Давид Гильберт определенно являлся ученым-универсалом, поскольку знал почти все ответвления современной ему математики, и оказался последним представителем этого уже исчезнувшего вида.
1862 Давид Гильберт появляется на свет в городе Кёнигсберге, Пруссия.
1880 Начинает изучать математику в Кёнигсбергском университете. Зарождается его дружба с Адольфом Гурвицем и в особенности с Германом Минковским.
1888 Его первая крупная математическая победа: он решает проблему Гордана в теории инвариантов.
1892 Становится ординарным профессором в Кёнигсбергском университете. Женится на Кёте Ерош.
1895 Благодаря стараниям Феликса Клейна становится профессором Гёттингенского университета.
1897 Публикует «Отчет о числах», сборник актуальных знаний в области алгебраической теории чисел.
1899 Публикует «Основания геометрии», в которых представляет все возможные геометрии посредством исключительно аксиоматического метода.
1900 Читает знаменитую лекцию «Проблемы математики» на II Международном конгрессе математиков в Париже.
1904 Возрождает принцип Дирихле для вариационного исчисления.
1912 Собирает в монографию все свои статьи об интегральных уравнениях, используемых физиками того времени, а также набор инструментов развития квантовой механики с 1925 года.
1915 Соревнуется с Альбертом Эйнштейном в выведении уравнений поля общей теории относительности.
1922 Практически в одиночку вновь пробуждает интерес к основаниям математики, стремясь доказать непротиворечивость классической математики, чтобы нейтрализовать скептицизм интуиционистов.
1928 В соавторстве с Вильгельмом Аккерманом публикует «Основы теоретической логики», первый учебник по математической логике в ее современном понимании.
1930 Уходит в отставку. Читает оптимистичную лекцию по случаю получения звания почетного гражданина Кёнигсберга, завершая ее лозунгом: «Мы должны знать. Мы будем знать». Курт Гёдель накладывает ограничения на формализм Гильберта на конгрессе, проходящем в то же время.
1934 В соавторстве с Паулем Бернайсом публикует первый том «Оснований математики», в который включены некоторые достижения в этой области.
1943 Умирает в Гёттингене (Германия) в то время, как своим жестоким чередом идет Вторая мировая война.
ГЛАВА 1Основания геометрии
Карьера Гильберта пошла вверх, когда он решил хитрую проблему Гордана. Однако молодой ученый отложил алгебру и теорию чисел, чтобы полностью погрузиться в изучение оснований геометрии. Открытие неевклидовых геометрий стало шахом почти 2000-летней греческой геометрии. Переформулирование аксиоматического метода позволило Гильберту навести порядок в этой области и подчеркнуть, что нет единой справедливой геометрии: их много, и каждая обладает различным набором аксиом.
Кёнигсберг, 1862 год. Прошло 58 лет после смерти Иммануила Канта и 120 с тех пор, как Леонард Эйлер (1707-1783) решил знаменитую проблему семи мостов. Давид Гильберт появился на свет 23 января в протестантской семье из среднего класса, которая вот уже два поколения жила в столице Восточной Пруссии. Пруссия в то время возглавила объединение Германии под руководством кайзера Вильгельма I и железного канцлера Отто фон Бисмарка. Отец будущего ученого был городским судьей и прививал сыну типичные прусские ценности: пунктуальность, дисциплину и чувство долга. Мать, наоборот, увлекалась философией, астрономией и, как рассказывают, простыми числами.
В школьные годы Гильберт показал себя упорной, энергичной и решительной личностью, хотя в средней школе страдал от того, что учебный процесс выстраивался на заучивании. Он увлекался искусством, литературой и математикой, однако не считался вундеркиндом. В 1880 году он выдержал экзамен и был зачислен в университет, избрав математику, хотя родители хотели, чтобы он изучал право.
Кёнигсберг — конечно, не Берлин, где развернули свою деятельность преподаватели уровня Карла Вейерштрасса (1815- 1897) и Леопольда Кронекера (1823-1891), но и здесь имелась прочная математическая традиция. Здесь когда-то работал Карл Якоби (1804-1851), считавшийся вторым после Гаусса немецким математиком. Так в каком же научном контексте получал образование Гильберт? В последней четверти XIX века предполагалось, что как дисциплина математика имеет три ответвления: анализ, алгебру и геометрию. Анализ — это исследование все более строгого использования бесконечно малых, решение дифференциальных уравнений и теория функций в целом. Алгебра постепенно перестала походить на предмет, который мы изучали в школе, и занималась уже абстрактными объектами, хотя и не исключала теорию чисел. Геометрия же включала в себя целое семейство плохо согласованных между собой составляющих: евклидову геометрию и неевклидовы геометрии (в том числе проективную), а также дифференциальную и алгебраическую геометрии, в которых использовались инструменты анализа и алгебры.
Любая дисциплина проходит три фазы развития: наивную, формальную и критическую.
Давид Гильберт
Гильберт успешно изучал курсы алгебры, анализа и геометрии. В университете же он познакомился с Германом Минковским (1864-1909), который стал его лучшим другом. Будучи однокурсником Гильберта, он был на два года младше него, он опережал курс на целый триместр. Когда ему только исполнилось 19, он получил гран-при в области математики, которую вручала Парижская академия наук (хотя все прошло не слишком гладко, поскольку заходила речь о плагиате). Друзья обычно прогуливались вместе и восхищенно обсуждали математику. В ходе этих прогулок они исследовали каждый уголок математического знания. Эту традицию студенческих лет они сохранили на всю жизнь.
Получив степень доктора, Гильберт задумался о том, чтобы устроиться на должность приват-доцента, которая позволила бы ему преподавать в университете (пусть даже жалованье не было фиксированным и складывалось в зависимости от количества студентов). Для этого требовалось внести какой-нибудь оригинальный вклад в науку. С этой целью Гильберт отправился на встречу с Феликсом Клейном (1849-1925), одним из знаменитых математиков того времени. Годы спустя Клейн говорил, что сразу же понял: за этим юношей — будущее математики. По его совету Гильберт поехал в Париж, где познакомился с Анри Пуанкаре (1854-1912). Француз был на восемь лет старше Гильберта, но уже состоялся как ученый. Он считался главным представителем французской математики, которая надеялась обойти немцев. В результате Пуанкаре и Гильберт не нашли общий язык, со временем они даже стали открыто соперничать. Тут крылась конкуренция за главенствование в математике будущего (отношения Пуанкаре и Клейна также не были хорошими: у последнего это противостояние даже вылилось в депрессию). На обратном пути Гильберт задержался в Гёттингенском университете и навестил недавно обосновавшегося там Клейна. Тот познакомил его с Паулем Горданом (1837-1912), одним из главных экспертов по теории инвариантов — области, в которой Гильберт добился своего первого большого успеха.
Теория инвариантов представляла собой ответвление алгебры XIX века и рассматривала, какие величины не изменяются (остаются инвариантными), когда мы преобразуем один многочлен в другой в соответствии с определенными правилами. Одна из самых любопытных проблем получила название проблемы Гордана. В 1868 году Гильберт ошарашил современников, предложив революционное решение задачи, которое король теории инвариантов Гордан назвал «теологическим». Гильберту удалось сделать то, к чему уже несколько лет стремились все эксперты по инвариантам: доказать так называемую основную теорему теории инвариантов, в которой утверждается, что любая система инвариантов образована конечным образом (проще говоря, что любой инвариант системы может быть представлен в виде сочетания небольшого количества инвариантов, образующих базис). Эту задачу не назовешь пустяковой.
Однако нас интересует не ее содержание, а форма ее доказательства Гильбертом, поскольку это поможет представить путь развития его исследовательской карьеры. Как и в других областях математики, Гильберт разработал множество элементов, составивших новый подход. В данном случае он структурный алгебраический, сосредоточенный на структурах математических объектов в большей степени, чем на собственно математических объектах, а на группах, идеалах, кольцах и телах (алгебраических структурах) — в большей степени, чем на самих числах или конкретных многочленах, которые они содержат. Не осознавая этого, Гильберт готовил абстрактную алгебру XX века и мимоходом утвердил новый математический метод, знаменосцем которого стал позже.
Подход Гильберта разительно отличался от традиционного. Вместо того чтобы открыто искать решение проблемы, он доказал: проблема не может не иметь решения. Его доказательство было не конструктивным, а экзистенциальным. Он не предлагал решения напрямую («вот базис инвариантов»), а только доказывал, что оно обязательно должно быть («если бы не было базиса инвариантов, мы бы пришли к противоречию»). Следовательно, доказательство основной теоремы осуществлялось путем доведения до абсурда. Эта аргументация не была единодушно принята математическим сообществом.
Кронекер — одна из главных фигур немецкой математики того времени — высказался в этом отношении довольно резко. По слухам, подход Гильберта многим показался «зловещим». Для Кронекера доказательство существования обязательно означало построение того объекта, существование которого требовалось доказать. В данном случае это построение базиса инвариантов, которое, по утверждению Гильберта, существует. Он не принимал аргументов, что отсутствие существования базиса предполагает противоречие, следовательно, данный базис обязательно должен существовать, хотя его вычисление неосуществимо.