Фрактальная геометрия природы — страница 35 из 42

В этой главе собраны сложные формулы, математические определения и иные сведения, не вошедшие в основной текст; сюда же помещены некоторые математические и другие дополнения.

АФИННОСТЬ (САМО- ) И ПОДОБИЕ

Термины самоподобный и самоаффинный (неологизм) применяются в тексте и к ограниченным, и к неограниченным множествам (не внося, смею надеяться, двусмысленности). Во многих описаниях турбулентности, равно как и в моих ранних работах, термин самоподобный употребляется в «общем» смысле, включая в себя и понятие самоаффинности, однако в настоящем эссе общее значение оставлено лишь за термином масштабно-инвариантный.

1. САМОПОДОБИЕ

Преобразование подобия представляет собой преобразование в евклидовом пространстве ℝ^E, определяемое вещественным коэффициентом r>0. При таком преобразовании точка x=(x₁,...,x_δ,...,x_E) переходит в точку r(x)=(rx₁,...,rx_δ,...,rx_E), а множество S, соответственно, в множество r(S) (см. [235]).

Ограниченные множества. Ограниченное множество S самоподобно (относительно коэффициента r и целого числа N), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству r(S). Термин конгруэнтно означает «тождественно с точностью до смещения и / или / поворота».

Ограниченное множество S самоподобно (относительно массива коэффициентов r⁽¹⁾...r^(N)), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, соответственно конгруэнтных r⁽ⁿ⁾(S).

Ограниченное случайное множество S статистически самоподобно (относительно коэффициента r и целого числа N), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых имеет вид r(S_n), где N множеств S_n конгруэнтны по своему распределению множеству S.

Неограниченные множества. Неограниченное множество S самоподобно относительно коэффициента r, если множество r(S) конгруэнтно множеству S.

2. САМОАФФИННОСТЬ

Аффинное преобразование в евклидовом E - мерном пространстве определяется совокупностью положительных вещественных коэффициентов r=(r₁,...,r_δ,...,r_E). При этом преобразовании каждая точка x=(x₁,...,x_δ,...,x_E) переходит в точку

r(x)=r(x₁,...,x_δ,...,x_E)=(x₁r₁,...,x_δr_δ,...,x_Er_E)

а множество S, как следствие, переходит в множество r(S).

Ограниченные множества. Ограниченное множество S самоаффинно (относительно вектора коэффициентов r и целого числа N), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству r(S).

Неограниченные множества. Неограниченное множество S самоаффинно относительно вектора коэффициентов r, если множество r(S) конгруэнтно множеству S.

Вышеприведенное определение часто применяется при следующих условиях: а) множество S представляет собой график функции X(t) из скалярного времени t в (E−1) - мерный евклидов вектор; б)r₁=...r_δ=...r_E−1=r; в)r_E≠r. В этом случае прямое определение выглядит следующим образом: вектор – функция X(t) от времени самоаффинна (относительно показателя α и фокального времени t₀), если существует некоторый показатель lnr_E/lnr=α>0 - такой, что при любом h>0 функция h^−αX[h(t−t₀)] независима от h.

Полуустойчивость по Ламперти. Случайные неограниченные самоаффинные множества в работах Ламперти [283, 285] полуустойчивыми.

Аллометрия . В главе 17 мы отмечали, что при изменении высоты дерева (имеется в виду дерево растительного происхождения) в r раз диаметр его ствола изменяется в r^3/2 раз. Скажем больше: представляющие точки, координаты которых и определяют различные линейные меры деревьев, аффинны друг другу. Биологи называют такие фигуры аллометрическими.

БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА

Вследствие большого разнообразия всевозможных броуновских множеств, возникает необходимость по возможности в строгой (а иногда и весьма громоздкой) терминологии.

1. БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Этим термином обозначается классическое обыкновенное броуновское движение, иначе называемое функцией Винера, функцией Башелье или функцией Башелье – Винера – Леви. Приводимое ниже громоздкое определение позволяет легко классифицировать различные обобщения такой функции.

Допущения.А) Временнáя переменная t есть вещественное число. Б) Пространственная переменная x есть вещественное число. В) Параметр H равен 1/2. Г) Вероятность Pr(X задается функцией ошибок erf(x), которая представляет собой распределение приведенной гауссовой случайной величины с =0 и 2>=1.

Определение. Броуновская функция из прямой в прямую B(t) есть случайная функция, такая, что при любых t и Δt верно следующее:

Pr([B(t+Δt)−B(t)]/|Δt|^H

Белый гауссов шум. Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Это означает, что производная B'(t) не существует в виде обыкновенной функции, а представляет собой обобщенную функцию (распределение Шварца). Называется эта производная белым гауссовым шумом. Можно записать функцию B(t) как интеграл B'(t).

Самоаффинность. Понятие распределения вероятностей применимо не только к случайным величинам, но и к случайным функциям. Если положить B(0)=0, то распределение вероятностей нормированной функции t^½B(ht) не зависит от t. Такая масштабная инвариантность является проявлением самоаффинности.

Спектр. С точки зрения спектрального или гармонического анализа, спектральная плотность функции B(t) пропорциональна f^−1−2H, т.е. f⁻². Однако смысл спектральной плотности f⁻² требует особого рассмотрения, так как функция B(t) нестационарна, а обычная теория ковариантности и спектра Винера – Хинчина имеет дело со стационарными функциями. Поэтому о спектрах мы поговорим позже – в разделе, посвященном функции Вейерштрасса.

Недиффернцируемость. Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Рассмотрение недифференцируемости я также предлагаю отложить до раздела функция Вейерштрасса.

Литература. Труды Леви [304] и [306] отличаются очень характерным стилем и загадочным изяществом, что уже создало им определенную репутацию в научных кругах (см. главу 40). Однако по глубине интуиции и простоте изложения им и сейчас нет равных.

Появившиеся в последнее время деловитые работы, рассчитанные исключительно на нужды отдельных и весьма разнообразных групп математиков, ученых и инженеров, слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять, однако хотелось бы отметить весьма многообещающую монографию Найта [270]. (К сожалению, автор предпочел не включать в книгу «результатов по хаусдорфовой размерности или мере выборочных траекторий, какими бы изящными они ни были, так как для них, судя по всему, не находится никаких областей приложения [1], и … [они] не представляются насущно необходимыми для общего понимания непосредственно прикладного материала. С другой стороны, надо признать, что такие особенности, как недифференцируемость выборочных траекторий в любой их точке, и в самом деле дают определенное представление об иррегулярности этих траекторий».)

2. ОБОБЩЕННЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ

Любое из упомянутых в предыдущем разделе допущений можно естественным образом обобщить, а любой процесс, получаемый в результате обобщения одного или нескольких допущений, существенно отличается от исходной функции B(t) и находит весьма серьезные области приложения.

А. Вещественное (скалярное) время t можно заменить точкой в евклидовом пространстве ℝ^E (где E>1) либо точкой на окружности или на сфере.

Б. Вещественную (скалярную) величину X можно заменить точкой в евклидовом пространстве ℝ^E (где E>1) либо точкой на окружности или на сфере.

В. Параметру H можно присвоить иное, нежели 1/2, значение. Гауссово распределение erf допускает любое значение параметра H из интервала 0.

Г. Гауссово распределение erf можно заменить одним из негауссовых распределений, рассматриваемых в разделе устойчивые случайные величины и функции леви.

Кроме того, функцию B(t) можно обобщить через ее представление в виде белого шума. Эта процедура дает существенно иные результаты.

3. ИСКЛЮЧЕНИЕ ТРЕНДА

Разброс броуновской функции из прямой в прямую B(t) в интервале от t=0 до t=2π можно разбить на две части: а) тренд, определяемый выражением B^*(t)=B(0)+(t/2π)[B(2π)−B(0)], и б) осциллирующий остаток B_B(t) . В случае броуновской функции B(t) эти члены оказываются статистически независимыми.

Тренд. График тренда B^*(t) представляет собой прямую, угловой коэффициент наклона которой является случайной гауссовой величиной.

Броуновский мост. «Лишенный тренда» осциллирующий член B_B(t) тождествен по своему распределению броуновскому мосту, определяемому как броуновская функция из прямой в прямую, ограниченная условием B(2π)=B(0).

Ошибочное исключение тренда. Сталкиваясь с выборками неизвестного происхождения, многие статистики – практики, работающие в экономике, метеорологии и других подобных областях, спешат разбить их на тренд и осцилляцию (и еще добавочные периодические члены). Тем самым они имплицитно допускают, что получаемые при этом слагаемые можно приписать различным порождающим механизмам, и что эти слагаемые статистически независимы.

Последнее допущение можно признать обоснованным только в том случае, если выборка порождена броуновской функцией B(t).

4. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗОКРУЖНОСТИ В ПРЯМУЮ

Броуновский мост с петлями. Возьмем периодическую функцию от t, которая на временнóм промежутке 0 совпадает с броуновским мостом B_B(t), и выберем случайным образом (равномерно) приращение Δt на интервале [0,2π]. Функция B_B(t+Δt) статистически стационарна (см. раздел стационарность) и может быть представлена как случайный ряд Фурье – Броуна – Винера. Коэффициентами являются независимые гауссовы случайные величины, причем их фазы полностью случайны, а модули пропорциональны n⁻¹ (т.е. f⁻²), а совокупная спектральная энергия в области частот, превышающих f, пропорциональна f⁻¹.

Практическое следствие, касающееся моделирования. Моделирование функции B(t) неизбежно производится на конечном временнóм промежутке. Если в качестве такого промежутка взять интервал [0,2π], то можно использовать при моделировании дискретные конечные методы Фурье. Сначала с помощью быстрого преобразования Фурье вычисляется броуновский мост, а затем добавляется необходимый случайный тренд.

Литература. Книга Пейли и Винера [461] знаменита своей неумолимой алгеброй. Однако в главах IX и X этой книги имеются очень основательные пояснительные параграфы, которые, несомненно, стоит прочесть. Могу порекомендовать также монографию Каана [248], но только математикам, так как полученные в ней результаты простыми словами не объясняются.

Броуновский мост с нечетными петлями. Функции B_O(t)=½[B^B(t)−B^B(t+π)] и B_E(t)=½[B^B(t)−B^B(t+π)] представляет собой суммы гармонических составляющих мостовой функции B_B(t) с нечетными и с четными номерами, соответственно. Достоинство нечетной суммы состоит в том, что ее можно получить непосредственно из белого гауссова шума B'(t), построенного на окружности:

B_O(t)=_−π∫⁰B'(t−s)ds−₀∫^πB'(t−s)ds.

Броуновская функция из прямой в окружность. Возьмем броуновскую функцию B(t), отбросим ее целую часть, и умножим дробный остаток на 2π. Результат определяет положение точки на единичной окружности. Эта броуновская функция из прямой в окружность упоминается здесь, в основном, для того, чтобы никто не перепутал ее с какой-либо из вышеописанных, весьма отличных от нее, функций.

5. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Для определения этой функции (обозначим ее B_H(t)) возьмем обыкновенную броуновскую функцию из прямой в прямую и изменим значение показателя H с ½ на любое вещественное число, удовлетворяющее неравенству 0. Функции с H≠½ оказываются вполне дробными.

Все функции B_H(t) непрерывны и недифференцируемы. Самое раннее упоминание о них я нашел в статье Колмогорова [275] 1940 г. Ссылки на другие разрозненные источники, а также описание различных свойств этих функций собраны в [404]. См. также [292].

Корреляция и спектр. Очевидно, что<[B_H(t+Δt)−B_H(t)]²>=|Δt|^2H. Спектральная плотность функции B_H(t) пропорциональна f^−2H−1. Показатель не является целым числом – в этом и заключается одна из нескольких причин, побудивших меня предложить для обозначения функций B_H(t) термин дробные.

Дискретный дробный гауссов шум. Этот шум определяется как последовательность приращений функции B_H(t) на последовательных единичных временных интервалах. Его корреляция равна

2⁻¹[|d+1|^2H−2|d|^2H+|d−1|^2H].

Долгосрочная корреляция. Персистентность и антиперсистентность. Положим B_H(0)=0 и определим предыдущее приращение как −B_H(−t), а последующее приращение как B_H(t). Имеем

<−B_H(−t)B_H(t)>=2⁻¹{<[B_H(t)−B_H(−t)]²>}−2<[B_H(t)]²>

=2⁻¹(2t)^2H−t^2H.

Разделив результат на H(t)²>=t^2H, получим корреляцию, которая оказывается независимой от t: она равна 2^2H−1−1. В классическом случае H=½ корреляция, как и ожидалось, обращается в нуль. При H>½ корреляция положительна, выражает персистентность и при H=1 возрастает до единицы. При H<½ корреляция отрицательна, выражает антиперсистентность и при H=0 уменьшается до −½.

То, что эта корреляция не зависит от t и в тех случаях, когда она не обращается в нуль, является очевидным следствием самоаффинности функции B_H(t).

Однако при изучении случайности многие начинают с того, что очень удивляются и / или / даже расстраиваются, впервые столкнувшись с тем фактом, что корреляции прошедших и будущих событий могут быть независимы от времени, не обращаясь при этом в нуль.

Практическое следствие для моделирования. При генерации случайной функции для всех целочисленных значений времени в интервале от t=0 до t=T выбор алгоритма, как правило, не зависит от значения T; алгоритм выбирают заранее, а затем выполняют его требуемое количество раз. Алгоритмы, необходимые для генерации дробных броуновских функций, имеют существенное отличие: они неизбежно зависят от T.

Описание быстрого генератора дискретных приращений функции B_H(t) есть в моей статье [364]. (В эту статью вкралась одна весьма досадная опечатка: в первой дроби на с. 545 следует убрать из числителя единицу и поместить ее перед всей дробью.)

Фрактальные размерности. Для графика D=2−H. Для нуль – множества и других множеств уровня D=1−H. См. [3].

6. ДРОБНАЯ БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ИЗ ОКРУЖНОСТИ ИЛИ ТОРА В ПРЯМУЮ

Дробные броуновские функции из окружности в прямую гораздо более изощрены, чем функции, описанные в подразделе 4. Простейшая из них представляет собой сумму дробного ряда Фурье – Броуна – Винера, который, по определению, имеет независимые гауссовы коэффициенты и полностью случайные фазы, причем модули коэффициентов пропорциональны n^−H−½ . Дробная броуновская функция из тора в прямую представляет собой сумму двойного ряда Фурье с такими же свойствами.

Предостережение. Исходя из поверхностной аналогии, можно предположить, что дробную броуновскую функцию из окружности в прямую можно получить с помощью процесса, применимого и в недробном случае: образовать тренд B^*_H(t) дробной броуновской функции из прямой в прямую, затем исключить этот тренд из функции B_H(t) и повторением получить периодическую функцию.

К сожалению, полученная таким образом периодическая функция и сумма ряда Фурье с коэффициентами n^−H−½ суть разные случайные функции. В частности, ряд Фурье стационарен, в то время как многократно повторенная функция B_H(t) с исключенным трендом – нет. Например, на некотором малом интервале по обе стороны от t=0 многократно повторенный мост с исключенным трендом объединяет два непоследовательных подучастка функции B_H(t). Ограничения, имеющегося в определении моста, вполне достаточно для того, чтобы объединенный участок оказался непрерывным, но совершенно не достаточно для того, чтобы сделать его стационарным. Такой участок, к примеру, совсем не тождествен по своему распределению некоторому малому участку, составленному из последовательных подучастков по обе стороны от точки t=π.

Замечания по моделированию. Вычислить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую с помощью конечных дискретных методов Фурье теоретически невозможно; на практике же это вполне осуществимо, однако требует немалой сноровки. Наиболее прямолинейная процедура заключается в следующем: а) вычисляем соответствующую функцию из окружности в прямую, б) отбрасываем ее за исключением ограниченного участка, соответствующего малому подынтервалу периода 2π (скажем, 0^*) и в) прибавляем к результату отдельно вычисленную низкочастотную составляющую. При H→1 значение t^* должно стремиться к нулю.

