Геометрический аспект этой теории масштабной инвариантности приобрел большую значимость и дорос до фрактальной геометрии. Учитывая сильный геометрический уклон первых исследований турбулентности и критических феноменов, можно было ожидать, что теория фракталов будет разработана в рамках одной из этих областей. Этого, однако, не произошло.
В наши дни весьма редкими – с стало быть, аномальными – стали случаи проникновения в большую науку свежих концепций и новых методов из всевозможных низкорентабельных ее областей. Фрактальная геометрия являет нам один из новейших примеров таких исторических аномалий.
АВТОРЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ
Большую часть компьютерной графики в настоящем эссе выполнили следующие люди (перечислены в хронологическом порядке, считая по времени их первого вклада):
Зигмунд В. Хандельман,
Рихард Ф. Фосс,
Марк Р. Лафф,
В. Алан Нортон
и Дуглас М. Маккенна.
В помещенном ниже списке черно-белых иллюстраций, рядом с номером каждого рисунка (или – что то же самое – с номером страницы, на которой расположен рисунок) стоит первая буква фамилии автора компьютерной программы, с помощью которой создан этот рисунок. Иллюстрации, к которым приложили руку несколько человек, помечены соответствующим образом. Что касается цветных иллюстраций, то их мы обсуждали в другом месте.
Неоценимую и разнообразную помощь в подготовке иллюстраций оказали и другие люди, которых я также перечислю в хронологическом порядке. Хирш Левитан участвовал в создании рис. 410 и 411. Косвенное участие в подготовке некоторых рисунков принимал Джеральд Б. Лихтенбергер. Автором рис. 377 является Жан – Луи Онето, работавший с весьма новаторским графическим пакетом, разработанным Сирилом Н. Альбергой. Рис. 379 представляет собой несколько переработанную версию рисунка, созданного Артуром Аппелем и Жаном – Луи Онето. Скотт Киркпатрик предоставил нам рисунок, помещенный на с. 193, и программы, хорошо послужившие нам при подготовке рис. 312 – 315 и 424 – 427. Питер Оппенгеймер принял участие в создании изображений, помещенных на с. 247. Питер Молдейв помог с рис. 268 – 270, а Дэвид Мамфорд – с рис. 254.
Рис. 8 и иллюстрация на предпоследней странице выполнены В. А. Нортоном.
БЛАГОДАРНОСТИ
В противоположность книгам, при написании которых автор четко представляет себе широту охватываемого материала и заранее определяет стиль изложения, настоящее «macedoine de livre» возникало отдельными этапами в течение долгого времени. Главные свои интеллектуальные долги я уже так или иначе признал – непосредственно в тексте или между строк, в отступлениях или в исторических и биографических очерках. Само их количество и постоянно растущее разнообразие указывают на то, что никакой из них нельзя считать преобладающим.
Следует, однако, заметить, что вследствие превратностей цитирования я невольно пренебрег такими именами, как Норберт Винер и Джон фон Нейман: оба весьма снисходительно отнеслись к моей работе и оказали на меня немалое влияние, причем, скорее, общим своим примером, нежели какими-то конкретными поступками.
Огромное влияние в интеллектуальном отношении, хотя и совершенно иного рода, которое еще нигде не было должным образом отмечено, оказали на меня также мои дядя и брат.
Черновой перевод первой (французской) версии настоящего эссе был сделан Ж. С. Лури. Р. У. Госпер из Стэнфорда показал мне свою кривую Пеано еще до публикации. Значительной и разнообразной помощью в работе я обязан М. П. Шютценбергеру из Парижа, Дж. Э. Марсдену из Беркли, М. Ф. М. Осборну из USNRL, Жаку Пейрье из Орсэ, И. Гефену и А. Ахарони из Телль-Авива, а также Д. Мамфорду и П. Молдейву из Гарварда.
П. Л. Ренц, редактор издательства W. Р. Freeman & Co., сумел доказать, что его профессиональная гильдия еще не совсем безнадежна. Я благодарен ему за то, что он согласился на тот идиосинкразический макет, с каким я решил поэкспериментировать. Также я очень благодарен Р. Исикаве, который также работает у Фримена.
