причинами, освобождает человека от страха перед интеллектуальным превосходством дельфинов или китов — они, конечно, больше, однако вовсе не обязательно более высокоразвиты.
Количественная характеристика такой складчатости не под силу стандартной геометрии, но прекрасно вписывается в рамки геометрии фрактальной. Объем серого вещества приблизительно равен произведению его толщины на площадь внешней оболочки мозга, называемой на латыни pia. Если толщина ε одинакова для всех видов, то площадь оболочки будет пропорциональна не только объему серого вещества, но и объему белого вещества, а значит — полному объему мозга V. Следовательно, из соотношения между площадью и объемом получим D=3, а оболочка будет поверхностью, которая за вычетом толщины ε заполняет пространство.
Эмпирическое соотношение между площадью и объемом лучше описывается выражением A∝VD/3, где D/3 приблизительно находится в интервале от 0,91 до 0,93 (сведения получены из частной беседы с Джерисоном и основаны на экспериментальных данных Элиаса-Шварца, Бродмана и др.). Первое приходящее в голову объяснение заключается в том, что мозговая оболочка лишь частично заполняет пространство (2,73
АЛЬВЕОЛЯРНЫЕ И КЛЕТОЧНЫЕ МЕМБРАНЫ
Найдется ли среди моих читателей биолог, который будет так любезен, что встанет и объявит всем окружающим, что предыдущий раздел не имеет никакой практической ценности и не открывает ничего нового? Я, со своей стороны, был бы чрезвычайно рад услышать такое заявление, поскольку оно лишь подкрепило бы некоторые мои рассуждения, помещенные в начале главы 7. Несмотря на то, что биолог предпочтет обойти за милю любую поверхность Пеано, устроенную для него математиками, я утверждаю, что лучшие теоретики от биологии хорошо знакомы с основной идеей таких поверхностей.
Таким образом, главная новость предыдущих разделов относится к поверхностям размерности D<3, введение которых (как мы убедились) необходимо для согласования теории с экспериментом. Рассмотрим возможность применения этих новых поверхностей в биологии, обсудив вкратце их полезность при выяснении подробной структуры некоторых живых мембран.
Начнем с краткого резюме раздела 4.3.7 труда Вайбеля «Стереологические методы» (см. [586]). Оценки общей площади поверхности альвеол человеческого легкого противоречивы: оптическая микроскопия дает 80м2, в то время как по данным электронной микроскопии площадь альвеол составляет 140м2. Существенно ли это расхождение? Ответственные за него мелкие детали не играют никакой роли в газообмене, будучи сглажены покрывающим их жидким слоем (в результате чего функциональная площадь альвеол еще более уменьшается), однако они весьма важны для обмена растворами. Из проведенных измерений (спровоцированных, кстати, моей статьей «Побережье Британии») можно в первом приближении заключить, что мембранная размерность D=2,17 в широком диапазоне масштабов.
Паумгартнер и Вайбель [464] рассмотрели субклеточные мембраны в клетках печени. В этом случае также возникает расхождение между различными оценками площади на единицу объема, и здесь оно также легко устранимо, стоит лишь нам постулировать D=2,09 для внешней митохондриальной мембраны (которая окружает клетку и по гладкости лишь немногим отличается от мембран с минимальным отношением площадь/объем). Для внутренних митохондриальных мембран D=2,53, а для эндоплазматической сети D=1,72.
Заметим еще, что носовая кость многих животных обладает чрезвычайно сложной структурой, в результате чего площадь покрывающей эту кость «мембраны» оказывается очень большой при сравнительном малом объеме. У оленей и песцов эта мембрана, возможно, служит для усиления обоняния, а вот у верблюдов аналогичная структура выполняет водосберегающую функцию [512].
КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДУЛЯРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Рассмотрим еще одну иллюстрацию соотношения между площадью и объемом, на этот раз в компьютерном аспекте. Компьютеры не являются естественными системами, но это не должно нас останавливать. Этот и некоторые другие прецеденты призваны продемонстрировать, что с помощью фрактальных методов можно, в конечном счете, описать любую естественную или искусственную «систему», состоящую из отдельных «элементов», самоподобно связанных между собой (кроме того, приоритетными в системе должны являться не свойства элементов, а правила их соединения).
Сложные компьютерные системы, как правило, разделены на многочисленные модули. Каждый состоит из некоторого большого числа C компонентов и связан со своим окружением некоторым большим числом T соединений. Оказывается, что T1/D∝C1/E с точностью до нескольких процентов. (Причина необычного написания показателей прояснится чуть ниже.) В корпорации IBM это правило приписывают Э. Ренту (см. также [288]).
Согласно предварительным данным, D/E=2/3; это же значение Р. У. Киз [264] экстраполирует на гигантские «схемы» нервной системы (оптический нерв и мозолистое тело). Однако с ростом эффективности системы отношение D/E увеличивается. Эффективность, в свою очередь, отражает степень параллелизма, заложенную в систему. В частности, конструкции с крайними показателями характеризуются крайними значениями D. В сдвиговом регистре модули выстроены в ряд и T всегда равно 2, независимо от C: следовательно, D=0. При интегральном параллелизме каждый компонент требует отдельного соединения, т. е. T=C, или D=E.
Объясняя значение D/E=2/3, Киз отмечает, что компоненты, как правило, размещены в пределах объема модуля, тогда как соединения проходят через их поверхности. Чтобы показать, что это наблюдение имеет самое непосредственное отношение к правилу Рента, достаточно допустить, что все компоненты имеют приблизительно одинаковые объем v и площадь поверхности σ. Так как C — это общий объем модуля, деленный на v, величина C1/3 будет приблизительно пропорциональна радиусу модуля. С другой стороны, T — это общая площадь поверхности модуля, деленная на σ, т. е. величина T1/2 также будет приблизительно пропорциональна радиусу модуля. Правило Рента всего лишь выражает эквивалентность двух различных мер радиуса в стандартной пространственной фигуре. E=3 — это евклидова размерность модуля, a D=2 — размерность стандартной поверхности.
Следует сказать, что понятие модуля весьма неоднозначно, его даже можно считать неопределенным, однако правилу Рента это ничуть не мешает, пока подмодули в модуле соединяются друг с другом поверхностями.
Так же легко интерпретируются и крайние случаи, упомянутые выше. В стандартной линейной структуре E=1, а граница между компонентами сводится к двум точкам; следовательно, D=0. В стандартной плоской структуре E=2, a D=1.
Однако когда отношение E/D не равно ни 3/2, ни 2/1, ни 1/0, стандартная евклидова геометрия не позволяет интерпретировать величину C как объем, а T — как площадь. Между тем, такие интерпретации имеют значительную практическую ценность — и не составляют никакой сложности для геометрии фрактальной. Для пространственной схемы, контактирующей с внешним миром всей своей поверхностью, E=3, a D может принимать любое значение между 2 и 3. Для плоской схемы, контакт которой с внешним миром осуществляется по всей длине ограничивающей ее кривой, E=2, a D может принимать любое значение между 1 и 2. Случай интегрального параллелизма D=E подразумевает, что граница имеет форму кривой или поверхности Пеано. Кроме того, если граница используется не полностью, «эффективной границей» может стать любая поверхность, размерность D которой находится в интервале от 0 до E.
Рис. 169. ОБЛАКА (о) И ЗОНЫ ДОЖДЕЙ (•). ГРАФИК ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИМЕТРА ОТ ПЛОЩАДИ В ДВОЙНОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ МАСШТАБЕ (РИСУНОК ВЗЯТ ИЗ [319].)