Фрактальные размерности. Для полного графика D=2−H (см. [457]). Когда множество уровня непусто, D=1−H . Этот результат приводится в [412] (усиливая теорему 5 (с. 146) [248]).

Критический переход приH=1. Дробный ряд Фурье – Броуна – Винера с независимыми гауссовыми коэффициентами, пропорциональными n^−½−H, сходится в непрерывную сумму при всех H>0. Когда значение параметра H пересекает единицу, сумма становится дифференцируемой. Что касается дробного броуновского процесса, то он определен лишь до H=1. Различие в диапазоне допустимых значений параметра H может служить подтверждением того, что эти два процесса существенно отличаются друг от друга. Это различие также предполагает, что физические критические переходные феномены можно моделировать с помощью броуновских функций из прямой в прямую, но никак не с помощью броуновских функций из окружности в прямую.

7. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ СЛЕДЫ ИЗПРЯМОЙ ИЛИ ОКРУЖНОСТИ В ПРОСТРАНСТВО

В случае функции из окружности в пространство с H<1 размерность следа равна min(E,1/H) . Этот вывод является частью теоремы 1 (с. 143) [248].

8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРО – ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Для преобразования броуновской функции из прямой в прямую B(t) в дробную функцию B_H(t) проще всего записать

B_H(t)=[Γ(H+½)]⁻¹_−∞∫^t(t−s)^H−½dB(s).

Этот интеграл расходится, однако приращения вида B_H(t)−B_H(0) являются сходящимися. Он представляет собой подвижное среднее ядра (t−s)^H−½ - классическое, хотя и несколько туманное преобразование, известное адептам чистой математики под именем дробного интеграла или дифференциала Римана – Лиувилля порядка H+½.

Эвристика. Идея отсутствия необходимости в целочисленном порядке интегрирования и / или / дифференцирования наиболее доходчиво объясняется в терминах спектрального анализа. В самом деле, обычное интегрирование некоторой периодической функции эквивалентно умножению коэффициентов Фурье этой функции на 1/n, а обычное интегрирование Фурье (если оно определено) на 1/f. Следовательно, операция, при которой преобразование Фурье умножается на дробную степень (1/f)^H+½ , может быть с полным правом названа дробным интегро - дифференцированием. Так как спектр белого шума имеет вид f⁻⁰, спектр функции B_H(t) можно записать в виде (1/f)^2(H+½)=f^−2H−1 (как и было заявлено).

Литература. Преобразование Римана – Лиувилля применяется и во многих других, самых разнообразных, областях (см. [616], II, с. 133, [456], [503], [291]). О менее известном приложении этого преобразования к теории вероятности (с отсылками к Колмогорову [275]) можно прочесть в [404].

Влияние на гладкость. Когда порядок H−½ преобразования Римана – Лиувилля положителен, оно представляет собой дробную форму интегрирования, поскольку увеличивает гладкость функции. Гладкость равнозначна локальной персистентности, однако гладкость, полученная посредством интегрирования, распространяется и на глобальные свойства функции. При H−½<0 преобразование Римана – Лиувилля представляет собой дробную форму дифференцирования, поскольку оно усиливает иррегулярность, которая зависит от локального поведения.

Дробное интегро – дифференцирование броуновских функций. В случае дробной броуновской функции из окружности в прямую параметр H сверху не ограничен. Дробное интегрирование порядка H−½>½ броуновской функции из окружности в прямую дает дифференцируемую функцию. Напротив, в случае броуновских функций из прямой в прямую порядок H−½ не может превышать ½, поэтому функция B_H(t) не является дифференцируемой.

И в тех, и в других броуновских функциях (из окружности в прямую и из прямой в прямую) локальная иррегулярность препятствует дифференцированию при значении параметра H<0, следовательно, порядок дифференцирования не может быть меньше −½.

Двустороннее обобщение дробного интегро – дифференцирования. То обстоятельство, что классическое определение Римана – Лиувилля сильно асимметрично по отношению к переменной t, не вызывает никаких сложностей до тех пор, пока t обозначает время. Однако для тех случаев, когда координата t может «распространяться» в обоих направлениях, необходимо симметричное определение. Я предлагаю следующее:

B_H(t)=[Γ(H+½)]⁻¹_−∞∫^t(t−s)^H−½dB(s)−_t∫^∞(t−s)^H−½dB(s).

9. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

Леви (см. [306, 307, 308, 309, 410]) вводит понятие броуновских функций из пространства Ω в вещественную прямую, где Ω представляет собой либо обычное пространство ℝ^E (расстояние |PP₀| определяется как отрезок прямой), либо сферу в пространстве ℝ^E+1 (расстояние определяется вдоль геодезических линий), либо гильбертово пространство. Для каждой из соответствующих броуновских функций значений разности B(P)−B(P₀) является гауссовой случайной величиной с нулевым средним и дисперсией G(PP₀|), где G(x)=x. Рекомендую также обратить внимание на статьи [421] и [70].

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когдаΩ- сфера. В этом случае функция B(P) строится, как описано в главе 28: на поверхность сферы накладывается слой белого гауссова шума, а функция B(P) определяется как интеграл этого белого шума по поверхности полусферы, северный полюс которой совпадает с точкой P . Вообще-то, я предпочитаю несколько иной вариант, в котором берется половина интеграла по одной полусфере, а затем вычитается половина интеграла по другой полусфере. Такая процедура позволяет обобщить второй процесс, описанный в подразделе 4.

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когдаΩ−ℝ^E[79]. Этот случай требует более сложного алгоритма (алгоритм был предложен Ченцовым). Наиболее наглядное представление об этом алгоритме можно получить, когда пространство Ω есть ℝ², и B(0,0)=0. Построим вспомогательный цилиндр единичного радиуса с координатами u и θ и наложим на него слой белого шума. Далее (в модифицированном мною [379] варианте алгоритма) проинтегрируем этот шум по прямоугольнику от θ до θ+dθ и от 0 до u. Получим броуновскую функцию из прямой в прямую, которая обращается в нуль при u=0; обозначим ее через B(u,θ,dθ). Для каждой точки (x,y) плоскости броуновские составляющие B(xcosθ+ysinθ,θ,dθ) статистически независимы, а их интеграл по θ равен B(x,y).

10. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

В работе Ганголли [161] (отдельные моменты которой были предвосхищены еще Ягломом [608]) функция B(P) обобщается до случая G(x)=x^2H (см. предыдущий подраздел). Здесь, однако, не приводится явного алгоритма для построения результирующей функции. Для того чтобы заполнить этот пробел, я обобщил в [379] построение Ченцова, заменив каждую функцию B(u,θ,dθ) двусторонне определенной дробной броуновской функцией из прямой в прямую.

О размерности D см. в [610, 611].

О моделировании с помощью БПФ см. [582].

11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБНЫХ ГАУССОВЫХ ШУМОВ

Зададим дисперсию G(x), отличную от G(x)=x, составим сумму и интерполируем ее линейно для нецелочисленных T. Результат (который мы обозначим через B_G(t)−B_G(0)) асимптотически масштабно - инвариантен, если существует некоторая функция A(T), такая, что предел невырожден при любом h∈(0,1). Мюррей Розенблатт рассмотрел случай G(x)=x²−1. В статье [551] показано, что эта задача тесно связана с эрмитовым рангом дисперсии G в ряд Эрмита. О более новых находках в этом направлении можно узнать из работ [554] и [110].

КРИВЫЕ ПЕАНО

Дополнительные материалы по этой теме (а также по нецелочисленным основаниям систем счисления) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ УСЕЧЕНИИ

Связь гиперболического распределения с масштабной инвариантностью основывается на следующем свойстве (присущем только гиперболическому распределению): распределение нормированной усеченной случайной величины «U/u₀, если U/u₀>1» не зависит от u₀.

Доказательство. Пусть имеется некоторое основное распределение P(u), причем нормированная усеченная с. в. W=U/u₀ имеет обычное условное распределение P(wu)/P(u₀₎. Нам нужно, чтобы это условное распределение было одинаковым для u₀=h' и u₀=h''. Запишем v'=lnh' и v''=lnh'' и рассмотрим функцию R=lnP(u) как функцию от v=lnh. Для получения искомого тождества P(uh')/P(h')=P(uh")/P(h") необходимо, чтобы при любом выборе значений v,v' и v'' выполнялось равенство R(v'+v)−R(v')=R(v"+v)−R(v"). А для этого функция R должна быть линейной функцией от v.

МУЗЫКА И МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

Музыка обладает, по меньшей мере, двумя достойными упоминания скейлинговыми свойствами.

Темперированные музыкальные гаммы и их связь с частотным спектром модифицированной функции Вейерштрасса. Из всех слов современного английского языка, восходящих к латинскому корню scala («лестница»), самым употребительным является, конечно же, не скейлинг, прочно обосновавшийся в нашем эссе, а слово scalу в значении «музыкальная гамма», под чем подразумевается некий дискретный спектр, получаемый умножением частот. В темперированной гамме значения частот располагаются в логарифмической последовательности. Например, додекафоническая (двенадцатитоновая) гамма соответствует основанию b=2^1/12; в результате бóльшая часть основных тонов любого музыкального инструмента приходится на относительно низкие частоты его полного частотного диапазона, высокие же частоты достаются немногим избранным.

Экстраполируя такой спектр в обе стороны на частоты, не воспринимаемые человеческим ухом, получим спектр, неотличимый от спектра функции Вейерштрасса (соответствующим образом модифицированной, см. с. 533) с тем же значением b . Следовательно, для того, чтобы добавить низких частот в музыкальное произведение, достаточно ввести в оркестр новые инструменты, способные производить низкие тоны желаемой частоты.

Согласно теореме Эйлера – Фурье, самая общая периодическая функция представляется в виде ряда линейно упорядоченных гармоник и, следовательно, последовательность основных тонов некоего эталонного музыкального произведения может быть представлена только очень суженными функциями.

Музыка как масштабно-инвариантный(1/f)шум (по Р.Ф. Фоссу). Второй скейлинговый аспект музыки связан с изменением во времени различных характеристик звукового сигнала: например, мощности (определяемой как квадрат интенсивности) или мгновенной частоты (определяемой как количество пересечений сигналом нулевого уровня за единицу времени). Фосс и Кларк [580, 581] (см. также [164]) отмечают, что в произведениях таких различных композиторов, как Бах, Бетховен и «Битлз», обе упомянутые характеристики звукового сигнала представляет собой масштабно-инвариантные шумы (или 1/f - шумы, см. с. 356).

И наоборот, когда мы инициируем случайную музыку неким внешним физическим источником шума со спектральной плотностью вида 1/f^B и различными скейлинговыми показателями, получается звук, как обнаружили те же Фосс и Кларк [580, 581], больше всего «похож» на музыку, если в качестве инициатора выступает 1/f - шум.

Такого результата никто не ожидал, однако – как это случилось с большинством описанных в настоящем эссе открытий - ему находится вполне «естественное» объяснение постфактум. Лично мне больше по душе такое рассуждение: музыкальная композиция, как явствует из термина, составляется из компонентов. Самыми крупными компонентами являются части, различающиеся общим темпом и / или / уровнем громкости. Части, в свою очередь, состоят из более мелких компонентов, разделяющихся по тому же принципу. Причем, согласно настояниям преподавателей композиции, «компонентная» структура должна прослеживаться, вплоть до мельчайших осмысленных составных частей музыкального произведения. Получаемая в результате такого сочинения композиция просто обязана быть масштабно-инвариантной!

Однако эта инвариантность не распространяется на временные промежутки, меньшие по времени звучания одной ноты. При более высоких частотах в действие вступают совершенно иные механизмы (определяемые, среди прочего, резонансными свойствами человеческих легких и корпусов скрипок и флейт), в результате чего высокоэнергетический спектр сигнала становится больше похож на f⁻², чем на f⁻¹.

НЕЛАКУНАРНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Согласно определениям лакунарности, приведенным в главе 34, нелакунарное множество в пространстве ℝ^E должно пересекать каждый куб или сферу в указанном пространстве. Выражаясь математическим языком, оно должно быть всюду плотным и, как следствие, незамкнутым. (Единственное всюду плотное замкнутое множество в пространстве ℝ^E - это само пространство ℝ^E!) В этом разделе мы покажем, что такие фракталы действительно существуют, но весьма отличаются «на ощупь» от замкнутых фракталов, рассматриваемых в других частях эссе. Ключевое различие заключается в том, что хотя к таким фракталам по-прежнему применимо понятие размерности Хаусдорфа – Безиковича, их размерность подобия и размерность Минковского – Булигана равны здесь E, а не D.

1. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ

Феномены, при описании которых не обойтись без нелакунарных фракталов, во множестве упоминаются на страницах настоящего эссе – я имею в виду, что многие из моих прецедентных исследований естественных фракталов вступают в противоречие с некоторыми из известных нам о Природе бесспорных истин.

В главе 8, например, мы забываем о том, что шум, служащий причиной появления фрактальных ошибок, в промежутках между ошибками ослабляется, но полностью не исчезает.

В главе 9 мы как-то пренебрегаем тем обстоятельством, что нам известно о существовании межзвездной материи. Вне всякого сомнения, ее распределение должно быть, по меньшей мере, таким же иррегулярным, как и распределение звезд. Более того, представление о невозможности определения плотности относится в большей степени именно к межзвездной, а не к звездной материи. В подтверждение приведу выдержку из статьи де Вокулера [104]: «Принимая во внимание то, что видимая материя образует ярко выраженные сгустки и кластеры во всех масштабах, трудно поверить в то, что невидимый межгалактический газ однороден и равномерно распределен … [его] распределение должно быть очень похоже … на распределение галактик». В работах других астрономов можно встретить такие термины, как межгалактические жгуты и межгалактическая паутина.

А рассмотренные в главе 10 бахромчатые поверхности турбулентной диссипации со всей очевидностью представляет собой чрезмерно упрощенное описание реальности.

В конце главы 9 очень кратко упоминается о фрактальном взгляде на распределение минералов. В этом случае факт применения замкнутых фракталов означает, что в областях, расположенных между медными месторождениями, медь полностью отсутствует. Разумеется, в большинстве областей меди действительно очень мало, однако было бы неверно предполагать, что в какой-либо области ее нет совсем.

Во всех перечисленных случаях определенные области, не представлявшие для нас в тот момент непосредственного интереса, были искусственным образом опустошены, чтобы получить возможность использовать при описании соответствующего феномена замкнутые фрактальные множества; однако, в конечном счете, эти области необходимо будет заполнить. Для решения такой задачи можно воспользоваться оригинальным гибридом, который называется нелакунарные фракталы.

Например, нелакунарное распределение масс в космическом пространстве – это такое распределение, при котором никакая область пространства не бывает пустой, но для каждого множества малых порогов θ и λ доля массы не менее 1−λ оказывается сосредоточена в области пространства, относительный объем которой не превышает θ.

2. ЦИТАТА ИЗ ДЕ ВИСА И КОММЕНТАРИЙ

В работе де Виса [106] описана весьма простая и наглядная ситуация, требующая применения нелакунарных фракталов; там же приводится некая «рабочая гипотеза», о которой, на мой взгляд, стоит рассказать подробнее.

«Рассмотрим [месторождение руды] тоннажа W и средней степени чистоты M. Проведя воображаемый разрез, разделим месторождение на две части с одинаковым тоннажем ½W, но с различной средней степенью чистоты. Допустим, что чистота руды в более богатой половине равна (1+d)M, тогда чистота руды во второй половине должна быть равна (1−d)M, поскольку, согласно условию, средняя чистота руды в обеих половинах составляет M … Проведем еще один воображаемый разрез, разделяющий месторождение уже на четыре части с одинаковым тоннажем ¼W и средними степенями чистоты (1+d)²M, (1+d)(1−d)M, (1+d)(1−d)M и (1−d)²M. После третьего разреза получаем 2³=8 частей, а именно: один блок со средней чистотой (1+d)³M, три блока с (1+d)²(1−d)M, три блока с (1+d)(1−d)²M и один с (1−d)³M. Несложно представить себе и дальнейшее разделение месторождения на все меньшие блоки.

