(1886-1982) — математику, который в итоге присоединился к нацистской партии и сместил Гильберта. Кроме того, в этот раздел Гильберт включил знаменитую гипотезу Кеплера: какое расположение шаров одного радиуса оставляет меньше всего свободного пространства? Решение Кеплера — расположить их подобно апельсинам в корзине, как совсем недавно продемонстрировал Томас Хейлс (р. 1958).
И наконец, в блоке, посвященном анализу, находились последние пять проблем.
19. Изучение аналитичности решения регулярных задач вариационного исчисления.
20. Изучение существования решений задач вариационного исчисления с определенными граничными условиями.
21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.
22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций (проблема, происхождение которой лежало в работах Клейна и Пуанкаре по данному вопросу).
23. Развитие методов вариационного исчисления. Гильберт значительно способствовал прогрессу в этой области анализа (которая была напрямую связана с проблемами 19 и 20, касающимися существования, единственности и свойств решений вариационного исчисления). Эта тема обладала чрезвычайной жизнеспособностью в XX веке, что говорит об отличном чутье Гильберта, закончившего список проблем общим вопросом из этой области.
В Париже, не имея достаточно времени, Гильберт успел обозначить только 10 из своих 23 проблем: континуум-гипотезу (проблема 1); непротиворечивость арифметики (2); аксиоматизацию физических теорий (6); некоторые проблемы теории чисел, включая гипотезу Римана (7 и 8); невозможность разрешения уравнения седьмой степени (13); вопрос о кривых и поверхностях, определенных полиномиальными уравнениями (16); аналитические решения регулярных проблем вариационного исчисления (19); существование обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным группам монодромии (21), и вопрос Пуанкаре о параметризации алгебраических кривых с помощью автоморфных функций (22).
Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, то в первую очередь спросил бы: доказали ли гипотезу Римана?
Давид Гильберт
Не так давно историк математики Тиле Рюдигер в одной из тетрадей Гильберта обнаружил, что тот хотел добавить еще одну проблему (24), которую в итоге отверг. Проблема состояла в определении критерия простоты или доказательства максимальной простоты некоторых доказательств. Гильберт намеревался развить общую теорию о методах доказательства в математике. Как ни парадоксально, через несколько лет он сам основал (см. главу 5) теорию доказательств.
Однако в списке был ряд важных упущений: несколько путей, по которым он не пошел. Матричная алгебра, статистика, логика или прикладная математика, бурно развивавшиеся в конце века, наряду с зарождающимися топологией, теорией меры и функциональным анализом для Гильберта интереса не представляли. Точно так же проблема трех тел и последняя теорема Ферма были упомянуты, но не предложены в качестве открытых проблем математики будущего.
| Проблема | Описание | Состояние |
| 1 | Континуум - гипотеза | Курт Гёдель (1938) и Пол Коэн (1963) доказали ее неразрешимость как истинную или ложную на основе стандартного набора аксиом теории множеств |
| 2 | Непротиворечивость аксиом арифметики | Курт Гёдель (1931) доказал, что установление неп роти вореч и вости арифметики является формально неразрешимой проблемой |
| 3 | Определение понятия объема без применения анализа | Опровергнута Максом Деном (1902) |
| 4 | Перечисление всех метрик, прямые линии которых являются геодезическими | Положительно решена Алексеем Погореловым (1975) |
| 5 | Дифференцируются ли непрерывные группы автоматически? | Положительно решена Эндрю Глизоном (1952) |
| 6 | Математическое изложение аксиом физики | Частично решена: |
| — механика: Георг Гамель (1909); | ||
| — термодинамика: Константин Каратеодори (1909); | ||
| — специальная теория относительности: Альфред Робб (1914) и Константин Каратеодори (1923); | ||
| — квантовая механика: Джон фон Нейман (1932); | ||
| — теория вероятностей: Андрей Колмогоров (1933) | ||
| 7 | Является ли ab трансцендентным, если a≠0,1 алгебраическое и b иррациональное алгебраическое? | Решена независимо Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером (1934) |
| 8 | Гипотеза Римана и гипотеза Гольдбаха | Не решена |
| 9 | Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле | Решена Эмилем Артином (1923) |
| 10 | Найти универсальный алгоритм диофантовых уравнений | Отрицательно решена Матиясевичем (1970) |
| Проблема | Описание | Состояние |
| 11 | Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами | Частично решена Хельмутом Хассе (1923) и Карлом Зигелем (1930) |
| 12 | Распространение теоремы Кронекера | Не решена |
| 13 | Решение общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных | Отрицательно решена Арнольдом и Колмогоровым (1957) |
| 14 | Доказательство конечности некоторых полных систем функций | Отрицательно решена через контрпример Масаеси Нагатой (1959) |