На интересные цитаты мне указывали: М. В. Берри, К. Брехер, И. Б. Коэн, Х. де Лонг, М. Б. Гирсданский, А. Б. Мидор, Дж. С. Понт, М. Серре, Б. Л. Ван–дер-Варден и Д. Зайденвебер. Другие интересные цитаты уже использовали такие авторы, как Г. Биркгоф, Р. Бонола, Й. Бромберг, К. Фадиман, Т. Феррис, Дж. Гимпел, С. Дж. Глакен, Д. М. Джонсон, П. С. Стивенс и Э. Т. Уиттекер.
Ровному ходу этой работы способствовали М. С. Гутцвиллер, П. Э. Сейден, Дж. А. Армстронг и П. Чаудхари – начальники отделов в IBM.
Д. Ф. Бантц посмеивался над тем, как мы использовали цветное графическое оборудование его проекта. А И. М. Коули, С. Х. Томпсон, П. Дж. Чапек, Дж. К. Ривлин и другие сотрудники библиотеки, отдела обработки текстов и графического отдела Исследовательского Центра IBM просто горели желанием помочь и выжимали из своих машин все возможное и невозможное.
УКАЗАТЕЛЬ ИЗБРАННЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ:
евклидовой(E), фрактальной(D)и топологической(DT)
Полужирными цифрами обозначены главы. Там, где евклидова размерность обозначена через E, она может принимать произвольное положительное целочисленное значение.
Точка (одна)/E/0/0/
Точки (конечное число)/E/0/0/
Счетное множество/E/0/0/
Прямая, окружность; все остальные стандартные кривые/E/1/1/73
Плоский диск; все остальные стандартные поверхности/E/2/2/73
Шар в ℝ3 или ℝE; все остальные стандартные объемы/E/E/E/
Заполняющая плоскость «кривая» Пеано/2/2/2/7, 183, 189
Канторова чертова лестница/2/1/1/125
Чертова лестница Леви/2/1/1/399
Обыкновенный броуновский след в ℝ/1/1/1/
Дробный броуновский след в ℝE, где H<1/E/E/E/E/354
*Неслучайные фрактальные множества,D>DT
Канторова пыль: троичное множество на прямой/1/ln2/ln3/0/114 и д.
Канторовы пыли: нетроичные/E/0
Кохова кривая: троичная снежинка/2/ln4/ln3/1/6
Кохова кривая: граница перекошенной снежинки/2/ln4/ln3/1/109, 110
Кохова кривая: шкура дракона Хартера - Хейтуэя/2/1,5236/1/101, 102
Коховы кривые в ℝ2, нетроичные/2/1
Салфетка и стрела Серпинского/2/ln3/ln2/1/14
Чудовищные кривые Лебега - Осгуда/2/2/1/15
Чудовищные поверхности Лебега - Осгуда/3/3/2/15
Броуновские фракталы из прямой в E- пространство:////
- след при E≥2/E/2/1/327
- функция в ℝ2/2/3/2/1/333
- функция в ℝE−1, где E>2/E/1+(E−1)/2/1/541
- нуль-множество функции из прямой в прямую/1/1/2/0/332
Броуновские фракталы из пространства (или сферы) в прямую:
- функция из ℝ2 в ℝ/3/5/2/2/359
- нуль-множество функции из ℝ2 в ℝ/2/3/2/1/359
- скалярные изоповерхности турбулентности Бюргерса/3/5/2/2/30
Броуновские H- дробные фракталы из прямой в пространство
- след при H>1/E/E/1/H/1/353, 354
- нуль-множество/1/1−H/0/353, 354
- функция/2/2−H/1/353, 354
Броуновские H- дробные фракталы из пространства в прямую:
- функция из ℝ2 в ℝ/3/3−H/2/489
- нуль-множество функции из ℝ2 в ℝ/2/2−H/1/489
- скалярные изоповерхности турбулентности Колмогорова/3/8/3/2/30
Устойчивый по Леви процесс с D<2: его след/E/D/0/527
Аполлониевы салфетка и сеть (точные границы: 1,300197
Нормированное случайное блуждание / многоугольник в ℝ2/2/1,33/1/336
Нормированное случайное блуждание в ℝ3/3/1,67/1/458 и д.
Критический кластер в бернуллиевой перколяции:////
- полный кластер в плоскости/2/1,89/1/184
- магистраль кластера в плоскости/2/1,6/1/185
- магистраль кластера в ℝE при малых E/E/log2(E+1)/1/188
Очень тонкий шар/E/0/0/35
Очень тонкая нить/E/