Коэффициент d в качестве меры изменчивости вполне адекватно заменяет целое собрание различных трудноопределимых характеристик [милых сердцу тех, кто полагает, что оценка качества месторождения представляет собой, скорее всего искусство, чем науку], а используя основанные на этой мере статистические выводы, мы вполне способны обойтись без имеющегося в нашем распоряжении запутанного лабиринта из эмпирических правил и интуитивных методов».

Комментарий. До исследования геометрических аспектов своей модели де Вис так и не дошел, и ни он, ни его в остальных отношениях выдающиеся последователи (включая и Г. Матерона) не имели ни малейшего представления о фракталах. Однако если предположить, что плотность руды не зависит от степени ее чистоты (т.е. вес руды эквивалентен ее объему), то мы увидим, что в точности такую же модель исследовал в свое время – правда, с совершенно иными целями – теоретик А. С. Безикович вместе со своими учениками.

Забегая вперед, заметим, что если продолжить процесс де Виса (в его новой интерпретации) до бесконечности, то руда в пределе створаживается в нелакунарный фрактал. Для того чтобы записать его размерность в привычном для нас виде D=lnN^*/ln2), необходимо прежде определить lnN^* следующим образом:

lnN^*=−∑π_ilnπ_i,

где π₁=(1+d)³, π₈=(1−d)³, π₂=π₃=π₄=(1+d)²(1−d) и π₅=π₆=π₇=(1+d)(1−d)².

Заключение. Догадку де Виса можно расценивать как вдохновенное прозрение, однако коэффициент dявно непригоден в качестве меры, так как он применим только к одной модели. Подходящей мерой изменчивости руды является размерность D.

3. ВЗВЕШЕННОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ БЕЗИКОВИЧА

Для того чтобы в должной мере оценить результаты Безиковича, следует представить их на интервале [0,1] с b=3.

Допущения. Вообразим себе некую массу, распределенную по интервалу [0,1] с единичной плотностью, и поделим ее между третями интервала с помощью неслучайного умножения на три веса W₀, W₁ и W₂, удовлетворяющих следующим условиям:

А. ⅓W₀+⅓W₁+⅓W₂=1. Это соотношение показывает, что масса сохраняется, и что каждый вес W_iограничен значением b. Величину ⅓W_i, которая представляет собой массу i - й трети, мы обозначим через π_i.

Б. Равномерное распределение W_i≡⅓ исключено.

В. W₀W₁W₂>0. Это соотношение, в частности, исключает из рассмотрения канторов случай (W₀=½, W₁=0 и W₂=½).

Последующие этапы каскада строятся аналогичным образом; например, плотность вещества в субвихрях имеет следующие значения: W₀², W₀W₁, W₀W₂, W₁W₀, W₁², W₁W₂W₂W₀, W₂W₁, W₂².

Заключения. Итерируя до бесконечности, получаем следующие результаты (бóльшей их части мы обязаны Безиковичу и Эгглстону; отличное изложение этих результатов имеется в книге Биллингсли [34]):

А. Сингулярность. Фрактал Безиковича. Почти во всех точках плотность асимптотически приближается к нулю. Множество точек, в которых асимптотическая плотность не равна нулю (собственно, в этих точках она бесконечна), называется фракталом Безиковича В. Он представляет собой множество точек интервала [0,1], троичное разложение которых таково, что отношение

k⁻¹ (количество i в первых k «цифрах»)

сходится π_i. Такие точки образуют открытое множество: предел последовательности этих точек не обязательно должен принадлежать множеству.

Б. Нелакунарность. Предельное распределение массы является всюду плотным: не существует такого открытого интервала (сколько угодно малого), который был бы (пусть даже асимптотически) совершенно пуст. На интервале от 0 до t масса строго возрастает вместе с t. Хотя относительное количество точек, в которых ∏^Wне сходится к нулю, очень мало, абсолютного их количества вполне достаточно для того, чтобы масса, заключенная внутри любого интервала [t',t"], имела ненулевой предел при k→∞.

В. Размерность Хаусдорфа – Безиковича множестваB. Эта размерность равна

D=−(π₁lnπ₁+π₂lnπ₂+π₃lnπ₃).

Формально величина D является «энтропией», как она определена в термодинамике, или «информации»», как ее определяет Шеннон (см. [34]).

Г. Размерность подобия множестваB. Эта размерность равна единице. В самом деле, множество B самоподобно с N=3 и r=⅓, следовательно, D_S=ln3/ln3=1; причина введения индекса S вскоре разъяснится. Аналогичным образом, размерность трехмерных вариантов B равна 3. В данном примере величина D_S не может иметь большого физического смысла: во-первых, она не зависит от весов W_i, если те отвечают вышеприведенным условиям; во-вторых, если заменить множество B его канторовым пределом, то ее значение скачкообразно изменяется с 1 на ln2/ln3.

Кроме того, фрактальное однородное распределение больше не может основываться на самоподобии. В самом деле, если соотнести с каждым участком длиной 3^−k один и тот же вес, в результате мы получим однородное распределение на интервале [0,1]. Оно никак не связано со значениями весов W_i и отлично от меры, с помощью которой генерировалось само множество. К тому же, при переходе к канторову пределу это однородное распределение разрывно переходит в распределение весьма неоднородное.

Д. Размерность подобия «множества концентрации» множестваB. Эта размерность равна D. Дело в том, что мера Безиковича довольно точно аппроксимируется фрактально однородной мерой, размерность подобия которой равна размерности Хаусдорфа – Безиковича D . Точнее говоря, после некоторого большого количества k этапов каскада бóльшая часть первоначально однородной массы оказывается сосредоточенной в 3^kD троичных интервалов с длиной 3^−k. Распределение этих интервалов в [0,1] неоднородно, однако длина самой большой пустоты стремится при k→∞ к нулю.

Комментарий. Следует различать «полное множество», которое должно включать в себя всю массу, и «частное множество», в котором сосредоточена бóльшая часть массы. Оба множества самоподобны, однако их размерности самоподобия D_S и D различны. См. также подраздел 5 данного раздела.

4. СЛУЧАЙНОЕ ВЗВЕШЕННОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ [378, 376]

В работах [378, 376] я предложил естественное и достаточно глубокое обобщение метода Безиковича, которое получило дальнейшее развитие в [254].

Воздействие каждого этапа каскада заключается в умножении плотностей в b³ субвихрях каждого вихря на одинаково распределенные и статистически независимые случайные веса W_i.

После k этапов каскада взвешенного створаживания количество вихрей, в которых оказывается сосредоточена бóльшая часть массы, составляет величину порядка b^kD* (при общем количестве вихрей b^3k), где

D^*=−b(r³W)>=3−bW>.

В частности, если величина W дискретна и ее возможные значения w_i имеют относительные вероятности p_i, имеем

D^*=3−∑p_iw_ilog_bw_i.

СлучайD^*>0; D=D^*. Мера, порождаемая взвешенным створаживанием аппроксимируемого фрактально однородной мерой с размерностью D=D^*, получаемой так же, как описано в главе 23.

СлучайD^*<0; D=0. Количество непустых ячеек асимптотически стремится к нулю, а это значит, что предел почти наверное оказывается пустым.

В общей сложности, носитель массы аппроксимируется замкнутым множеством с размерностью D=max(0,D^*).

Сечения. Аналогичным образом масса, заключенная в плоских и линейных сечениях, сосредотачивается в относительно малом количество вихрей: b^D*−1 для плоских сечений (при общем числе вихрей b²) и b^D*−2 для линейных сечений (при общем числе вихрей b). То есть сечения невырождены при D^*>1 (и, соответственно, D^*>2) и аппроксимируются фракталами с размерностями D^*−1 и D^*−2. Таким образом, размерности сечений в этом случае подчиняются тем же правилам, что и в случае лакунарных фракталов.

Новые случайные величины, инвариантные при взвешенном сложении. Пусть X - это случайная величина, которая асимптотически задает вес, заключенный внутри вихря любого порядка k или внутри его сечения прямой или плоскостью (размерность сечения обозначим через Δ). Я показал, что величины X удовлетворяют функциональным уравнениям

,

где C=b^Δ, величины W_g и X_g - независимые случайные величины, равенство же выражает идентичность распределения. Это уравнение представляет собой обобщение уравнения (L), рассматриваемого в разделе устойчивые по леви случайные величины и функции. Решения этого уравнения являются обобщением устойчивых случайных величин и подробнее обсуждаются в цитированных выше статьях [378, 376] и [254].

5. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ СЛУЧАЙНОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ И ФУНКЦИЯ [367]

В [367] описана вихревая решетка, сочетающая в себе абсолютное и взвешенное створаживание, позаимствованное у Кантора. Вихри не задаются заранее, но генерируются при построении с помощью того же статистического механизма, который используется для генерации заключенной в них массы. Кроме того, дискретные вихревые слои сливаются в такой решетке в непрерывный континуум.

Предельная логарифмически нормальная функция: обоснование. Произведем кое-какие последовательные модификации взвешенного створаживания на примере некоторой функции L(t) от одной переменной (выбранной из соображений простоты).

После n - го этапа плотность взвешенного створаживания задается функцией Y_n(t), такой, что приращение ΔlnY_n(t)=lnY_n+1(t)−lnY_n(t) есть ступенчатая функция; изменяется эта функция только тогда, когда tпредставляет собой интеграл, кратный b⁻ⁿ=rⁿ, в остальные же моменты времени ее значениями являются независимые случайные величины вида lnW. Положим теперь, что приращение ΔlnW является логарифмически нормальным со средним −½(lnb) и дисперсией μlnb. При этом ковариация между ΔlnY_n(t) и ΔlnY_n(t+τ) принимает на интервале |τ|n значение μ(lnb)(1−|τ|/rⁿ) и обращается в нуль вне этого интервала. Функция ΔlnY_n(t) не может считаться гауссовой, поскольку совместное распределение ее значений при двух (или более) t не является многомерной гауссовой случайной величиной.

Первая модификация. Заменим все ΔlnY_n(t) соответствующими ΔlnY^*_n(t), определяемыми как гауссовы случайные функции с практически той же ковариацией μ(lnb)exp(1−|τ|/rⁿ). В результате такой замены сохраняется «область зависимости» оригинала, однако нарушаются дискретные границы между вихрями продолжительности rⁿ.

Вторая модификация. Заменим дискретный параметр nlnb непрерывным параметром λ. Сумма конечных разностей ΔlnY^*_n(t) заменяется при этом интегралом бесконечно малых дифференциалов dlnL_λ(t) со средним −½μdλ и дисперсией μdλ, а вихри становятся непрерывными.

Определение функцииL(t). Рассмотрим предел

.

Случайная величина lnL_λ(t)является гауссовой со средним λ(t)>=−½λμ и дисперсией σ²L_λ(t)=λμ. Отсюда λ(t)>=1 при всех λ. Однако предел функции L_λ(t) может быть либо невырожденным, либо почти наверное равным нулю. Математического разрешения эта проблема пока не получила, однако можно, очевидно, придать строгий вид нижеследующим эвристическим рассуждениям. Они проводятся на примере более интересных функций L(x) от трехмерной переменной.

Множество концентрации предельной логарифмически нормальной меры. Удобным средством для получения представления о множестве, в котором значение L_λ(x) не только не малó, но чрезвычайно велико, являются опорные квадраты со стороной rⁿ. Это не искусственно навязанные субвихри, а всего лишь способ измерения. При n≫1 и фиксированном x вероятность того, что значение логарифмически нормальной функции L_{n lnb}(x) окажется очень близко к нулю, чрезвычайно высока, т.е. на бóльшей части области определения значения этой функции чрезвычайно малы.

Поскольку функция L_{n lnb}(x) непрерывна, изменение ее значения внутри ячейки со стороной rⁿ очень невелико, а это значит, что к настоящей модели применим способ получения множества концентрации в случае взвешенного створаживания с логарифмически нормальной величиной W. Если пренебречь логарифмическими членами, то количество ячеек, составляющих бóльшую часть интеграла функции L_{n lnb}(x), имеет математическое ожидание Q=(rⁿ)^D*, где D^*=3−μ/2.

Если μ>6 (т.е. D^*<0), то Q→0 при λ→∞, и функция L(x) почти наверное вырождена.

Если 4<μ<6 (т.е. 0^*<1), то функция L(x) имеет размерность D=D^* и невырождена, однако ее следы на плоскостях и прямых почти наверное вырождены.

Если 2<μ<4 (т.е. 1^*<2), то функция L(x) и ее следы на плоскостях невырождены (размерности D^* и D^*−1, соответственно), однако ее следы на прямых почти наверное вырождены.

Если 0<μ<2 (т.е. 2^*<3), то и функция L(x), и ее следы на плоскостях и прямых невырождены (размерности D^*, D^*−1 и D^*−2, соответственно).

6. РАЗМЕРНОСТЬ КОНЦЕНТРАТА МЕРЫ

Исследование относительной перемежаемости может привести нас и к другим определениям размерности. Вместо множества в метрическом пространстве рассмотрим некую меру μ(S), которая определена в ограниченном подпространстве Ω (в соответствующем σ - поле, включающем в себя и шары) и обладает нижеперечисленными свойствами. (А) Когда S - шар, μ(S)>0, а μ(Ω)=1, т.е. «множество, в котором μ>0» совпадает с пространством Ω. (Б) Руководствуясь интуитивными соображениями, можно однако предположить, что мера μ «концентрируется» внутри очень малой части пространства Ω. Необходимы новые способы количественного выражения (Б).

При заданных ρ>0 и 0<λ<1 рассмотрим множества ∑_λ, для которых верно неравенство μ(Ω−∑_λ)<λ. Обозначим через N(ρ,∑_λ) инфимум количества шаров радиуса ρ, необходимых для покрытия множества ∑_λ. Определим

N(ρ,λ)=infN(ρ,∑_λ).

За некоторыми, на мой взгляд, многообещающими эвристическими оценками скрываются выражения «размерностного» вида

;

;

,

строгое исследование которых можно было бы только приветствовать. Разумеется, эвристические оценки заменяют значение infN(σ,λ) действительным N(σ,∑_λ) относительно некоторого приемлемого покрытия ∑_λ.

ПОТЕНЦИАЛЫ И ЕМКОСТИ. РАЗМЕРНОСТЬ ФРОСТМАНА

Размерность Хаусдорфа – Безиковича D играет центральную роль в современной теории классических и обобщенных потенциалов (потенциалов Марселя Рисса) с ядрами вида |u|^−F, где F≠E−2 . Из появившихся в недавнее время неэлементарных исследований теории потенциалов рекомендую обратить внимание на книги Дюплесси ([122], глава 3) и Ландкофа [287] (в последней материал изложен более подробно).

1. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ

Мы вскоре сможем убедиться в том, что особое значение D=1 тесно связано с ньютоновским потенциалом в ℝ³. Эта связь лежит в основе замечаний, высказанных в главе 9 относительно различных космологических теорий, согласно которым D=1, - таких, например, как теории Фурнье и Джинса – Хойла.

Я полагаю, должна существовать возможность переформулировать эти теории в виде следствий из ньютонова закона всемирного тяготения.

Следовательно, должна существовать и возможность вывести отклонение наблюдаемого значения D~1,23 от единицы из неньютоновских (релятивистских) эффектов.

2. РАЗМЕРНОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛЫ: ЭВРИСТИКА

Как уже упоминалось в главе 9, Бентли и Ньютону было известно о том, что в теории гравитационного потенциала имеет место эффект, аналогичный кеплерову эффекту пылающего неба («парадоксу Ольберса»). Предположим, что E=3, что масса M(R), заключенная внутри сферы радиуса R с центром в точке ω, пропорциональна R_D, где D=3, и что ядро потенциала является ньютоновским и имеет вид R^−F, где F=1 . Масса, заключенная внутри оболочки толщины dR и радиуса R, пропорциональна R^D−1; следовательно, полный потенциал в точке ω, определяемый как ∝∫R^−FR^D−1dR=∫RdR, расходится в бесконечности. Расхождения в бесконечности не будет, если D=3, а F>3, т.е. если потенциал не является ньютоновским. Тот же результат мы получим и в модели Фурнье – Шарлье с F=1 и D<1.

