Гёттингенский профессор придумал метафору, которая просто и ясно объясняет некоторые парадоксы, связанные с бесконечностью и открытые математиками одновременно с логическими парадоксами. Несмотря на то что это кажется невероятным, в отеле с бесконечным числом номеров всегда есть место для новых гостей, хотя все номера заняты. Действительно, если мы переселим гостя из первого номера во второй, того, что во втором, — в четвертый, того, что в третьем, — в шестой, и так далее, мы освободим все нечетные номера. Поскольку существует бесконечное количество нечетных чисел, есть место не только для нового постояльца, который подойдет к гостиничной стойке, но также и для бесконечного числа постояльцев. Из этой же самой ситуации мы могли бы сделать больше удивительных выводов...
— В отеле заняты все номера, и один гость уезжает. Тогда число постояльцев остается тем же самым (бесконечным).
— Если уезжают все гости, занимающие четные номера, то число постояльцев остается тем же самым (бесконечным).
— Однако если из отеля уедут все гости, занимающие номера, например с пятого и далее, то число постояльцев не будет тем же самым (в этот раз их число будет конечным).
Все это наводит нас на мысль о гибкости математической бесконечности и об осторожности, с которой нужно высказываться о ней.
Чтобы избежать парадоксов, Рассел и Уайтхед сформировали теорию типов, в которой для того, чтобы X ϵ Y было правильно составленной формулой, требуется, чтобы тип значения Y был непосредственно выше типа значений X. Таким образом, пропозиция «класс всех стульев не является стулом» — не истинная и не ложная, а попросту лишена смысла, поскольку стульями могут быть только объекты, а не классы объектов. Другими словами, ошибочно распространять свойство одного типа на другой. При применении этой хитроумной теории авторы могли утверждать, что формулировки, ведущие к парадоксу Рассела, перестают иметь смысл: R ϵ R теперь являлось неправильно составленной формулой, поскольку в ней было задействовано не больше одного типа.
Математика [...] обладает не только истиной, но и высшей красотой, холодной и суровой, подобной скульптуре.
Бертран Рассел
В Principia после устранения парадоксов Уайтхед и Рассел перешли к выведению математики из логики, поскольку в их понимании граница здесь невозможна. С технической точки зрения проект логификации математических теорем натолкнулся на многочисленные трудности. Ученым потребовалось более 379 страниц (!), чтобы доказать, что 1 + 1 = 2. Настоящее безумие. Кроме того, они были вынуждены расширить логику до крайне обобщенной теории отношений, в которую включили такие малоудовлетворительные аксиомы, созданные для данного случая, как редуктивность и бесконечность. Неуклюжая аксиома редуктивности работала как нечто вроде deus ex machina, — авторы прагматично обосновывали ее тем, чтобы работать с антиномиями и логифицировать математику: когда формула оказывается слишком сложной, предполагалось, что ее всегда можно упростить до другой, более низкого уровня.
Аксиома бесконечности была нужна для определения натуральных чисел в комплексе. Следуя за Фреге, они определили 2 как класс всех пар, 3 — как класс всех троек... Но они были вынуждены ввести аксиому (в ней утверждалось, что для любого числа существует другое, больше него), обоснование которой не могло строиться ни на одном из классов логической или математической догадки (что было бы нарушением принципа «логика или математика, основывающаяся на самой себе»), а лишь на характерной структуре мира, которому приписывалось то, что он должен включать в себя бесконечное число объектов. Если бы в мире существовало не бесконечное число вещей, а только максимальное число вещей n, Рассел и Уайтхед не смогли бы определить число n + 1, поскольку класс всех скоплений (n + 1) был бы пустым, так как не было бы n + 1 объектов в мире. Герман Вейль, ученик Гильберта, решительно отверг это: «Принципы...» испытывали веру, как Отцы Церкви.
Баланс заключался в том, что в лучшем случае Расселу и Уайтхеду удалось свести математику к виду мегалогики, раю для логиков. Логистический тезис является либо ложным (если логика не включает в себя теорию классов — то, что называется теорией множеств), либо тривиальным (если включает ее). На сегодняшний день некоторые логики пытаются возродить этот тезис, чтобы перевести математику в подходящую логику второго порядка (поскольку логики первого порядка оказалось недостаточно). Но, как говорили многие математики, логика второго порядка — это всего лишь замаскированная математика множеств. Так как в логике второго порядка допустимо говорить не только об объектах, но и о свойствах, можно определить множество понятий, типичных для теории множеств. Количественно оценивать свойства — в конечном итоге все равно что количественно оценивать множества, множество объектов, выполняющих свойство. Следовательно, речь идет о логике, лежащей в основе собственно теории множеств. Ее наибольшая выразительная сила, позволяющая охарактеризовать бесконечность или формализовать принцип индукции в одной-единственной аксиоме (вместо схемы аксиом, заключающей в себе бесконечности), — это обоюдоострое оружие. Мы находимся там же, где и были: если логика включает в себя теорию множеств, то логистический тезис истинный, но тривиальный; если логика его не включает, он радикально ложный.
