1/1/35
Пустая сфера (полированная снаружи и изнутри)/3/2/2/35
Полированный шар (заполненный)/3/3/3/35
Морское побережье (показатель Ричардсона)/2/1,2/1/57
Совокупный берег речной сети/2/2/1/7
Контур отдельной реки (показатель Хака)/2/1,2/1/161
Кровеносная система/3/3/2/214 и д.
Легочная мембрана в масштабах ветвления/3/2,90/2/166, 225 и д.
Кора дерева/3/3/2/
Фрактальные ошибки/1/0,30/0/8
Галактики в скейлинговом диапазоне размеров/3/1,23/0/9
Турбулентность: несущее множество рассеяния/3/2,50 – 2,60/2/10, 11
Частота употребления слов/NA/0,9/NA/38
ДОПОЛНЕНИЕ, ВОШЕДШЕЕ ВО ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ (ДЕКАБРЬ 1982)
Куршевельский семинар: вместо предисловия
Между отправкой книги в печать и ее действительной публикацией, и затем в течение того краткого времени, за которое разошелся первый тираж, фрактальная геометрия отнюдь не стояла на месте. Все быстрее внедрялась она в те области, где ее уже приняли, и даже проникла в несколько новых.
Я, в частности, организовал недельный семинар по фракталам, который прошел в июле 1982 г. в городке Куршевель (Франция), и на котором были впервые представлены многие новые разработки. Главной целью настоящего дополнения является обобщение этих результатов и некоторых других, тесно с ними связанных. Некоторые источники (помеченные в дополнительном списке литературы звездочкой *) привлекают внимание к другим работам, представленным на семинаре.
Вообще, становится трудно поверить, что всего несколько лет назад фрактальной геометрией природы кроме меня и нескольких моих ближайших сотрудников не занимался практически никто. Теперь же я, в лучшем случае, могу лишь (с помощью списка дополнительной литературы) обратить внимание читателя на вышедших на нашу сцену новых блестящих актеров.
Темы в дополнении располагаются приблизительно в том же порядке, что и в главном эссе.
Фрактал: определение
К сожалению, этой скучной темы нам избежать не удастся, однако на сей раз, она занимает милосердно мало места.
Термин «хаусдорфова размерность», к немалой моей досаде, применяется теперь безо всякого разбору и к размерностям, перечисленным в главе 39, и ко всевозможным их вариантам. То же можно сказать и о «размерности Минковского», термине, который я однажды использовал на с. 164 эссе «Objects fractals» (1975) для обозначения размерности Булигана. Дело, очевидно, в том, что определенные неанглоязычные статьи, авторы и темы которых благодаря моей работе перестали наводить страх на научную общественность, приобрели некоторое влияние, вследствие чего им стали приписывать – причем зачастую понаслышке! – всевозможные достижения … и прегрешения.
Другие авторы бросились в противоположную крайность, сделав чрезмерно большой упор на методах, чаще всего используемых для оценки размерности D в практической деятельности – таких, например, как определение размерности подобия (см. с. 189 и 305) показателя в соотношении между массой и радиусом или спектрального показателя – и «канонизировав» их как методы определения «единственно верной» фрактальной размерности.
К сожалению, большинство вышеупомянутых реакций на «Фракталы» 1977 г. проявились слишком поздно. Знай я обо всем этом раньше, я, пожалуй, вернулся бы в настоящем эссе к подходу, хорошо зарекомендовавшему себя в «Objets fractals» (1975), т.е. отказался бы от поисков педантичного определения для термина «фрактал» и использовал бы «фрактальную размерность» в качестве общего термина, применимого ко всем вариантам размерностей, перечисленным в главе 39, а для каждого конкретного случая подбирал бы определение, наиболее подходящее в данной конкретной ситуации.
Однородная фрактальная турбулентность
Глава 11 этого эссе написана исключительно с целью выразить мое основное предположение относительно турбулентности, которое заключается в том, что турбулентность в вещественном пространстве представляет собой феномен на несущем множестве размерности D~2,5−2,6.
Численные расчеты, призванные подтвердить справедливость этого предположения, еще не завершены (см. [624, 625]).
Кроме того, не так давно в [633] был предложен совершенно иной подход, в котором удлинение и свертывание вихрей из главы 10 исследуется с помощью методов, разработанных для исследования полимеров (глава 36), и предполагается наличие связи между размерностями турбулентности и полимерных структур.