Для общего интеграла ∫R^D−1−FdR условие сходимости в бесконечности очевидно: D. Таким образом, устанавливается однозначная связь между D и F; значению F=1, в частности, соответствует D=1.

3. ПОТЕНЦИАЛ И ЕМКОСТЬ

Эту связь исследовали Д. Пойа и Д. Серё, в окончательном же виде ее сформулировал О. Фростман в [158]. Главное усовершенствование заключается в том, что рассуждение теперь распространяется не только на точку начала координат ω, но на все точки, принадлежащие множеству S (компактному). Рассмотрим единичную массу, распределенную на множестве S так, что область du содержит массу dμ(u). В точке t ядро |u|^−Fдает потенциальную функцию

∏(t)=∫|u−t|^−Fdμ(u).

Для измерения «протяженности» множеств де Ла Вале Пуссен применил физическую концепцию электростатической емкости. Идея такова, что если емкость C(S) множества S достаточно высока, то масса, которую мы можем «перетасовать» для достижения наименее возможного максимального потенциала, равна μ.

Определение. Найдем супремум потенциала по всем точкам t, затем – инфимум полученного результата относительно всех возможных распределений единичной массы на множестве S и, наконец, положим

.

Если используется ядро 1/r, то такой минимальный потенциал и в самом деле создается электрическими зарядами на проводящем множестве.

Эквивалентное определение. Величина [C(S)]⁻¹представляет собой инфимум (среди всех распределений массы, носителем которой является множество S) энергии, определяемой двойным интегралом

∫∫|t−u|^−Fdμ(s)dμ(t).

4. D КАК РАЗМЕРНОСТЬ ФРОСТМАНА

Между величинами C(S) и F имеет место простое соотношение. Когда показатель F, используемый при определении емкости C(S), больше, чем размерность D Хаусдорфа – Безиковича, C(S) обращается в нуль, - это означает, что даже при «наиболее эффективном» распределении массы по множеству S потенциал в какой-то из точек бесконечен. Когда же F меньше D, емкость множества S положительна. То есть размерность Хаусдорфа – Безиковича выступает здесь, согласно Пойа и Серё, как емкостная размерность. Тождественность этих понятий была в наиболее общем виде доказана Фростманом [158].

В этой связи стоит упомянуть и о сложном соотношении между емкостной мерой и мерой Хаусдорфа в размерности D, полученном Телором (см. [559]).

5. «АНОМАЛЬНАЯ» РАЗМЕРНОСТЬ

Ядра |u|^−F, где F≠E−2, ассоциируются в сознании физика с пространством вложения с «аномальной евклидовой» размерностью 2−F. (Я не склонен думать, что под этими терминами подразумеваются какие-то реальные обобщения размерности E на какие-либо положительные вещественные числа, кроме целых.) Принимая во внимание а) наличие связи между размерностями D и F (размерность Фростмана) и б) роль размерности D в описании скоплений галактик (установленную в главе 9), мы приходим в рамках «аномально – размерностной» терминологии к следующему утверждению: фрактальная размерность скоплений галактик D=1 не является аномальной, однако наблюдаемая фрактальная размерность D=1,23 требует, по всей видимости, пространства вложения с аномальной размерностью.

РАЗМЕРНОСТЬ И ПОКРЫТИЕ МНОЖЕСТВА (ИЛИ ЕГО ДОПОЛНЕНИЯ) ШАРАМИ

В моем понимании фрактальная размерность и все ее допустимые варианты являются не топологическими, но метрическими понятиями. Они включают в себя некое метрическое пространство Ω, то есть пространство, в котором соответствующим образом определяется расстояние между любыми двумя точками. Замкнутый (либо открытый) шар с центром ω и радиусом ρ в таком пространстве представляет собой множество всех точек, находящихся от точки ω на расстоянии ≤ρ (либо <ρ). (Шары суть сплошные тела, а сферами мы называем их поверхности.)

Существует много способов покрытия некоторого заданного ограниченного множества S в пространстве Ω. Часто (как, например, в случаях, рассматриваемых в данном разделе) эти способы естественным образом включают в себя понятие размерности. В фундаментальных прецедентных исследованиях упомянутые размерности имеют одинаковые значения. Однако в других примерах их значения могут быть различными.

1. КАНТОР И МИНКОВСКИЙ

Самый приблизительный способ покрытия, восходящий еще к Кантору, заключается в том, что каждая точка множества S объявляется центром шара; объединение этих шаров рассматривается далее как сглаженный вариант множества S и обозначается через S(ρ).

Добавим сюда допущение о том, что Ω является E - мерным евклидовым пространством. В этом случае понятие объема (vol) определено, и можно записать

vol{d−мерный шар радиуса ρ}=γ(d)ρ^D,

где

γ(d)=[Γ(½)]d/Γ(1+d/2).

Если S - куб, объем которого много больше ρ³, то

vol[S(ρ)]~vol[S].

Если S - квадрат, площадь которого много больше ρ², то

vol[S(ρ)]~2ρ×площадь[S].

Если S - интервал, длина которого много больше ρ, то

vol[S(ρ)]~πρ²×длина[S].

Уточним наше выражение. Введем для обозначения объема, площади или длины общий термин «протяженность», а буквой d обозначим стандартную размерность. Положив

V=vol[S(ρ)]/γ(E−d)ρ^E−d,

мы увидим, что и для кубов, и для квадратов, и для прямых верно следующее выражение:

.

Эта формула представляет собой вовсе не пустячное соотношение, связывающее два в равной степени безобидных понятия, как это может показаться на первый взгляд. Как показывает пример, представленный Х. А. Шварцем (1882), по мере увеличения точности триангуляции кругового цилиндра сумма площадей треугольников вовсе не обязательно сходится к площади поверхности цилиндра. Для того, чтобы избежать такого парадоксального поведения, Минковский [431] предпринял попытку свести понятия длины и площади к простой и здравой концепции объема с помощью вышеописанного метода покрытия множества S шарами.

Здесь, однако, с самого начала возникает небольшое затруднение: выражение для V при ρ→0 может и не иметь предела.

В этом случае предел lim заменяется парой limsup и liminf. Любому вещественному числу A из открытого интервала ]liminf,limsup[ соответствует, по меньшей мере, одна последовательность значений ρ_m→0, таких, что

.

Такой последовательности, однако, не существует, если либо A<liminf, либо A>limsup. В соответствии с этими определениями, Минковский [431] называет величины

и

верхней и нижней d - протяженностью множества S. Если они равны, их значение совпадает с d - протяженностью множества S. Минковский также отмечает, что в случае стандартных евклидовых фигур существует некая величина D, такая, что при d>D верхняя протяженность S обращается в нуль, а при d нижняя протяженность S бесконечна.

2. БУЛИГАН

Обобщение определения Минковского на случай нецелочисленных d было предпринято Булиганом в [47, 48]. На роль размерности Минковского – Булигана D_MB из упомянутых выше пределов, пожалуй, больше подходит liminf, способный принимать дробные значения.

Булиган, безусловно, понимал, что размерность D_MB подчас противоречит здравому смыслу и, в общем, менее удобна, чем размерность Хаусдорфа – Безиковича D. Однако она часто совпадает с D и легче поддается оценке, а значит, может оказаться полезной. В [255] (с. 29) рассматривается случай E=1 и подтверждается, что размерность D_MB часто равна D, может быть больше D, но не может быть меньше.

3. ПОНТРЯГИН И ШНИРЕЛЬМАН. КОЛМОГОРОВ И ТИХОМИРОВ

Среди всевозможных наборов шаров радиуса ρ, покрывающих множество S в метрическом пространстве Ω, наиболее экономичным по определению является тот, который содержит наименьшее количество шаров. Если множество S ограничено, это наименьшее количество конечно и может быть обозначено как N(ρ). Учитывая это обстоятельство, Понтрягин и Шнирельман [481] выдвинули в качестве альтернативного определения размерности следующее выражение:

.

Дальнейшее развитие этот подход получил в работе Колмогорова и Тихомирова [278], авторы которой, почерпнув вдохновение в шенноновской теории информации, окрестили величину lnN(ρ)ρ - энтропией множества S. Хокс [204] называет соответствующую размерность нижней энтропийной размерностью, а ее вариант, получаемый заменой liminf на limsup - верхней энтропийной размерностью. Кроме того, Хокс показывает, что размерность Хаусдорфа – Безиковича не может превышать нижней энтропийной размерности; они часто совпадают, но не всегда.

В [278] рассматривается также величина M(ρ), определяемая как наибольшее количество точек в S, отстоящих друг от друга на расстояние, превышающее 2ρ . Для множеств, расположенных на прямой, M(ρ)=N(ρ). Для других множеств величину

можно считать еще одной размерностью.

У Колмогорова и Тихомирова [278] величина lnM(ρ) называется емкостью, что в высшей степени неудачно ввиду того, что в теории потенциала уже существует такой термин с совершенно иным и, на мой взгляд, более оправданным значением. В особенности следует избегать искушения определить выведенную в предыдущем абзаце размерность, как емкостную размерность. См. раздел потенциалы и емкости, 3.

4. БЕЗИКОВИЧ И ТЕЙЛОР. БОЙД

Из главы 8 нам известно, что в том случае, когда пространство Ω представляет собой интервал [0,1] или вещественную прямую, пыль S полностью определяется своим дополнением, т.е. объединением максимальных открытых интервалов или пустот (в некоторых построениях все пустоты являются тремами).

Троичная канторова пыльCна интервале [0,1]. Длины пустот составляют в сумме единицу и следуют гиперболическому распределению P(U>u)=Fu^−D. Следовательно, порядок длины λ_nn - й пустоты (в порядке уменьшения размера) равен n^−1/D.

Обобщенные линейные множества нулевой меры Лебега. Поведение длины λ_n при n→∞ рассмотрено в работе Безиковича и Телора [29]. Существует некоторый вещественный показатель D_BT, такой, что ряд ∑λ_n^d сходится при d>D_BT (в частности, сходится к 1 при d=1). Таким образом, D_BT представляет собой инфимум вещественных чисел d, при которых ∑λ_n^d<∞. Можно показать, что D_BT≥D. Хокс (см. [204], с. 707) доказывает, что величина D_BT совпадает с верхней энтропийной размерностью, причем иногда легче поддается оценке.

Предостережение. Если S не является множеством нулевой меры, показатель D_BT не является размерностью. Этот показатель сродни показателю, описанному в главе 15, и показателю Δ из главы 17.

Показатель аполлониевой упаковки. У показателя D_BT имеется аналог в случае аполлониевой упаковки (см. главу 18). Он был введен в 1966 г. З. А. Мельзаком, а Бойд [51] показывает, что этот показатель представляет собой (как и предполагалось) размерность Хаусдорфа – Безиковича остаточного множества.

РАЗМЕРНОСТЬ ПОДОБИЯ: НЕКОТОРЫЕ ТОНКОСТИ

В некоторых открытых множествах (т.е. не содержащих свои предельные точки) можно наблюдать серьезное несоответствие размерностей.

Множество концевых точек трем канторовой пыли самоподобно и характеризуется теми же значениями N и r, что и вся канторова пыль, т.е. его размерность подобия совпадает с размерностью подобия канторовой пыли. Однако оно является счетным, а это означает, что его размерность Хаусдорфа – Безиковича равна нулю. Если добавить сюда предельные точки пыли, то мы получим саму канторову пыль, и несоответствие исчезнет «в пользу» размерности подобия, которая для этого множества является более важной характеристикой.

Еще один простой пример, который я называю множеством Безиковича, рассматривается в разделе нелакунарные фракталы, 3.

РАЗМЕРНОСТЬ ФУРЬЕ И ЭВРИСТИКА

Пусть μ(x) - некоторая неубывающая функция от x∈[0,1]. Если максимальные открытые интервалы, в которых значение μ постоянно, составляют в сумме дополнение замкнутого множества S, то мы говорим, что множество S является опорным для dμ(x). Преобразование Фурье – Стилтьеса функции μ имеет вид

.

Самые гладкие функции μ дают наивысшую возможную скорость уменьшения . Обозначим через D_F наибольшее вещественное число, при котором, по меньшей мере, одна функция μ(x) с носителем S удовлетворяет равенству

при f→∞ для всех ε>0,

но ни одна μ(x) не удовлетворяет

при f→∞ для некоторых ε>0.

Выражение «a=O(b) при f→∞» означает здесь, что . Когда множество S заполняет весь интервал [0,1], величина D_F бесконечна. И напротив, когда S - одна – единственная точка, D_F=0. Интересно, что, когда S представляет собой множество нулевой меры Лебега, величина D_F конечна и не превышает размерности Хаусдорфа – Безиковича D этого множества. Неравенство D_F≤D показывает, что фрактальные и гармонические свойства фрактального множества связаны между собой, но не обязательно совпадают.

Для доказательства того, что эти размерности могут различаться, предположим, что S - это множество на прямой, причем его размерность D равна D_F. Если рассматривать S как множество на плоскости, то размерность D не изменится, а D_F обратится в нуль.

Определение. В качестве удобного способа обобщения некоторых гармонических свойств S, предлагаю назвать величину D_F размерностью Фурье множества S.

Множества Сейлема. Равенство D_F=D описывает целую категорию множеств, называемых множествами единственности, или множествами Сейлема (см. [255, 248]).

Эмпирическое правило и эвристика. Интересующие нас в прецедентных исследованиях фракталы оказываются, как правило, множествами Сейлема. Поскольку величина D_F во многих случаях легко определяется из экспериментальных данных, можно использовать ее для оценки D.

Неслучайные множества Сейлема. Неслучайная канторова пыль является множеством Сейлема только тогда, когда коэффициент r удовлетворяет определенным теоретико-числовым свойствам.

Случайные множества Сейлема. Случайная канторова пыль является множеством Сейлема тогда, когда ее случайность достаточно велика для нарушения любой арифметической закономерности.

Оригинальный пример, предложенный самим Р. Сейлемом, очень сложен. В качестве альтернативного примера можно привести пыль Леви: в [253] показано, что спектр dL(x) (здесь L(x) - лестница Леви, см. рис. 399) в среднем почти совпадает со спектром дробной броуновской функции из прямой в прямую и представляет собой сглаженный вариант спектра функции Гаусса – Вейерштрасса.

В монографии [248] (теоремы 1, с. 165, и 5, с. 173) показано, что образ компактного множества S с размерностью δ относительно дробной броуновской функции из прямой в прямую с показателем H представляет собой множество Сейлема с размерностью D=min(1,δ/H).

Канторова пыль не является множеством Сейлема. Троичная канторова пыль появилась в свое время на свет в результате поисков Георгом Кантором множества единственности (см. [616], I, с. 196), - поисков, которые не увенчались успехом. (Кантор тогда забросил гармонический анализ и – за неимением лучшего – создал теорию множеств.) Обозначим канторову лестницу через C(x). Спектр dC(x) имеет ту же общую форму, что и спектр dL(x), однако содержит, в отличие от последнего, некоторое количество случайно расположенных острых пиков неубывающего размера, из чего можно заключить, что D_F=0. См. [216].

Для теории множеств единственности наличие этих пиков играет решающую роль, однако на практике они вовсе не столь значимы. В большинстве случаев при оценке спектральной плотности пики игнорируются, и в расчет принимается только общая форма спектра, определяемая размерностью D.