| 15 | Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта | Отрицательно решена Бартелем ван дер Варденом (1930) |
| 16 | Топология алгебраических кривых и поверхностей | Не решена |
| 17 | Представление определенных форм в виде квадратов | Решена положительно Эмилем Артином (1927) и Георгом Крайзелем (1957) |
| 18 | Гипотеза Кеплера | Решена Томасом Хейлсом (2005) |
| 19 | Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления аналитические? | Утвердительно решена Сергеем Бернштейном (1904) |
| 20 | Всели задачи вариационного исчисления с определенными граничными условиями имеют решение? | Решена в течение XX века |
| 21 | Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии | Отрицательно решена Дмитрием Аносовым и Андреем Болибрухом (1989) |
| 22 | Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций | Решена независимо Паулем Кёбе и Анри Пуанкаре (1907) |
| 23 | Развитие методов вариационного исчисления | Решена в течение XX века |
В 1992 году Международный математический союз принял на себя инициативу связать лекцию Гильберта 1900 года с современным состоянием математики. Несмотря на огромные достижения математики XX века, дюжины примечательных проблем еще ждут своего решения. В 2000 году лауреат Филдсовской премии Стивен Смейл (р. 1930) составил список из 18 проблем, актуальных в XXI веке. Первые три — это гипотеза Римана, гипотеза Пуанкаре (знаменитый топологический вопрос, поставленный в 1904 году) и проблема Р = NP (любая ли проблема, решаемая в экспоненциальном неполиномиальном времени, имеет альтернативное решение в полиномиальном времени?). Одновременно институт Клея назначил семь премий в один миллион долларов для каждой из обозначенных проблем тысячелетия. Некоторые из них новые, другие — старые знакомые, уже более 100 лет ожидающие решения. Среди этих задач, естественно, три указанные выше проблемы, а также проблема существования решений уравнений Навье — Стокса (которые описывают движение флюидов). В 2002 году российский математик Григорий Перельман (р. 1966) доказал одну из них — гипотезу Пуанкаре.
Сегодня, спустя более чем 100 лет, можно констатировать хорошие результаты: больше половины проблем решены, хотя некоторые решены довольно неожиданно. Часть из них все еще остаются открытыми (это случай проблемы 8 — гипотезы Римана, «звезды» списка) или частично открытыми (случай проблем И, 12 и 16). Проблемы, которые Гильберт определил для нового века, не остались без внимания, они заворожили несколько поколений математиков, породив настоящий поток исследовательских статей. Решить проблему Гильберта — задача, достойная уважения, способствующая карьере. Математик, решивший одну из этих проблем, занимал «почетное положение в математическом сообществе», говоря словами Германа Вейля (1885-1955) из некролога Гильберту.
Это был случай свершившегося пророчества. Несмотря на то что присутствующих на лекции Гильберта было не так много (доподлинно неизвестно, был ли там Пуанкаре, к которому отсылали некоторые из этих проблем), она не вызвала оживленной дискуссии (за исключением столкновения с Пеано, напомнившего Гильберту о работах итальянских математиков в области второй проблемы), репутация их автора и стоявшего за ним Гёттингенского центра сделали свое дело. Математическими проблемами будущего стали именно те, которые Гильберт обозначил в своей программе, потому что этому способствовала его харизма. Однако предложения Пуанкаре также исполнились: например, развитие функционального анализа, который стольким обязан Гильберту, шло параллельно развитию квантовой механики. И когда сошла на нет тенденция к абстракции и аксиоматическим структурам, характерная для начала XX века, произошел скачок прикладной математики (исследование операций, теория хаоса и так далее), который был знаком уважения французскому математику.
Гильберт поставил свою метку на целую эпоху математики. Однако причина того, почему он вызывал восхищение у людей, не исчерпывалась его исследованиями. Гаусс и Риман, также из Гёттингена, были математиками более высокого уровня, чем Гильберт, но их влияние на современников было гораздо меньшим. Гильберт, как гамельнский крысолов, увлек многих математиков за собой в глубокую реку чистой математики. Успех проблем Гильберта в качестве исследовательской программы кроется в той ауре, которую он создал вокруг себя. Другими словами, оценить его влияние можно, только осознав, что он был не просто трудолюбивым преподавателем. Гильберт излучал заразительный энтузиазм, побуждал обмениваться научными идеями в ходе разговоров или долгих прогулок. Краеугольным камнем его математической деятельности было сочетание исследования и обучения. Отто Блюменталь (1876— 1944), первый из 69 учеников, которые написали докторскую диссертацию под его руководством, спустя 40 лет делился впечатлением, которое произвел на него прибывший в Гёттинген Гильберт: