Единственная цель теоретической физики состоит в вычислении результатов, которые могут быть сравнены с опытом, и вовсе нет необходимости в утвердительном описании всего хода явлений.
Поль Дирак
Осенью 1926 года Паскуаль Йордан и британский физик Поль Адриен Морис Дирак (1902-1984) независимо друг от друга начали разрабатывать теорию преобразований, чтобы раз и навсегда объединить квантовые механики. Так как квантовые величины, введенные Гейзенбергом, определяли новый тип алгебры (для него умножение не было коммутативным), Дирак решил назвать q-числами величины, которые так себя ведут (хотя q здесь происходило не от слова quantum, а от английского queer, то есть «странный», «необычный»). Итак, абстрактная алгебра #-чисел допускает различные представления или образы (так же как одна и та же система аксиом может допускать разные модели), два из которых — матричная и волновая механика.
В матричной механике речь шла о поиске матрицы S, чтобы матрица W = S-1HS была диагональной. Если выделить HS в этом уравнении, получается HS = SW. И если, применяя правило умножения матриц, записать то, что означает это последнее уравнение для элементов каждой матрицы, можно получить систему бесконечных линейных уравнений (напоминает получившуюся при преобразовании интегрального уравнения):
∞
∑hpqSqn = EnSpn. [1]
q=1
С другой стороны, в волновой механике пытались решить волновое уравнение Шрёдингера Ηψ = Εψ, определяя собственные значения, являющиеся решением. Если в уравнение ввести собственную функцию ψn, назначенную собственному значению Еn , получается:
Ηψn = Εnψn. [2]
Как Гильберт, так и Дирак, переформулировав обе проблемы в таком виде, перешли к их сравнению и заметили, что [1] и [2] представляют собой схожую структуру: Гамильтониан x ΧΥΖ = Энергия x ΧΥΖ. Следовательно, вопрос, которым они задались, звучал так: какие условия следует допустить, чтобы приравнять член к члену уравнения [1] матричной механики к уравнению [2] волновой механики? Так как «интегрирование» в царстве непрерывного — это аналог «сложения» в царстве дискретного (символ ∫ происходит от последовательной деформации прописной S), они решили: то, что должно заменить (при переходе от дискретного к непрерывному) первый член в [1], будет выглядеть как ∫h(х,у)ψn(у)d(у). Значит, объединение между обеими квантовыми механиками было бы достигнуто, если бы последнее выражение совпадало с первым членом в [2] в виде:
Ηψn(x) =∫h(x,у)ψn(у)dy,
то есть если бы любой оператор Гамильтона мог быть записан как интегральный оператор.
Но это было невозможно даже для такого простого оператора, как тождество (определяемое как Ηψ = ψ для любой волновой функции). Дирак не спасовал перед трудностями и, чтобы преодолеть их, прибегнул к функции δ. Эта своеобразная функция определена δ(z)=0 для любого z≠0[3] и, как ни парадоксально, ∫δ(z)dz= 1 [4]. Как представить себе функцию, которая равна 0 во всех точках, кроме одной, и интегрирует 1?
Итак, приняв эту функцию и рассматривая h(x,y)=δ(x-y) как ядро вышеприведенного интегрального уравнения, можно выразить тождество, например, как интегральный оператор, просто применив магические свойства δ:
[3][4]
Ηψ(x)=∫h(х,у)ψ(у)dy=∫δ(х-у)ψ(у)dy= ψ(x)∫δ(x-y)dy=ψ(x)·1=ψ(x).
С помощью подобных вычислений можно доказать, что любой оператор может быть представлен как интегральный оператор, так что обе квантовые механики оказываются принудительно унифицированными.
Схематическая диаграмма дельты Дирака: «функция», которая равна 0 во всех своих точках, кроме начала, где она равна бесконечности, чтобы таким образом интегрировать 1.
Для того чтобы все преобразования между представлениями квантовой механики работали корректно, Дирак был вынужден прибегнуть к использованию вымышленной математической сущности — дельта-функции, которая на самом деле функцией не была. Для физиков это стало полезной идеализацией, привести которую к строгому виду должны были математики. Для математиков, наоборот, это понятие оказалось подозрительным и не обладающим математической реальностью, его использование оправдывалось только физическими применениями. Дельта-функцию Дирака ждала печальная участь, поскольку лишь в 1950 году она нашла свое место в рамках теории распределений, созданной Лораном Шварцем (1915-2002). До этого из-за отсутствия у нее строгости она оставляла равнодушными математиков Гёттингена.