СЕРЕДИННЫЕ И ПРЕРЫВИСТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Материалы по этой теме (связанной с кривыми Пеано) можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ПРИМЕНЕНИЕМ НОРМИРОВАННОГО РАЗМАХАR/S

До недавних пор в прикладной статистике принимались как само собой разумеющиеся два следующих допущения в отношении временных рядов: предполагалось, что 2><∞ и что случайная величина X обладает краткосрочной зависимостью. Я, однако, показал (см. главу 37), что эмпирические последовательности данных с длинными хвостами часто лучше интерпретируются в свете допущения 2>=∞ . С вопросом же о том, является та или иная последовательность данных слабо (краткосрочно) или сильно (долгосрочно) зависимой, мы впервые столкнулись еще тогда, когда я ввел долгосрочную зависимость для интерпретации феномена Херста (см. главу 27).

Такая смесь длинных хвостов и очень долгосрочной зависимости могла бы завести статистиков в тупик, поскольку стандартные методы второго порядка, рассчитанные на неизменную зависимость (корреляцию, спектры), руководствуются допущением 2><∞. Есть. Однако, альтернатива.

Можно пренебречь распределением величины X(t) и проанализировать ее долгосрочную зависимость с помощью нормированного размаха; иначе такая процедура называется R/S - анализом. Этот статистический метод, предложенный в [408] и получивший математическое обоснование в [384], основан на различии между краткосрочной и очень долгосрочной зависимостями. В этом методе вводится постоянная J, которая называется коэффициентом Херста, или R/S - показателем, и может принимать любые значения в интервале от 0 до 1.

Значимость постоянной J можно описать еще до ее определения. Особое значение J=½ характерно для независимых, марковских и других случайных функций с краткосрочной зависимостью. Таким образом, для того, чтобы узнать, присутствует ли в эмпирических данных или в выборочных функциях очень долгосрочная непериодическая статистическая зависимость, достаточно проверить, приемлемо ли статистически предположение J=½. Если нет, то такая зависимость присутствует, а мера ее интенсивности определяется разностью J−½, значение которой можно оценить на основании имеющихся данных.

Главное достоинство такого подхода заключается в том, что показатель J устойчив по отношению к маргинальному распределению. То есть он эффективен не только в тех случаях, когда последовательности данных или случайные функции являются почти гауссовыми, но и тогда, когда распределение X(t) настолько далеко от гауссова, что 2(t)> расходится, а в этом случае не работает ни один из методов второго порядка.

Определение статистическогоR/S- размаха. В непрерывном времени t определим X^*(t)=₀∫^tX(u)du, X^2*(t)=₀∫^tX²(u)du и X^*2=(X^*)². В дискретном времени i определим X^*(0)=0 и ; здесь [t] - целая часть t. Для всякого d>0 (величину d назовем запаздыванием) определим скорректированный размах суммы X^*(t) на временнóм промежутке от 0 до d в виде

.

Оценим далее выборочное среднеквадратическое отклонение величины X(t):

S²(d)=X^2*(d)/d−X^*2/d².

Величина Q(d)=R(d)/S(d) называется статистическим R/S - размахом или самонормированным самокорректированным размахом суммы X^*(t).

ОпределениеR/S - показателяJ. Предположим, что существует некоторое вещественное число J, такое, что при d→∞ величина (1/d^J)[R(d)/S(d)] сходится по распределению к некоторой невырожденной предельной случайной величине. Как доказано в [384], из этого предположения следует, что 0≤J≤1. В этом случае говорят, что функция X имеет R/S - показатель J и постоянный R/S - префактор.

Сделаем более общее предположение: пусть к некоторой невырожденной предельной случайной величине сходится по распределению отношение [1/d^JL(d)][R(d)/S(d)], где L(d) - некоторая медленно изменяющаяся на бесконечности функция, т.е. функция, удовлетворяющая условию L(td)/L(d)→1 при d→∞ для всех t>0. Простейшим примером такой функции является L(d)=lnd. В этом случае говорят, что функция X имеет R/S - показатель J и R/S - префактор L(d).

Основные результаты [384]. Когда X(t) - белый гауссов шум, имеем J=½ и постоянный префактор. Если точнее, то отношение e^−δJR(e^δ)/S(e^δ) является стационарной случайной функцией от δ=lnd.

В более общем виде, равенство J=½ справедливо во всех случаях, когда S(d)→2>, а нормированная сумма a^−½X^*(at) при a→∞ слабо сходится к B(t).

Когда X(t) - дискретный дробный гауссов шум (т.е. последовательность приращений функции B_H(t), см. с. 488), имеем J=H, где H∈]0,1[.

В более общем виде, для получения J=H≠½ и постоянного префактора достаточно, чтобы S(d)→2> и чтобы сумма X^*(t) приближалась к функции B_H(t) так, что *(t)>~t^2H.

В еще более общем виде, значение J=H≠½ и префактор L(d) преобладают, если S(d)→2>, а X^*(t) приближается к функции B_H(t) и удовлетворяет соотношению *2(t)>~t^2HL(t).

И наконец, J≠½, если S(d)→2>, а X^*(t) приближается к некоторой негауссовой масштабно-инвариантной случайной функции с показателем H=J. Примеры можно найти в [551, 554, 555].

С другой стороны, если X - белый устойчивый по Леви шум (т.е. 2>=∞), то J=½.

Когда функция X в результате дифференцирования становится стационарной, то J=1.

СТАЦИОНАРНОСТЬ. СТЕПЕНИ СТАЦИОНАРНОСТИ

Используя в научных текстах «обыкновенные» слова, мы либо а) имеем в виду их общеупотребительные, «мирские» значения (выбор которых зависит от автора), либо б) придаем им статус формальных определений (для чего выделяем какое-либо особое значение и заносим его на – в данном случае – математические «скрижали»). Терминам стационарный и эргодический повезло в том смысле, что математики достигли согласия относительно их значения. Я, однако, имел возможность на собственном опыте убедиться в том, что многие инженеры, физики и статистики-практики, признавая математическое определение на словах, на деле придерживаются более узких взглядов. Мне же, напротив, хотелось бы расширить математическое определение. Ниже я перечислю основные недоразумения, возникающие при употреблении упомянутых терминов, и попытаюсь объяснить, почему математическое определение нуждается в расширении.

Математическое определение. Процесс X(t) является стационарным, если распределение величины X(t) не зависит от t, а совместное распределение X(t₁+τ) и X(t₂+τ) не зависит от τ; причем то же верно и для совместных распределений X(t₁+τ)...X(t_k+τ) при всех k.

Первое недоразумение (философия). Согласно распространенному мнению, научной может считаться та деятельность, объектом которой являются феномены, подчиняющиеся неизменным правилам. Неверное понимание стационарности чаще всего является следствием именно такого взгляда на вещи: многие полагают, что под стационарностью подразумевается всего лишь инвариантность во времени управляющих процессом правил. Это далеко не так. Например, приращение броуновского движения B(t₁+τ)−B(t₂+τ) представляет собой гауссову случайную величину, среднее и дисперсия которой не зависят от τ. Не зависит от τ и правило построения множества нулей броуновского движения. К стационарности, однако, имеют отношение только те правила, которые управляют значениями самого процесса. В случае броуновского движения эти правила не являются инвариантными во времени.

Второе недоразумение (прикладная статистика). Статистики предлагают нам множество методов (иногда даже в виде программного обеспечения для компьютеров) «анализа временных рядов»; на деле же диапазон возможностей этих методов оказывается гораздо ỳже, чем можно было бы ожидать, судя по ярлыку. Это неизбежно, так как математическая стационарность – понятие слишком общее для того, чтобы какой-нибудь отдельный метод оказался бы применим ко всем возможным случаям. Однако тем самым статистики невольно воспитывают в своих клиентах убежденность в том, что понятие «стационарного временнóго ряда» тождественно другим, более узким понятиям, охватываемым тем или иным методом. Даже в тех случаях, когда авторы методов берут на себя труд проверить свои творения на «устойчивость», они учитывают лишь минимальные отклонения от простейшего состояния, не принимая в расчет весьма радикальных отклонений, ничуть не противоречащих стационарности.

Третье недоразумение (инженеры и физики). Многие исследователи (отчасти благодаря более ранним недоразумениям) полагают, что если выборочный процесс стационарен, то это означает, что он «может сдвигаться вверх и вниз, но остается в некотором роде статистически тем же». Такая интерпретация вполне годилась на раннем, «неформальном», этапе, однако в настоящий момент она неприемлема. Математическое определение описывает лишь правила порождения, но никак не затрагивает порождаемые объекты. Когда математики впервые столкнулись со стационарными процессами с чрезвычайно беспорядочными выборками, они были поражены тем, что понятие стационарности может включать в себя такое изобилие самых различных и неожиданных форм поведения. К сожалению, именно такие формы поведения многие практики наотрез отказываются признавать стационарными.

Серая зона. Нет никаких сомнений в том, что граница между стационарными и нестационарными процессами проходит где-то между белым гауссовым шумом и броуновским движением; споры вызывает лишь точное ее местонахождение.

Уточнение границы с помощью масштабно-инвариантных шумов. Гауссовы масштабно-инвариантные шумы (см. главу 27) могут послужить весьма удобным средством для уточнения спорной границы, поскольку их спектральная плотность имеет вид f^−B, где B≥0. Для белого шума B=0, для броуновского движения B=2, граница же между стационарными и нестационарными процессами попадает на различные значения B в зависимости от того, какими соображениями руководствуются «землемеры».

Математики, желая избежать «инфракрасной катастрофы», помещают границу при значении B=1, так как условие ₀∫¹f^−Bdf<∞ эквивалентно B<1.

Однако поведение выборки масштабно-инвариантного шума при B=1 изменяется весьма плавно. В сущности, гораздо более заметные изменения происходят при переходе от B=0 к B>0 - настолько, надо сказать, заметные, что исследователи-практики склонны считать нестационарной любую выборку с B>0. Стремясь быть последовательными, они также заявляют, что для представления данных, которые выглядят, как выборка с B>0, необходима исключительно нестационарная модель.

Я, в свою очередь, обнаружил, что вследствие исключения из рассмотрения значений B>1 определение стационарности оказывается недостаточно общим для многих прецедентных исследований.

Условно стационарные спорадические процессы. Например, теория фрактальных шумов (см. главу 9) позволяет предположить, что процесс, состоящий из броуновских нулей стационарен в ослабленной форме. В самом деле, предположим, что где-то в промежутке между t=0 и t=T имеется хотя бы один нуль. Результатом такого предположения будет случайный процесс, зависящий от T как от дополнительного внешнего параметра. Я отмечал, что совместное распределение значений X(τ+t_m) не зависит от t при условии, что все моменты времени τ+t_m находятся между 0 и T. Таким образом, нестационарный процесс броуновских нулей неявно включает в себя целый класс случайных процессов, каждый из которых условно стационарен, чего часто бывает вполне достаточно.

Процессы этого класса так тесно взаимосвязаны, что в [352] я даже предложил рассматривать их как один обобщенный стохастический процесс, называемый спорадическим процессом. Отличие такого процесса от стандартного случайного процесса заключается в том, что мера μ(Ω) всего выборочного пространства Ω бесконечна. То есть эту меру никак нельзя нормализовать к виду μ(Ω)=1. О бесконечной мере μ(Ω) для случайных переменных писал еще Реньи [489]. Для того чтобы мера μ(Ω)=∞ не привела к катастрофе, в теории обобщенных случайных величин делается допущение о том, что эти величины наблюдаются только будучи обусловленными некоторым событием C, таким, что 0<μ(C)<∞.

Хотя применимость случайных переменных Реньи очень ограниченна, спорадические функции оказываются иногда весьма полезными: в частности, с их помощью мне в [352] удалось избежать в нескольких случаях инфракрасной катастрофы, объяснив тем самым существование некоторых масштабно-инвариантных шумов с B∈[1,2].

Эргодичность. Перемешивание. Различным интерпретациям подвергается также и понятие эргодичности. В математической литературе понятие эргодичности включает в себя различные формы перемешивания. Существуют процессы с сильным перемешиванием и процессы со слабым перемешиванием. Различие между этими формами (если судить о нем по математическим трудам) может показаться весьма незначительным и далеким от реальных природных феноменов. Не позволяйте ввести себя в заблуждение – это не так. Например, масштабно-инвариантные шумы с 0 представляют собой процессы со слабым перемешиванием и ни в коем случае не с сильным.

Четвертое недоразумение (относительно возможности предельной сходимости кB(t)). Широко распространено мнение, согласно которому высказывание «процесс X(t) стационарен» равносильно утверждению о том, что его текущую сумму можно нормализовать таким образом, чтобы она сходилась к броуновскому движению. Математикам давно известно, что это мнение лишено каких бы то ни было оснований (см. [177]), а во многих из прецедентных исследований настоящего эссе участвуют функции X(t), которые ему прямо противоречат благодаря либо эффекту Ноя (2(t)>=∞), либо эффекту Иосифа (бесконечная зависимость, как в f^−B - шумах с B>0). Следует сказать, однако, что почти все мои прецедентные исследования были на некотором этапе a priori раскритикованы неким «экспертом», который утверждал, что исследуемые феномены явно нестационарны, и, следовательно, мои стационарные модели изначально обречены на неудачу. Рассуждение ошибочное, но психологически очень значимое.

Заключение. Вокруг границы между математически стационарными и нестационарными процессами не прекращаются бурные семантические диспуты. На практике же граница оккупирована процессами, которые хотя и не отвечают нашим интуитивным представлениям о стационарных процессах, все же способны выступать в роли объектов научного исследования. Эти процессы весьма пригодились и мне – как в настоящем эссе, так и в остальной исследовательской работе.

Лексические проблемы. И снова возникает необходимость в новых терминах. Возьму на себя смелость порекомендовать термин установившийся в качестве а) синонима того, что математики называют «стационарный и такой, что сумма X^*(t) сходится к B(t)», и б) термина для обозначения того интуитивного понятия, которое исследователи-практики склонны именовать «стационарностью». Обратное понятие можно обозначить терминами неустановившийся или блуждающий.

В одной из своих ранних работ (а именно: в [373]) я предложил называть установившиеся процессы лапласовыми и мягкими. Последнее слово употреблено в значении «безопасный, легко контролируемый»; это значение показалось мне вполне подходящим, поскольку, имея дело с таким случайным процессом, можно не опасаться каких-либо сюрпризов с его стороны – не стоит ждать от него тех резких отклонений и разнообразных конфигураций, благодаря которым анализ блуждающих случайных процессов представляет собой более сложное, но и гораздо более интересное занятие.

УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ

Среди достоинств гиперболического распределения отметим непревзойденную формальную простоту и инвариантность при усечении (см. раздел масштабная инвариантность при усечении). Другие преобразования, оставляющие его инвариантным, нас сейчас не интересуют. Гораздо большее значение для нас имеют сейчас распределения, инвариантные при сложении. Гиперболическими они являются лишь асимптотически, а Поль Леви выбрал для них в свое время в качестве названия донельзя перегруженный термин: «устойчивые распределения». Он же ввел и понятие устойчивого процесса, в котором участвуют как гиперболическое, так и устойчивое распределения.

До публикации моих работ устойчивые случайные величины считались явлениями «патологическими» и даже «чудовищными»; единственное исключение составлял случайный вектор Хольтсмарка, о котором мы поговорим в подразделе 9. Я предложил некоторые области приложения устойчивых случайных величин, важнейшие из которых описаны в главах 31, 32 и 37; Кроме того, ниже (подраздел 4) упоминается о возможности применения таких величин в генетике.

Литература. Существует огромное количество различных источников, но ни один из них нельзя счесть удовлетворительным. В монографии Феллера ([148], том II) материал по устойчивости представлен, пожалуй, в самом полном объеме, однако он разбросан по всей книге, и порой очень трудно отыскать необходимые сведения. Книга Ламперти [284] может послужить неплохим введением в курс дела. Рекомендую также и работу Гнеденко и Колмогорова [172], несмотря на ее почтенный возраст. Много полезных подробностей можно найти у Лукача [320]. Оригинальные трактаты Леви [302, 304] вряд ли придутся по вкусу всем, поскольку эти великие научные труды являют собой яркие образцы авторского стиля (см. главу 40).

1. ГАУССОВЫ С.В. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ

Известно, что гауссово распределение обладает следующим свойством: возьмем две независимые гауссовы случайные величины G₁ и G₂ и запишем

1>=2>=0; 1²>=σ₁²; 2²>=σ₂²;

тогда их сумма удовлетворяет равенству

1+G₂>=0; <(G₁+G₂)²>=σ₁²+σ₂².

Что более важно, величина G₁+G₂ сама является гауссовой случайной величиной. Таким образом, гауссово свойство инвариантно при сложении независимых случайных величин. Иными словами, гауссову случайную величину можно рассматривать как возможное решение системы уравнений, состоящей из функционального уравнения.

(L)(s₁X₁+s₂X₂)=sX

и вспомогательные соотношения

(A:2)s₁²+s₂²=s².

В действительности же, только гауссово распределение удовлетворяет как уравнению (L), так и соотношению (A:2) (без учета масштаба).

Более того, если в качестве вспомогательного соотношения выступает 2><∞, то гауссова случайная величина опять оказывается единственным решением.

Функциональное уравнение (L), для обозначения которого Леви использует термин устойчивость, подвергнуто весьма глубокому исследованию в его работе [302]. Во избежание возможной двусмысленности я использую в соответствующих случаях несколько громоздкую конструкцию устойчивость по Леви.

2. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА КОШИ

Поскольку практически настроенные ученые не склонны подвергать сомнению соотношение 2><∞, широко распространено мнение о том, что гауссово распределение является единственным устойчивым распределением. Это определенно не соответствует истине, о чем нам первым поведал Коши еще в 1853 г. (см. [71], с. 206). Коши приводит в пример некую случайную величину (впервые рассмотренную Пуассоном и называемую теперь «приведенной переменной Коши»), которая удовлетворяет следующему равенству

Pr(X>−x)=Pr(X−1tg⁻¹x;

отсюда

плотность Коши=1/[π(1+x²)].

Коши показал, что эта случайная величина является решением системы уравнений, составленной из (L) и альтернативного вспомогательного соотношения

(A:1)s₁+s₂=s.

Для случайной величины Коши 2>=∞ или, точнее, =∞. То есть для выражения такой очевидной вещи, как равенство масштаба произведения случайной величины X на некоторое неслучайное число s произведению s на масштаб X, нам потребуется для измерения масштаба величина, отличная от среднеквадратического значения. Одним из кандидатов на эту роль является расстояние между квартилями Q и Q', где Pr(XQ)=¼.

Чаще всего случайная величина Коши используется в качестве контрпримера, как это сделано, например, в [33], с. 321 – 323. См. также [212].

Геометрическая порождающая модель. Вышеприведенную формулу Pr(X−1tg⁻¹x можно реализовать геометрически, разместив точку W с равномерным распределением вероятностей на окружности u²+v²=1 и определив X как абсциссу точки, в которой прямая, проходящая через начало координат O и точку W, пересекает прямую v=1 . Случайная величина Y, определяемая в этом же построении как ордината точки, в которой прямая, проходящая через O и W, пересекает прямую u=1, имеет то же распределение, что и X. Поскольку Y=1/X, получается, что величина, обратная случайной величине Коши, также является случайной величиной Коши.

Более того: всякий раз, когда вектор OW=(X,Y) является изотропно распределенным случайным вектором в плоскости, величина Y/X является случайной величиной Коши. В частности, отношение двух независимых гауссовых случайных величин есть случайная величина Коши.

3. ВОЗВРАЩЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Составим систему из уравнения (L) и вспомогательного соотношения

(A:0,5)s₁^0,5+s₂^0,5=s^0,5.

Решением этой системы будет случайная величина, плотность которой при x<0 равна нулю, а в остальных случаях имеет вид

p(x)=(2π)^−1/2exp(−1/2x)x^−3/2.

Величина p(x)dx представляет собой вероятность того, что броуновская функция, удовлетворяющая равенству B(0)=0, удовлетворяет также равенству B(t)=0 при некотором значении t из интервала [x,x+dx].

4. ОБОБЩЕННЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Коши рассмотрел обобщенное вспомогательное соотношение

(A:D)s₁^D+s₂^D=s^D.

Симметричные решения. Основываясь на формальных расчетах, Коши утверждает, что система уравнений (L) и (A:D) имеет при любом значении D единственное решение: случайную величину, плотность которой имеет вид

π⁻²₀∫^∞exp(u^−D)cos uxdu.

Пойа и Леви показывают, что при 0 предположение Коши и в самом деле подтверждается, а гауссово распределение и распределение Коши являются частными случаями этого правила. Однако при D>2 это предположение оказывается несостоятельным, поскольку в этом случае вышеприведенная формальная плотность принимает отрицательные значения, что есть абсурд.

Крайние несимметричные решения. Леви, кроме того, показывает, что система уравнений (L) и (A:D) допускает и несимеетричные решения. В случае наиболее экстремально асимметричных решений порождающая функция (преобразование Лапласа) определена и равна exp(g^D).

Другие несимметричные решения. Общим решением системы уравнений (L) и (A:D) является взвешенная разность двух независимых одинаково распределенных решений с крайней асимметрией. Веса принято обозначать через ½(1+β) и ½(1−β).

Окончательное обобщение уравнения(L). При неизменном (A:D) заменим условие (L) условием

(L^*)s₁X₁+s₂X₂=sX+const.

При D≠1 такая замена ничего не меняет, однако при D=1 система допускает дополнительные решения, которые называются асимметричными случайными величинами Коши.

Бактерии – мутанты. В статье [377] я показал, что общее количество мутировавших бактерий в старой культуре (задача Луриа – Дельбрюка) представляет собой устойчивую по Леви случайную величину с крайней асимметрией.

5. ФОРМА УСТОЙЧИВЫХ ПО ЛЕВИ ПЛОТНОСТЕЙ

Если не считать трех исключений (D=2 с β=0, D=1 с β=0 и D=1/2 с β=1), нам не известны устойчивые по Леви распределения в замкнутой аналитической форме, однако свойства этих простых исключений можно обобщить и на другие случаи.

Во всех крайних асимметричных случаях с 0 плотность при x<0 обращается в нуль.

В результате обобщения того факта, что гауссова плотность равна exp(−1/2x²), мы имеем небольшой хвост крайних асимметричных случаев с 1. Плотность здесь ∝exp(−c|x|^D/(D−1)).

При x→∞ плотность Коши ∝π⁻¹x^−D−1, а плотность возвращений броуновской функции ∝(2π)^−½x^−D−1. В общем виде, при любом D≠2 плотность в длинном хвосте (или хвостах) ∝x^−D−1.

В иных случаях поведение плотности ρ(u) приходится находить численно. В [335] приведены графики для крайнего асимметричного случая, в [336] к ним добавлены примечания относительно очень близких к 2 значений D, а в [341] – графики для симметричного случая. Методы быстрого преобразования Фурье значительно облегчают эту задачу, см. [120, 121].

6. НЕРАВЕНСТВО СЛАГАЕМЫХ И ПРОИСТЕКАЮЩАЯ ИЗ НЕГО КЛАСТЕРИЗАЦИЯ

Пусть X₁ и X₂ независимые случайные величины с одинаковой плотностью вероятности p(u). Плотность вероятности величины X=X₁+X₂ имеет вид

p₂(u)=_−∞∫^∞p(y)p(u−y)dy.

Если известно значение суммы u, то плотность условного распределения каждого из слагаемых y равна p(y)p(u−y)/p₂(y). Рассмотрим подробно форму этой плотности

Примеры. Когда плотность p(u) является гауссовой плотностью с единичной дисперсией, т.е. унимодальной функцией (или функцией с одним максимумом), условное распределение также является гауссовым с центром в точке ½u, а его дисперсия равна ½, т.е. не зависит от u (см. раздел броуновские фрактальные множества, 3). При u→∞ относительные значения слагаемых почти равны.

Когда плотность p(u) представляет собой приведенную плотность Коши, т.е. снова унимодальную функцию, следует различать два очень непохожих случая. При |u|≤2, что составляет половину всех значений u, условное распределение также унимодально, а наиболее вероятным значением снова является ½u. В противоположном случае (при |u|>2) значение ½u становится наименее вероятным (локально). При |u|=2 условное распределение разветвляется на две отдельные «огивы», центры которых расположены в окрестности точек y=0 и y=u. По мере того, как u→±∞, становится все труднее отличить эти огивы от огив Коши с центрами в точках 0 и u.

Когда плотность p(u) представляет собой плотность возвращений броуновской функции, ситуация напоминает случай Коши, только еще более крайний, причем плотность условного распределения является бимодальной с вероятностью >½.

Вывод: рассмотрим три последовательных возвращения в нуль некоторого случайного блуждания: T_k−1, T_k и T_k+1. Если значение разности T_k−1−T_k+1 велико, то точка среднего возвращения с наибольшей вероятностью располагается чрезвычайно близко либо к точке T_k−1, либо к T_k+1, вероятность же того, что она окажется где-нибудь посередине между крайними возвращениями, можно полагать наименьшей. Этот результат сродни одному знаменитому «противоестественному» правилу из теории вероятности: закону арксинуса Леви.

Рассмотрим теперь условное распределение величины U, если известно, что сумма M величин U_g принимает очень большое значение u . В случае гауссова распределения результат, скорее всего, окажется таким: каждое слагаемое U_g будет приблизительно равно u/M. В случае же Коши (равно как и в случае броуновских возвращений) следует ожидать прямо противоположного результата: все слагаемые, кроме одного, будут очень малы.

Несоответствие, заключенное в идее «одинаковых» вкладов в сумму. Из того, что слагаемые a priori одинаковы (т.е. имеют одинаковое распределение), следует, что их значения могут a posteriori оказаться либо почти равными (как в случае гауссова распределения), либо в различной степени неравными (как в случае устойчивого по Леви распределения при очень большом значении суммы).

7. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РЕДЕЛЫ. РОЛЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Дана бесконечная последовательность X_n, составленная из независимых и одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная задача формулируется следующим образом: возможно ли выбрать такие веса a_n и b_n, чтобы сумма имела нетривиальный предел при N→∞?

В стандартном случае n²><∞ ответ на этот вопрос будет стандартен и утвердителен: a_N=1/√N, b_N~n>√N, а предел является гауссовым.

Нестандартный случай n²>=∞ намного сложнее: а) выбор a_N и b_N не всегда возможен; б) когда выбор возможен, предел оказывается устойчивым негауссовым; в) для того, чтобы показатель предела был равен D, достаточно, чтобы последовательность X_n имела асимптотически гиперболическое распределение с показателем D (см. главу 38); г) необходимое и достаточное условие приводится в источниках, перечисленных в начале этого раздела.

8. УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Эти функции представляет собой случайные функции со стационарными независимыми приращениями, причем величина приращений X(t)−X(0) является устойчивой по Леви случайной величиной. Масштабный коэффициент a(t), благодаря которому величина [X(t)−X(0)]a(t) остается независимой от t, должен иметь вид a(t)=t^−1/D.

Этот процесс является обобщением обыкновенного броуновского движения на случай D≠2.

Наиболее поразительное свойство функции X(t) заключается в том, что она разрывна и содержит скачки.

СлучайD<1. В этом случае X(t) не содержит ничего, кроме скачков, причем количество скачков, происходящих за интервал от t до t+Δt и имеющих абсолютное значение, превышающее u, представляет собой распределенную по закону Пуассона случайную величину с математическим ожиданием |Δt|u^−D.

Относительные количества положительных и отрицательных скачков равны, соответственно, ½(1+β) и ½(1−β). Крайний асимметричный случай β=1 допускает только положительные скачки; такая функция называется устойчивым субординатором и служит для определения лестниц Леви, изображенных на рис. 399 и 400.

Парадокс. Поскольку u^−D→∞ при u→0, общее ожидаемое количество скачков бесконечно, какой бы малой ни была величина Δt. То обстоятельство, что связанная с этим ожиданием вероятность также окажется бесконечной, представляется парадоксальным. Однако парадоксальность исчезает, как только мы обращаем внимание на то, что общее количество скачков, для которых u<1, составляет конечную величину. Этот вывод выглядит вполне естественным, если отметить, что ожидаемая длина малого скачка конечна и пропорциональна

₀∫¹Du^−D−1udu=D₀∫¹u^−Ddu<∞.

Случай1. В этом случае вышеприведенный интеграл расходится, т.е. общий вклад малых скачков составляет бесконечную величину. Вследствие этого функция X(t) содержит два члена, непрерывный и скачковый; каждый из членов бесконечен, однако сумма их конечна.

9. УСТОЙЧИВЫЕ ПО ЛЕВИ ВЕКТОРЫ И ФУНКЦИИ

Заменим случайную величину X в функциональном уравнении (L), участвующем в определении устойчивости, случайным вектором X. Если задан некоторый единичный вектор V, то очевидно, что система уравнений (L) и (A:D) имеет элементарное решение – произведение вектора V на скалярную устойчивую случайную величину.

Леви [304] показывает, что общее решение есть просто сумма всех элементарных решений, каждое из которых соответствует своему направлению в пространстве и взвешено в соответствии с некоторым распределением по поверхности единичной сферы. Вклады этих решений могут быть дискретными (конечными или счетно бесконечными), либо бесконечно малыми. Для того, чтобы вектор X был изотропным, элементарные вклады должны быть распределены равномерно по всем направлениям.

Устойчивые по Леви векторные функции от времени. Подобно устойчивым скалярным функциям, векторные функции допускают разложение в сумму скачков, следующих гиперболическому распределению. Размеры и направления скачков определяются распределением по поверхности сферы.

Распределение Хольтсмарка. Спектроскопические исследования Хольтсмарка [220] пережили свое время благодаря тому, что их результаты оказалось возможным переформулировать в терминах ньютоновского притяжения (см. [76]); до появления моих работ только в этих исследованиях фигурировал конкретный пример устойчивого по Леви распределения. Предположим, что в точке O имеется некая звезда, а в пространстве распределено (независимо друг от друга и с ожидаемой плотностью δ) еще некоторое количество звезд единичной массы. Какова общая сила притяжения, испытываемая звездой O со стороны этих звезд? Вскоре после того, как Ньютон открыл свой знаменитый обратно - квадратичный закон притяжения, преподобный Бентли написал ему письмо, в котором указал на то, что притяжение звезд, заключенных внутри узкого конуса dΩ' с вершиной в точке O, имеет бесконечное математическое ожидание; то же можно сказать и о притяжении звезд, заключенных внутри узкого конуса dΩ'', симметричного конусу dΩ' относительно точки O. Бентли заключил, что разница между этими бесконечностями не определена.

При решении задачи Хольтсмарка (в том виде, в каком ее обычно формулируют) подобная трудность нам не грозит, так как здесь мы имеем дело не с самими математическими ожиданиями, а с разностями между действительными и ожидаемыми величинами притяжения. Для начала рассмотрим звезды, заключенные внутри области, ограниченной вышеописанным конусом угловой величины dΩ и сферами радиусов r и r+dr. Каждая звезда притягивает с силой u=r⁻², а их количество представляет собой пуассонову случайную величину с ожиданием δ|dΩ|d(r³)=δ|dΩ|d(u^−3/2). Следовательно, для разности между действительным притяжением и его математическим ожиданием имеем характеристическую функцию

.

Как выясняется, эта разность соответствует устойчивой по Леви случайной величине с показателем D=3/2 и β=1 . Из подраздела 6 (см. выше) нам известно, что большое положительное значение u обусловлено, скорее всего, присутствием одной – единственной звезды вблизи точки O и не зависит от плотности звезд в других местах; распределение случайной величины U при очень больших u ведет себя как распределение величины притяжения ближайшей звезды.

Таким образом, общее избыточное притяжение представляет собой изотропный устойчивый по Леви вектор с D=3/2.