Логики шли на невероятные хитрости, чтобы решить проблему парадоксов. Но какое решение давали математики? Если логики хотели логифицироватъ математику, то математики хотели омножествитъ ее. Омножествление математики началось издалека. Абстрактная теория множеств была создана Кантором, но связанный с множеством подход в математике предшествовал ей. Он присутствовал у Римана и в основном у Дедекинда. Риман предложил понятие многообразия в значении, граничащем со значением множества, в качестве основания всей чистой математики. И Дедекинд выдвинул подход множеств к алгебре, введя такие понятия, как группа, тело и идеал (только понятие кольца не поддалось ему и было введено позже Гильбертом).
Героическая эпоха теории множеств начинается в 1872 году. Тогда, опубликовав свои построения действительных чисел, Дедекинд и Кантор приступили к бурному личному взаимодействию. В 1874 году Кантор доказал, что существует два типа бесконечности: счетная (как множество натуральных чисел) и несчетная (как действительные числа, то есть как континуум). Он заявил, что множество алгебраических чисел счетное, и доказал это на основе метода, который Дедекинд передал ему в письме, хотя и не признал здесь заслуги последнего (этот конфликт, скорее всего, и стал причиной их разрыва). В 1879 году Кантор представил понятие кардинального числа множества, которое обобщает понятие числа элементов множества в области бесконечных множеств. Проверка того, обладают ли два конечных множества одним и тем же числом элементов, состоит в одновременном удалении по одному элементу из каждого из них столько раз, сколько возможно. Если оба множества заканчиваются одновременно, мы точно знаем, что у них одно и то же число элементов, или кардинальное число. Так как эта идея не предполагает счета, она распространяется на бесконечные множества: о множествах A и В говорят, что они имеют одно и то же кардинальное число, и это записывается как |A| = |B| если между ними можно установить биекцию, то есть соответствие один к одному.
Одним из великих открытий Георга Кантора стали несчетные множества, для которых невозможно провести биекцию с натуральными числами.
Одно из них — это континуум. И если целые и рациональные числа счетные, то действительные числа такими не являются. Нельзя связать их попарно с натуральными числами, их нельзя пронумеровать, поставить в список одно за другим. Возьмем числовую прямую и рассмотрим отрезок от 0 до 1. Выразим все входящие в этот отрезок числа в двоичном коде, то есть с помощью последовательностей 0 и 1. Например: 101001000... (опустив 0 и запятую, отделяющую десятичную дробь, которые должны предшествовать выражению). Докажем, что предположение о том, что это счетное множество, приводит к противоречию. Действительно, если бы это было так, мы могли бы записать все его элементы в списке, подобном следующему:
1.° → 0100...
2.° → 0110...
3.° → 1101...
... ...
Теперь обратим внимание на элементы главной диагонали, они подчеркнуты. Построим элемент, который несмотря на то, что является последовательностью 0 и 1, не входит в список. Для этого образуем последовательность, состоящую из следующих чисел: так как первый выделенный член был 0, запишем 1; так как второй был 1, запишем 0; так как третий был 0, запишем 1; и так далее. Итоговый элемент начинается с 101... и не совпадает ни с одним из элементов в списке. Это не может быть первая последовательность, поскольку первый член отличается, не вторая, потому что мы изменили второй член, и не третья, и так далее. Это противоречит предположению, что речь идет о счетном множестве, которое, следовательно, может быть выражено в виде списка. Использованный метод доказательства получил название диагонализации и повлиял на последующие значимые доказательства в истории оснований математики.
Георг Кантор.
Между тем Дедекинд дал более удачное определение бесконечному множеству, чем Кантор. По прошествии времени оба определения, избавленные от ошибок, оказались равносильными (в соответствии с аксиомой выбора, о которой речь пойдет позже). Для Кантора множество бесконечно, если оно не конечно, то есть если нельзя провести биекцию с каким- нибудь натуральным числом. Для Дедекинда, наоборот, под влиянием предположений Галилея и Больцано, множество бесконечно только тогда, когда можно провести биекцию с его собственной частью. Например, натуральные числа бесконечны, потому что можно провести биекцию с четными числами, при этом 0 соответствует 0; 1 - 2; 2 - 4; и в целом каждому числу n — вдвое большее число 2n.