И именно тогда в Гёттинген приехал молодой Джон фон Нейман, чтобы поработать в качестве помощника Гильберта. Блестяще защитив докторскую диссертацию по теории множеств, он начал читать лекции по функциональному анализу вместе с Эрхардом Шмидтом в Берлине. В то время Гильберт пытался найти рациональную математическую модель для квантовой механики; но его аксиоматический подход развивался медленно, потому что ученый страдал злокачественной анемией (смертельным заболеванием, от которого он исцелился благодаря нетрадиционным методам). В 1926-1927 году Гильберт попросил своего ассистента по физике Лотара Нордгейма разложить для него по полочкам суть последних исследований, чтобы иметь возможность читать курс квантовой механики, применяя свой любимый аксиоматический метод. Фон Нейман вдохнул жизнь в проект. Под предводительством Гильберта они втроем ринулись искать строгое математическое оформление. Так, в 1927 году они вместе написали статью «Об основаниях квантовой механики». Гильберт хотел заставить работать интегральную формулировку физических проблем, более практичную, чем дифференциальный вариант, выраженный посредством волнового уравнения или дискретной версии в матричных терминах. Так же как и венгерский физик Корнелий Ланцош (1893-1974) в 1926 году (что любопытно, за месяц до того, как Шрёдингер опубликовал свое знаменитое уравнение), Гильберт, Нордгейм и фон Нейман разработали квантовую механику, пользуясь интегральными уравнениями. Однако результат этого первого приближения не был удовлетворительным, поскольку они не смогли избежать тупика дельты Дирака, чтобы перейти от одной формулировки к другой.
Фон Нейман закончил работу по аксиоматическому обоснованию квантовой механики в одиночку. Он сделал это в период с 1928 по 1932 год, опубликовав серию из пяти статей и монументальный трактат «Математические обоснования квантовой механики». Чтобы придать прочную математическую основу квантовой теории, он отказался от использования дельта-функций Дирака и от предпочтения интегральных уравнений Гильберта. У него было другое оружие: функциональный анализ. Он создал абстрактное аксиоматическое обрамление, гильбертово пространство, которое включало в себя частные матричный и волновой случаи.
Квантовая механика фон Неймана, безупречная для математиков, столкнулась с тем, что физики предпочитали квантовую механику Дирака, которая оказалась более полезной, несмотря на отсутствие строгости. Благодаря работам Лорана Шварца и Александра Гротендика по функциональному анализу, в 1950-1960 годы дельта-функции приобрели статус математической природы, формализовавшись как обобщенные функции, или распределения. Так формализм Дирака перестал быть математически подозрительным, поскольку вошел в состав «оснащенных»гильбертовых пространств (или триплетов Гельфанда). Идея состоит в том, чтобы связать лучшее в формализме фон Неймана (строгое гильбертово пространство) и лучшее в формализме Дирака (полезная дельта-функция) внутри одной непротиворечивой математической структуры. С этой целью пытаются пойти дальше гильбертова пространства и включить такие своеобразные объекты, как дельта-функция, но не теряя в то же время хорошей геометрии гильбертова пространства. Решение заключается в рассмотрении структуры вокруг пространства, следуя духу теории распределений: взять обычное гильбертово пространство и оснастить его двумя другими пространствами — одним поменьше и другим побольше, — которые содержат соответственно все хорошие функции (тестовые функции) и все плохие функции (своеобразные функции, такие как δ Дирака). Множество из этих трех пространств называют«оснащенным»гильбертовым пространством, или триплетом Гельфанда.
Математические пространства, на которых были построены матричная и волновая механика, были очень разными: одно было дискретным и алгебраическим, другое — непрерывным и аналитическим. Как убедился фон Нейман, нет ничего удивительного в том, что их унификация не может быть достигнута без некоторого насилия над формализмом и математикой. Однако он заметил, что пространства функций, определенных в них, были в основном идентичными. Состояния атома были представлены в матричной механике посредством последовательностей чисел суммируемого квадрата, так что функциональное пространство, которое стояло за этим, было i2, то есть гильбертовым пространством по определению. Волновые функции волновой механики всегда относились к интегрируемому квадрату, то есть принадлежали функциональному пространству Lr И для этих двух пространств действовала теорема Фишера — Риса, хорошо известная математикам с 1907 года и гласящая, что оба эти пространства изоморфны. Так фон Нейман решил головоломку математической эквивалентности квантовых механик, показав, что механика Гейзенберга (сосредоточенная на матрицах и суммах) и механика Шрёдингера (сосредоточенная на функциях и интегралах) математически эквивалентны, поскольку являются вычислениями в двух изоморфных, идентичных гильбертовых пространствах.