Разломы в металлах и фракталы [652]
Неологизмы, как мы заметили в главе 1, требуют аккуратного к себе отношения: изобретая их, следует избегать возможного конфликта значений. Из поверхностного рассмотрения можно заключить, что, хотя поверхность разлома стекла, скорее всего, не фрактальна, многие поверхности разлома камней и металлов почти наверняка фрактальны. Руководствуясь этим неформальным предположением, можно сделать столь же неформальный вывод, что между терминами фрактал и разлом серьезного конфликта возникнуть вроде бы не должно.
В работе [652] мы подкрепляем это неформальное ощущение многочисленными экспериментальными данными, полученными при испытаниях на растяжение образцов из сталей 1040, 1095 и Cor−99 и на ударное разрушение образцов из мартенситно - стареющей стали. Применяя методы, аналогичные тем, с помощью которых в главах 5 и 28 исследуется рельеф, мы убедились во фрактальном характере поверхностей разлома и оценили значения размерности D. То, что применение этих методов оказалось успешным, весьма примечательно, так как поверхности разлома явно негауссовы и совсем не похожи на рельеф.
Напомним, что в главах 5 и 28 мы пользовались береговыми линиями островов и вертикальными сечениями. К сожалению, в естественных поверхностях разлома острова не наблюдаются, а определение вертикали (т.е. такого направления, при котором высота точки является однозначной функцией от ее положения на горизонтальной плоскости) очень редко подходит к какому-либо направлению.
Тем не менее, мы вполне можем определить неформальную вертикаль с помощью условия, согласно которому высота точки будет однозначной функцией для «большинства» точек. Затем мы проводим спектральный анализ высот прямолинейных горизонтальных сечений и строим график логарифма спектральной энергии на частотах, превышающих f как функции от логарифма f.
Кроме того, оказывается полезным создавать искусственные «острова», «разрезая» образец параллельно почти горизонтальным плоскостям (при подготовке образца его сначала покрывают никелем с помощью метода химического восстановления, а затем закрепляют на эпоксидном основании методом вакуумной пропитки). Далее, используя мерный стержень некоторой фиксированной длины, мы определяем площадь каждого острова и его периметр на оцифрованном изображении и строим дважды логарифмические графики (как показано в главе 12) для того, чтобы убедиться в правильности нашего анализа фрактальных размерностей.
Взглянув на рисунки на с. 597 (слева и в центре), читатель может самостоятельно убедиться в том, что многие поверхности разлома укладываются во фрактальную модель с поразительной точностью: оба графика почти прямолинейны, а их угловые коэффициенты дают, в сущности, одинаковые размерности D . Более того, при повторении описанной процедуры на других образцах из того же металла получается то же значение D. И напротив, традиционные оценки степени шероховатости весьма сложно воспроизвести.
Перефразируя замечание, приведенное на с. 164 по поводу рис. 169, можно сказать, что не много существует металлургических графиков, которые учитывали бы все доступные данные в столь обширном диапазоне размеров, и были бы при этом хоть приблизительно такими же прямолинейными.
Экспериментальные данные оказываются настолько хороши, что мы можем сразу же перейти к более тонкому сопоставлению. Согласно наблюдениям, значения разности |D(спектральная)−D(береговой линии островов)| систематически составляет величину порядка нескольких сотен. Первое возможное объяснение заключается в погрешности оценки. Например, высокочастотная область спектра содержит огромное количество постороннего шума, а значит, ее принимать в рассмотрение не следует. Кроме того, мы весьма вольно обходимся с «озерами» и «прибрежными островами»: включаем первые и исключаем вторые, поскольку они должным образом не определены.
Однако расхождение может быть вызвано и вполне реальными причинами. По сути дела, почти идентичность значений D наводит на мысль, что исследуемые материалы оказались гораздо более изотропными, нежели мы предполагали. Если же рассмотреть образцы, которые просто обязаны быть анизотропными (исходя из метода их получения), то мы увидим, что значения D спектра и D береговой линии островов и в самом деле очень различны.
Альтернативная причина конфликта размерностей заключается в том, что поверхность разлома может быть изотропной, но не самоподобной – в этом случае величина D будет изменяться в зависимости от размеров образца (см. главу 13). Поскольку, согласно нашим двум методам, различным диапазонам масштабов соответствуют различные веса, можно заключить, что эти методы отражают реальное изменение размерности D. В самом деле, в некоторых изученных нами образцах островные и спектральные диаграммы демонстрировали явно различные прямолинейные зоны, а для некоторых других металлов диаграммы оказались еще более сложными.
Для определения связи размерности D с другими характеристиками металла мы взяли образцы из мартенситно – стареющей стали марки 300 для испытаний на ударное разрушение по Шарпи и подвергли их нагреву до различных температур. Полученный в результате график, показанный и на с. 597 (справа) демонстрирует несомненное наличие связи между энергией удара и значением