Смысл устойчивости можно объяснить так: допустим, звезда O испытывает притяжение со стороны двух равномерно распределенных звездных облаков, состоящих, скажем, из красных и голубых звезд; тогда величины силы притяжения только красных звезд, только голубых звезд и всех звезд вместе различаются лишь масштабным коэффициентом, а не аналитической формой их распределения.

10. УСТОЙЧИВЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

Построение броуновской функции из пространства в прямую, предложенное Ченцовым [79], обобщено мною для устойчивого случая в [379].

11. РАЗМЕРНОСТИ

Самые ранние вычисления размерности устойчивого процесса для негауссова случая можно найти в работах [420] и [39, 41]. Полная библиография приведена у Прюитта и Тейлора [484].

12. МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ВЗВЕШЕННОМ СЛОЖЕНИИ

В разделе нелакунарные фракталы (подраздел 4) описывается представленное в статьях [376, 378] семейство обобщений устойчивых по Леви случайных величин. Эти обобщения основываются на обобщении условия устойчивости по Леви (L), заключающемся в замене весов s_iμ случайными величинами.

ФРАКТАЛЫ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ)

Хотя в главе 3 мы и определили термин фрактал, я все же продолжаю считать, что наша тема представляет собой как раз такой случай, когда лучше всего обойтись совсем без определения (в эссе 1975 г., кстати, никакого определения не было).

Самый простой довод в пользу такого нежелания состоит в том, что настоящее определение, как мы вскоре увидим, исключает из семейства фракталов кое-какие множества, которые нам не хотелось бы терять.

Имеется и иное фундаментальное соображение: мое определение включает размерности D и D_T, однако понятие фрактальной структуры является, по всей видимости, более базовым, чем D или D_T. По сути, понятия размерностей получили неожиданное новое применение и, как следствие, бóльшую значимость!

Иными словами, должна существовать возможность определить фрактальную структуру как инвариантную под воздействием некоторой соответствующей определенным требованиям совокупности гладких преобразований. Задача эта, однако, едва ли окажется простой. Для того чтобы оценить ее сложность в стандартном контексте, вспомним хотя бы о том, что под некоторые определения комплексного числа попадают и вещественные числа! На данном этапе основной для нас является необходимость провести границу между простыми фрактальными множествами и стандартными множествами евклидовой геометрии. Этой необходимости мое определение отвечает.

Мое очевидное отсутствие энтузиазма в отношении определения фракталов было, несомненно, отмечено (и, надеюсь, правильно понято) многими выдающимися математиками, не обнаружившими такого в эссе 1975 г. Тем не мене, мы вполне можем предпринять кое-какие шаги для уточнения существующего определения.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Впервые фрактальное множество было определено в предисловии к эссе 1975 г. как множество в метрическом пространстве, для которого верно следующее неравенство:

D>D_T,

где D - размерность Хаусдорфа – Безиковича, а D_T - топологическая размерность.

Фракталы, описанные в этой книге, представляет собой, за одним исключением, множества в евклидовом пространстве размерности E<∞. Их можно назвать евклидовыми фракталами. Исключение представлено в главе 28: броуновскую береговую линию на сфере можно рассматривать как риманов фрактал.

2. КРИТИКА. РАЗМЕРНОСТИ ЧАСТИЧНО АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЧИСТО ФРАКТАЛЬНЫЕ

Вышеприведенное математическое определение является строгим, но не окончательным. Желая уточнить его, мы могли бы предложить несколько, на первый взгляд, вполне естественных поправок, однако здесь следует соблюдать известную осторожность.

Давным-давно, в поисках подходящей меры для свойств, которые впоследствии назовут фрактальными, я решил остановиться на размерности Хаусдорфа – Безиковича D, так как она была изучена основательнее остальных. Мне, однако, до сих пор не дает покоя то обстоятельство, что авторы трактатов, подобных [141], считают своим долгом вводить все новые и новые бесчисленные варианты мер, отличающихся от D весьма незначительными деталями. Как бы то ни было, рассмотрение этих деталей можно пока отложить.

Кроме того, при наличии нескольких возможных вариантов размерностей необходимо избегать тех, что связаны с явно внешними характеристиками. Наиболее же существенно то, что в понятии размерности D совершенно отсутствует арифметический аспект, чего нельзя сказать ни о размерности Фурье D_F (с. 511), ни о показателе Безиковича – Тейлора (с. 510, см. также [251], с. 89).

3. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ СЛУЧАИ ХАУСДОРФА

Промежуточные случаи всегда очень проблематичны. Несправляемую кривую с размерностью D=1 можно a priori назвать как фрактальной, так и нефрактальной; то же верно и в случае любого множества, для которого D=D_T, а хаусдорфова мера, полученная с помощью пробной функции h(ρ)=γ(D)ρ^D, бесконечна (не может обратиться в нуль). Приведу еще более раздражающий пример: канторова чертова лестница (см. рис. 125) на интуитивном уровне воспринимается как фрактал, поскольку она самым очевидным образом демонстрирует различные масштабы длины. Меня решительно не устраивает, что ее нельзя считать фракталом, пусть даже D=1=D_T (см. с. 541). За неимением иных критериев, я провожу границу, руководствуясь соображениями краткости определения. Если (и когда) будет предложен другой достойный критерий, определение нужно будет соответствующим образом изменить. См. также раздел хаусдорфова мера …, 8.

4. ВАРИАНТ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие емкостной размерности или размерности Фростмана (см. потенциалы и емкости, 4) удовлетворяет критерию, установленному в подразделе 2 данного раздела, просто потому, что ее значение совпадает со значением D. Следовательно, можно сформулировать альтернативное определение фрактала как множества, емкостная размерность которого больше его топологической размерности.

5. ФРАКТАЛЬНЫЕ ВРЕМЕНА, ВНУТРЕННИЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ

Некоторое количество сырого материала на эту тему можно найти в главе XII «Фракталов» 1977 г.

ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ И ИНФРАКРАСНАЯ КАТАСТРОФЫ

Комплексная функция Вейерштрасса имеет вид

,

где b>1 - некоторое вещественное число, а w записывается либо как w=b^−H(0, либо как w=b^D−2(1. Вещественная и мнимая части функции W₀(t) называются, соответственно, косинусоидой и синусоидой Вейерштрасса.

Функция W₀(t) непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако ее формальное обобщение на случай D<1 и непрерывно, и дифференцируемо.

Кроме самой функции W₀(t) в настоящем разделе рассматриваются некоторые ее варианты; необходимость в их представлении обусловлена тем новым смыслом, который придала функции Вейерштрасса теория фракталов.

Частотный спектр функцииW₀(t). Термин «спектр», на мой взгляд, перегружен значениями. Под частотным спектром понимается множество допустимых значений частоты f безотносительно к амплитудам соответствующих составляющих.

Частотный спектр периодической функции представляет собой последовательность положительных целых чисел. Частотный спектр броуновской функции – это ℝ⁺. Частотный же спектр функции Вейерштрасса есть дискретная последовательность bⁿ от n=1 до n=∞.

Энергетический спектр функцииW₀(t). Под энергетическим спектром понимается множество допустимых значений частоты fвместе со значениями энергии (квадратами амплитуд) соответствующих составляющих. На каждое значение частоты вида f=bⁿ в функции W₀(t) имеется спектральная линия энергии вида (1−w²)⁻¹w²ⁿ. Следовательно, суммарное значение энергии на частотах f≥bⁿ сходится и пропорционально w²ⁿ=b^−2nH=f^−2H.

Сравнение с дробным броуновским движением. Суммарная энергия пропорциональна f^−2H еще в нескольких рассмотренных нами ранее случаях: а) дробные периодические случайные функции Фурье – Броуна – Винера, допустимые частоты для которых имеют вид f=n, а соответствующие коэффициенты Фурье равны n^H−½; б) случайные процессы с непрерывной спектральной плотностью совокупности, пропорциональной 2Hf^−2H−1. Последние процессы суть не что иное, как дробные броуновские функции B_H(t), описанные в главе 27. Например, при H=½ можно обнаружить кумулятивный спектр функции Вейерштрасса (f⁻¹) в обыкновенном броуновском движении, спектральная плотность которого пропорциональна f⁻². Существенное различие: броуновский спектр абсолютно непрерывен, тогда как спектры функций Фурье – Броуна - Винера и Вейерштрасса дискретны.

Недифференцируемость. Для доказательства отсутствия у функции W₀(t) конечной производной при любом значении t Вейерштрассу пришлось объединить два следующих условия: а)b - нечетное целое число, вследствие чего функция W₀(t) представляет собой ряд Фурье, и б)log_b(1+3π/2). Необходимые и достаточные условия (b>1 и 1) взяты нами из статьи Харди [194] .

Расходимость энергии. Привычному к спектрам физику условия Харди представляются очевидными. Применяя эмпирическое правило, гласящее, что производная функции вычисляется умножением ее k - го коэффициента Фурье на k, физик находит для формальной производной функции W₀(t), что квадрат амплитуды коэффициента Фурье с k=bⁿ равен (1−w²)⁻¹w²ⁿb²ⁿ . Так как совокупная энергия на частотах, больших bⁿ, бесконечна, физику становится ясно, что производную W'₀(t) определить невозможно.

Интересно отметить, что Риман в поисках примера недифференцируемости пришел к функции , энергия спектра которой на частотах, бóльших f=n², пропорциональна n⁻³=f^−2H, где H=¾. Таким образом, применяя то же эвристическое рассуждение, можно предположить, что производная R'(t) недифференцируема. Заключение это верно лишь отчасти, поскольку при определенных значениях t производная R'(t) все-таки существует (см. [169, 528]).

Ультрафиолетовая расходимость / катастрофа. Термин «катастрофа» появился в физике в первом десятилетии ХХ века, когда Рэлей и Джинс независимо друг от друга разработали теорию излучения абсолютно черного тела, согласно которой энергия частотного диапазона ширины df в окрестности частоты f пропорциональна f⁻⁴. Это означает, что совокупная энергия спектра на высоких частотах бесконечна – что оказывается весьма катастрофичным для теории. Поскольку источником неприятностей являются частоты, лежащие за ультрафиолетовой частью спектра, явление получило название ультрафиолетовой (УФ) катастрофы.

Всем известно, что Планк построил свою квантовую теорию на руинах, в которые обратила теорию излучения именно УФ – катастрофа.

Историческое отступление. Отметим (хотя я не совсем понимаю, почему никто не сделал этого раньше; во всяком случае, в доступных мне источниках я ничего похожего не обнаружил), что причиной смерти как старой физики (✝1900), так и старой математики (✝1875) является одна и та же расходимость, подорвавшая их веру в то, что непрерывные функции просто обязаны быть дифференцируемыми. Физики отреагировали простым изменением правил игры, математикам же пришлось научиться жить с недифференцируемыми функциями и их формальными производными. (Последние представляет собой единственный часто применяемый в физике пример обобщенной функции Шварца.)

В поисках масштабно-инвариантного дискретного спектра. Инфракрасная расходимость. Хотя частотный спектр броуновской функции непрерывен, масштабно-инвариантен и существует при f=0, частотный спектр функции Вейерштрасса, соответствующий тому же значению H, дискретен и ограничен снизу значением f=1. Наличие нижней границы обусловлено исключительно тем обстоятельством, что число b у Вейерштрасса изначально было целым, а функция – периодической. Для устранения этого обстоятельства следует, очевидно, позволить n принимать любое значение от −∞ до +∞ . А для того, чтобы энергетический спектр стал масштабно-инвариантным, достаточно сопоставить каждой частотной компоненте bⁿ амплитуду wⁿ.

К сожалению, получаемый в результате ряд расходится, и повинны в этом низкочастотные компоненты. Такой дефект называется инфракрасной (ИК) расходимостью (или «катастрофой»). Как бы то ни было, с этой расходимостью приходится мириться, поскольку иначе нижняя граница f=1 вступает в противоречие с самоподобием, присущим энергетическому спектру f^−2H.

Модифицированная функция Вейерштрасса, самоаффинная относительно фокального времениt=0. Самая простая процедура, позволяющая продолжить частотный спектр f^−2H функции Вейерштрасса до значения f=0 и избежать при этом катастрофических последствий, состоит из двух этапов: сначала получаем выражение W₀(0)−W₀(t), и лишь затем позволяем n принимать любое значение от −∞ до +∞. Добавочные члены, соответствующие значениям n<0, при 0 сходятся, а их сумма непрерывна и дифференцируема. Модифицированная таким образом функция

по-прежнему является непрерывной, но нигде не дифференцируемой.

Вдобавок, она масштабно - инвариантна в том смысле, что

=w^−m[W₁(t)−W₀(0)].

Таким образом, функция =w^−m[W₁(b^mt)−W₀(0)] не зависит от m. Можно сказать иначе: при r=b^m функция r^−H[W₁(rt)−W₀(0)] не зависит от h . То есть функция W₁(r)−W₀(0), ее вещественная и мнимая части самоаффинны относительно значений r вида b^−m и фокального времени t=0.

Гауссовы случайные функции с обобщенным спектром Вейерштрасса. Следующим шагом на пути к реализму и широкой применимости является рандомизация обобщенной функции Вейерштрасса. Простейший и наиболее естественный метод заключается в умножении ее коэффициентов Фурье на независимые комплексные гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Вещественная и мнимая части получаемой в результате функции могут с полным правом называться функциями Вейерштрасса – Гаусса (модифицированными). В некоторых смыслах эти функции можно считать приближенными дробными броуновскими функциями. Когда значения H совпадают, их спектры настолько похожи, насколько позволяет то обстоятельство, что один из этих спектров непрерывен, а другой дискретен. Более того, к функциям Вейерштрасса – Гаусса применимы результаты Орея [457] и Маркуса [412] (см. с. 490), а фрактальные размерности их множеств уровня совпадают с фрактальными размерностями множеств уровня дробных броуновских функций.

Фрактальные свойства. Согласно теореме, доказанной в работах [317] и [30] (см. раздел эвристика липшица – Гёльдера), фрактальная размерность графика функции с некоторым показателем H, удовлетворяющей при всех x условию Липшица, находится в интервале от 1 до 2−H . Известно, что в случае броуновской функции с тем же кумулятивным спектром f^−2H размерность принимает наибольшее возможное значений 2−H=D. Я предполагаю, что то же верно и для кривой Вейерштрасса. А размерность ее нуль – множества равна 1−H.

Нуль - множества родственных функций. Функции Радемахера представляет собой «ступенчатые» варианты синусоид вида sin(2πbⁿt), где b=2. Когда синус положителен (отрицателен, обращается в нуль), значение функции Радемахера равно 1 (соответственно, −1 и 0) (см. [616], I, с. 202). Естественным обобщением функции Вейерштрасса является ряд, n - й член которого представляет собой произведение wⁿ на n - ю функцию Радемахера. Эта обобщенная функция разрывна, однако ее спектральный показатель по-прежнему равен 2H. Учитывая прецедент в лице дробного броуновского движения, можно предположить, что размерность нуль – множеств функции Вейерштрасса – Радемахера окажется равной 1−H. Это предположение находит подтверждение в [31], однако только для целочисленных 1/H.

Сингх [526] упоминает о многих других вариантах функции Вейерштрасса. Размерность D нуль – множеств некоторых из них легко поддается оценке. Вообще, эта тема явно заслуживает более подробного исследования с учетом достижений современной теоретической мысли.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ И КОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

Классическое определение характеристической функции J(t) при заданном множестве S имеет следующий вид: J(x)=1, если x∈S, и J(x)=0, если x∉S. Когда множество S представляет собой канторово множество (салфетку или ковер) Серпинского, фрактальную сеть или любое множество из нескольких других классов фракталов, функция J(x) не совсем удобна. На мой взгляд, часто бывает удобнее заменить функцию J(x) другой функцией C(x), которую ввел я и которую предлагаю назвать кохаристической.

Функция C(x) представляет собой случайно взвешенное среднее характеристических функций пустот множества S. Иными словами, в каждом отдельном пустом промежутке C(x) постоянна, а ее значения в других пустотах являются независимыми случайными величинами с одинаковым распределением.

Под старым и часто неверным названием ядерной функции функция C(x) вводится и исследуется в работах [347, 352, 357].

ХАУСДОРФОВА МЕРА И РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА

В качестве удобных источников общих сведений по теме рекомендую [231], [35], [497], [3].

1. МЕРА КАРАТЕОДОРИ

Кантору приходила в голову мысль о том, что «при исследовании размерностей непрерывных множеств невозможно обойтись без общего понятия объема или величины», однако он, по всей видимости, не уделил ей должного внимания. Лебег полагает, что, имей Кантор полное представление о сложности стоящей перед ним задачи, ему вряд ли удалось бы достичь сколько-нибудь значительных результатов. Эта мысль получила дальнейшее развитие в работе Каратеодори [67] и была впоследствии воплощена Хаусдорфом [203].

Классическая процедура оценки площади плоской фигуры начинается с аппроксимации множества S с помощью набора очень маленьких квадратов; далее сторона каждого квадрата возводится в степень D=2 и полученные результаты складываются. Каратеодори [67] расширяет рамки этого традиционного подхода. Заменив квадраты дисками, он избегает зависимости от координатных осей; кроме того, с самого начала предполагается, что мы не знаем, является ли множество S стандартной евклидовой фигурой известной размерности, вложенной в известное пространство R^E.

Заметим теперь, что если плоскую фигуру, вложенную в трехмерное пространство, можно покрыть дисками, то ее a fortiori можно покрыть шарами, экваторами которых являются эти диски. Следовательно, если мы не хотим заранее считать множество S плоским, нам достаточно покрыть его вместо дисков шарами. Если же S и в самом деле является поверхностью, ее приближенную меру можно получить простым сопоставлением каждому шару выражения вида πρ² и последующим сложением этих выражений. В более общем виде, для получения меры какой-либо d- мерной фигуры следует складывать выражения вида h(ρ)=γ(d)ρ^d; входящая сюда функция γ(d)=[Γ(1/2)]^d/Γ(1+d/2) была определена ранее в этой главе как протяженность шара единичного радиуса. На этом основании Каратеодори [67] распространяет понятия «длины» и «площади» и на нестандартные фигуры.

2. ХАУСДОРФОВА МЕРА

Хаусдорф [203] расширяет определение Каратеодори, допуская возможность дробного значения d (функция γ(d) записывается таким образом, что она при этом продолжает иметь смысл). Таким образом, мы больше не ограниченны степенями ρ, а вольны использовать любую положительную пробную функцию h(ρ), которая стремится к нулю вместе с ρ.

Более того, поскольку шар представляет собой всего лишь множество точек, расстояние до которых от центра w не превышает заданного радиуса ρ, шар продолжает оставаться определенным даже в случае неевклидова пространства Ω - при условии, что в этом пространстве определено расстояние. Как мы уже отмечали, такие пространства называются метрическими, следовательно, и хаусдорфова мера представляет собой метрическое понятие.

Если задана некоторая пробная (или «калибровочная») функция h(ρ), то можно сказать, что мера конечного покрытия множества S шарами радиуса ρ_m равна ∑h(ρ_m). Для получения наиболее экономичного покрытия мы рассматриваем все покрытия шарами, радиус которых меньше ρ, и образуем инфимум

.

При ρ→0 ограничение ρ_m<ρ становится чрезвычайно жестким. То есть выражение inf∑h(ρ_m) может только возрастать; у него есть предел, который имеет вид

.

Этот предел может быть конечным положительным, отрицательным или нулевым. Он определяет h - меру множества S.

Если h(ρ)=γ(d)ρ^d, то h - мера называется d - мерной. Точнее говоря, из-за префактора γ(d)h - мера является нормированной d - мерной мерой.

Если h(ρ)=1/ln|ρ|, то h - мера называется логарифмической.

3. ВНУТРЕННЯЯ ПРОБНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА

Функцию h(ρ) можно назвать внутренней для множества S и обозначить как h_S(ρ), если h_S - мера S положительна и конечна. Эту меру можно назвать фрактальной мерой множества S.

Для стандартных фигур евклидовой геометрии внутренняя пробная функция всегда имеет вид h_S(ρ)=γ(D)ρ^D, где D - некоторое целое число. Хаусдорф показал, что внутренней для канторовых пылей и кривых Коха является функция h_S(ρ)=γ(D)ρ^D с нецелочисленным значением D.

Типичные случайные фракталы, пусть даже и статистически самоподобные, также обладают внутренней функцией h_S(ρ), однако она имеет более сложный вид – например, h_S(ρ)=ρ^Dln|ρ|. В этом случае h - мера множества S относительно функции h(ρ)=γ(D)ρ^D обращается в нуль, т.е. фигура содержит меньше «вещества», чем если бы она была D - мерной, но больше, чем если бы она была D - ε-мерной. В качестве примера можно привести траекторию броуновского движения на плоскости, внутренняя функция для которого, согласно Леви, имеет вид h(ρ)=ρ²ln ln(1/ρ). См. [560].

Поскольку двумерная мера любого ограниченного множества на плоскости конечна, пробные функции вида ρ²/ln(1/ρ) не могут быть внутренними ни для какого плоского множества.

Автором (либо соавтором) многих работ, посвященных определению внутренних функций h_S(ρ) случайных множеств, является С. Дж. Тейлор; особо рекомендую обратить внимание на статью [484] (написанную им в соавторстве с У. Э. Прюиттом).

4. РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если известно, что множество S двумерно, вполне достаточно оценить хаусдорфову h - меру для h(ρ)=πρ². Однако определение хаусдорфовой меры сформулировано таким образом, что предварительного знания размерности D не требуется. Имея дело со стандартной фигурой неизвестной размерности, мы будем оценивать ее меру для всех пробных функций h(ρ)=γ(d)ρ^d, где d - целое число. Если длина фигуры бесконечна, а объем равен нулю, то она может быть только двумерной.

Безикович распространил суть последнего заключения на случаи, в которых показатель d не является целым числом, а множество S - стандартной фигурой. Он показал, что для каждого множества S существует такое вещественное значение D, что d - мера этого множества при d бесконечна, а при d>D обращается в нуль.

Эта величина D и называется размерностью Хаусдорфа – Безиковича множества S.

Для физика это означает, что величина D представляет собой критическую размерность.

D - мерная хаусдорфова мера D - мерного множества S может быть либо равна нулю, либо бесконечна, либо положительна и конечна. Хаусдорф ограничился только последним, самым простым, случаем и показал, что в эту категорию входят канторовы множества и кривые Коха. Если множество S ко всему прочему еще и самоподобно, легко заметить, что его размерность подобия должна быть равна D. С другой стороны, мы знаем, что типичные случайные множества имеют в качестве естественной размерности нулевую меру.

Долгое время Безикович являлся автором или соавтором почти всех публикуемых по данной теме работ. Если Хаусдорфа можно назвать отцом нестандартной размерности, то Безикович, несомненно, заслужил себе звание ее матери.

Коразмерность. Когда в роли пространства Ω выступает ℝ^E, D≤E, а разность называется коразмерностью.

5. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ (СЛОЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ)

Рассмотрим множества S₁ и S₂, принадлежащие, соответственно, E₁ - пространству и E₂ - пространству, и обозначим через S множество в E - пространстве (E=E₁+E₂), представляющее собой произведение множеств S₁ и S₂ . (Если E₁=E₂=1, то S - это множество расположенных на плоскости точек (x,y), причем x∈E₁ и y∈E₂.)

Эмпирическое правило гласит, что если множества S₁ и S₂ «независимы», то размерность множества S равна сумме размерностей множеств S₁ и S₂.

Понятие «независимости», входящее в это правило, оказывается неожиданно сложно сформулировать и представить в общем виде. См. [413, 414], [204] и [416]. К счастью, в подобных прецедентных исследованиях (в таких, например, какие мы рассматриваем в настоящем эссе) нас, как правило, спасает интуиция.

6. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОЖЕСТВ (СЛОЖЕНИЕ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ)

Эмпирическое правило выглядит следующим образом: если S₁ и S₂ суть независимые множества в E - пространстве, и

коразмерность (S₁)+коразмерность (S₂),

то левая часть этого неравенства почти наверное равна коразмерности S₁∩S₂. Если сумма коразмерностей больше E, то размерность пересечения почти наверное равна нулю.

В частности, два множества одинаковой размерности не пересекаются, если D≤E/2. Размерность E=2D можно, таким образом, назвать критической.

Примечательно, что два броуновских следа (при том, что размерность броуновского следа D=2) пересекаются при E<4 и совершенно не соприкасаются при E≥4.

Правило очевидным образом распространяется и на пересечения более чем двух множеств.

Самопересечения. Множество k - кратных точек S можно рассматривать, как пересечение k реплик S. Напрашивается предположение, что, с точки зрения размерности пересечения, упомянутые k реплик можно считать независимыми. По крайней мере, в одном случае эта догадка оказывается верной. С. Дж. Тейлор в работе [561] исследует следы броуновского движения и движения Леви в ℝ¹ и ℝ² (обобщая результаты, полученные Дворжецким, Эрдешем и Какутани). Размерность следа равна D, а размерность множества, состоящего из его k - кратных точек, составляет max[0,E−k(E−D)]. Телор предположил, что этот результат верен в ℝ^E для всех k вплоть до k=∞.

7. ПРОЕКЦИИ МНОЖЕСТВ

Эмпирическое правило таково: когда фрактал S размерности D проецируется вдоль независимого от S направления на евклидово подпространство размерности E₀, для проекции S^* верно равенство:

размерность S=min(E₀,D).

Приложение. Пусть x₁∈S₁ и x₂∈S₂, где S₁ и S₂ - фракталы в ℝ^E с размерностями D₁ и D₂. Через a₁ и a₂ обозначим некие неотрицательные вещественные числа и определим множество S как множество, составленное из точек вида x=a₁x₁+a₂x₂. Размерность D этого множества удовлетворяет неравенству:

max(D₁,D₂)≤D≤min(E,D₁+D₂).

Для доказательства находим прямое произведение ℝ^E на ℝ^E и проецируем.

В случае независимости множеств скорее всего подойдет и верхний предел размерности. При D=E=1 множество S является либо фракталом, либо множеством с интервалами.

8. СУБОРДИНАЦИЯ МНОЖЕСТВ (УМНОЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТЕЙ)

См. главу 32.

9. СУБРАЗМЕРНОСТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Если внутренняя функция множества S имеет вид h_S(ρ)=γ(D)ρ^D, свойства фрактала полностью описываются его размерностью D. Если же

h_S(ρ)=ρ^D[ln(1/ρ)]^Δ1[ln ln(1/ρ)]^Δ2,

то описание фрактальных свойств множества S оказывается более громоздким. Одной размерностью в этом случае не обойтись, требуется последовательность D, Δ₁, Δ₂. Величины Δ_m можно назвать субординатными размерностями или субразмерностями.

Субразмерности в состоянии пролить свет на вопрос, следует ли считать фракталами пограничные множества, описанные в разделе фракталы, 3. Возможно имеет смысл называть фракталами любое множество S, размерность D которого равна D_T, но хотя бы одна субразмерность Δ отлична от нуля.

ЭВРИСТИКА ЛИПШИЦА – ГЁЛЬДЕРА

Фрактальная размерность является по своему происхождению локальным свойством, несмотря на то, что в настоящем эссе локальные свойства оказывают влияние на свойства глобальные. Таким образом, имея дело с графиком во всех иных отношениях произвольной непрерывной функции X(t), следует соотносить размерность D с другими локальными свойствами. Одним из наиболее полезных локальных свойств является показатель Липшица – Гёльдера (ЛГ) α. Суть условия ЛГ при t+ состоит в том, что

X(t)−X(t₀)~|t−t₀|^αпри 0₀<ε;

аналогично оно выглядит и для случая t−. Глобальный ЛГ – показатель в интервале [t',t"] имеет вид . Если функция X(t) не является постоянной, λ≤1.

ЛГ – эвристика и размерностьD. Если известен показатель α, то количество квадратов со стороной r, необходимых для покрытия графика функции X между моментами времениt и t+r, приблизительно равно r^α−1. Таким образом, можно покрыть график функции X(t) на участке t∈[0,1] с помощью N квадратов и приблизительно оценить размерность функции как D=lnN/ln(1/r). Этот способ оценки D мы будем называть эвристикой Липшица – Гёльдера. Он устойчив и весьма эффективен.

Примеры. Если функция X дифференцируема для всех t между 0 и 1, а точки, в которых X'(t)=0, в расчет не принимаются, то на всем интересующем нас интервале α=1, и количество квадратов, необходимых для покрытия графика функции, равно N~r^α−1(1/r)=r⁻¹. Отсюда D=1, что, конечно же, верно.

Если X(t) - броуновская функция (обыкновенная или дробная), то можно показать, что α≡λ=H. Эвристическое значение N приблизительно равно r^H−1−1, т.е. D=2−H, что опять же согласуется с известной размерностью D.

Харди [194] показывает, что для функций, описанных в разделе функция Вейерштрасса … α≡H. Следовательно, можно предположить, что их размерность Хаусдорфа – Безиковича равна 2−H.

Совершенно иначе обстоит дело с канторовой лестницей (см. рис. 125). Областью определения функции X являются здесь только те значения t, которые принадлежат фрактальной пыли с фрактальной размерностью δ<1, а показатель α зависит от t . Разделим интервал [0,1] на 1/r временных промежутков длины r. В r^−δ этих промежутков α=δ, в других промежутках показатель α не определен, однако если повернуть координатные оси на небольшой угол, то α=1. Отсюда эвристически получаем для количества покрывающих квадратов значение r⁻¹+r^δ−1r^−δ=2r⁻¹, а для размерности D=1. Это в самом деле так, что и отмечено в пояснении к рис. 125.

Кроме того, для суммы броуновской функции и канторовой лестницы с δ получаем D=2−H и λ=δ, следовательно, 1.

Резюме. Подтверждение эвристически полученного неравенства 1≤D≤2−λ можно найти в работах [317] и [30]. См. также [255], с. 27.

Об определении «фрактала». В разделе фракталы упоминается о желательности расширения рамок определения термина фрактал с тем, чтобы они включали и канторову лестницу. Может быть, нам следует сказать так: кривая фрактальна, если показатель λ<1, а показатель α близок к λ при «достаточно многих» значениях t? Мне бы не хотелось следовать этим путем, так как подобные расширения довольно громоздки и, кроме того, в них проводится принципиальное различие между случаями D_T=0 и D_T>0.

Функции из прямой в плоскость. Возьмем две непрерывные функции X(t) и Y(t) с ЛГ – показателями λ₁ и λ₂. Эвристически рассуждая, можно предположить, что для покрытия графика векторной функции от координат X(t) и Y(t) на участке t∈[0,1] потребуется не больше r^λ1+λ2−3 кубов со стороной r; следовательно, 1≤D≤3−(λ₁+λ₂). Размерность обыкновенного броуновского следа из прямой в плоскость D=2 вполне согласуется с этим неравенством.

Проекции. Построим непрерывный след, проецируя функцию {X(t),Y(t)} на плоскость (x,y). При λ₁=λ₂=λ эвристика подсказывает, что для покрытия графика нам понадобится не более 1/r квадратов со стороной r^λ; следовательно, 1≤D≤min(2,1/λ). Рассмотрим аналогичным образом непрерывный след функции {X(t), Y(t), Z(t)}, координаты которой имеют одинаковые ЛГ – показатели λ. Эвристическое рассуждение дает 1≤D≤min(3,1/λ). При λ₁≠λ₂ непрерывный след функции {X(t),Y(t)} следует покрывать квадратами со стороной r^maxλ, значит:

1≤D≤2−max{0, (λ₁+λ₂−1)/ max(λ₁,λ₂)}.

Все эти выводы нашли подтверждение в [317].

XII О ЛЮДЯХ И ИДЕЯХ