или .
Первая группа знаков обозначает 10 + 9; вторая — 20 – 1. Дроби, которыми пользовались жители древнего Двуречья, имели характерную особенность: их знаменатель был равен 6, 60, 360 или 3600. Они обычно не писали 1/2, а писали 3/6; писали 4/6, а не 2/3 и так далее.
Знали вавилоняне и другие дроби, с любым знаменателем. Но в этом случае числитель всегда равнялся единице.
В Вавилонии были в большом ходу различного рода справочные таблицы. Они сильно облегчали вычисления, которые приходилось производить повседневно.
Наша ученическая таблица умножения рассчитана на числа от единицы до ста. Вавилоняне пользовались таблицей умножения от 1 до 180 000. Ими была выработана краткая система записи, которая выглядела примерно так:
Первый столбец обозначает 2 × 1 = 2; 2 × 2 = 4; 2 × 3 = 6; 2 × 4 = 8. Постоянный множитель (2) писали только один раз, затем опускали.
Второй столбец обозначает 1 × 6 = 6; 2 × 6 = 12; 3 × 6 = 18; 4 × 6 = 24. Здесь постоянный множитель (6) вовсе отсутствует.
Значительно сложнее были таблицы, которыми пользовались при делении. Их характерная особенность — отсутствие делимого, которое подразумевалось.
В той же библиотеке Ашшурбанипала найдена таблица для возведения в степень и извлечения корня. Так как она служила сугубо практическим целям — измерению площадей и объемов, то в ней зафиксированы лишь квадратные и кубические корни. Вавилонянам не было нужды возводить числа в четвертую, пятую и более высокие степени, поэтому и отсутствовали соответствующие таблицы.
Запись была упрощенной:
Нетрудно догадаться, что первый столбец означает √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4.
Второй столбец надо читать так: 3√1 = 1, 3√8 = 2, 3√27 = 3, 3√64 = 4.
Те же таблицы, читаемые справа налево, служили для возведения в степень.
В практической жизни особое значение имело точное измерение полей, садов, строений. Правда, все обрабатываемые и возделываемые земельные участки были измерены еще в незапамятные времена, но ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи. Поэтому иногда после спада воды нужно было вновь перемеривать все участки, чтобы установить точные границы между ними. При купле, продаже, делении наследства также необходимо было измерить величину участков.
План дома. Обломки глиняной таблички.
До нас дошло немало землемерных карт, составленных свыше четырех тысяч лет тому назад. Вот одна из них.
План земельного участка. Клинописью обозначена длина сторон каждой из геометрических фигур и их площадь.
Внимательно рассмотрев приведенную фигуру неправильной формы, мы заметим, что она разбита на ряд прямоугольников, треугольников и трапеций. Измерив площадь каждой из этих фигур и сложив их, древний землемер получал общий размер всей площади.
Производство всех этих вычислений было для математиков Двуречья делом не простым. Это требовало больших навыков и длительных упражнений. В помощь обучающимся существовали учебники, в которых приводились типовые решения различных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Заметим попутно, что эти решения не всегда были абсолютно точны. Вавилоняне не гнались за точностью там, где это не вызывалось практической необходимостью.
В одном математическом сборнике, составленном в начале второго тысячелетия до нашей эры, приведена следующая задача: определить длину диагонали прямоугольника, если известны размеры его сторон.
Тут же даны два способа решения задачи с подробными комментариями.
В другом учебнике ставятся чисто практические задачи, связанные со строительными работами. Сколько земли потребуется для насыпи, размеры которой известны, и сколько грунта должен перетаскать каждый рабочий, если известно их общее число? Сколько глины должен заготовить каждый рабочий для возведения стены определенных размеров? Сколько земли может вместить корзина определенной формы?
К числу простейших задач, решение которых предлагалось начинающим, относится и следующая:
«За сколько дней можно изготовить кусок ткани определенной длины, если мы знаем, что ежедневно изготовляется столько-то локтей [мера длины] этой ткани?»
Вавилоняне выработали своеобразные меры веса, длины, площади и объема. Первоначально единицы измерения были весьма неточными. Например, длину измеряли пальцами, ладонями, локтями.
Результаты измерений каждый раз были разными, в зависимости от того, кто мерил.
В течение веков меры веса, длины и емкости были приведены к некоему единству, — этого требовали интересы торговли, всё более развивавшейся.
Ассирийские весы с коромыслом.
Мельчайшей единицей веса стало ячменное зерно — по-вавилонски шеум. В переводе на нашу метрическую систему 1 шеум равен примерно 46,75 миллиграмма. 180 зерен образуют 1 шекель (8,4 грамма). 60 шекелей составляли мину (около 500 граммов), 60 мин — 1 талант (30,3 килограмма).
Эти весовые единицы получили в древности широкое распространение, ими пользовались далеко за пределами Двуречья. В несколько измененном виде некоторые из них просуществовали в отдельных странах Азии и Европы до XVIII века.
Гиря весом в полмины.
В первом тысячелетии до нашей эры в связи с дальнейшим развитием денежной системы ячменное зерно как весовая единица потеряло свое значение. Вместо вышедшего из употребления шеума пользуются различными долями шекеля, чаще всего 1/24, 1/10, 1/8, 1/6, 1/4, 1/3, и 1/2. Эти мелкие весовые единицы становятся ходовыми и получают специальные наименования.
Мерой емкости в древнем Двуречье была так называемая сила, равная примерно 0,84 литра. 300 сила составляли 1 гур. Впоследствии появился облегченный гур, в котором было лишь 180 сила. В Ассирии, однако, гурами не пользовались. Здесь применяли другую единицу — имер, составленную из ста сила. Слово «имер» буквально значит: осел. Этим термином обозначали также ослиный вьюк (примерно 40 кг).
Все меры длины, как мы уже знаем, восходят к человеческой руке — локтю, ладони, пальцу. Для измерения больших величин пользовались тростником и веревкой определенных размеров.
Любопытно отметить, что в древней Ассирии высоту зданий измеряли иногда рядами кирпича. Говорили, например: здание высотою в 30 кирпичей. Так как все кирпичи были одинакового размера, то, зная число кирпичных слоев, нетрудно было определить высоту здания.
Всё же меры длины в разных городах отличались друг от друга. Например, в городе Лагаше «локоть» был равен 495 миллиметрам, а в Ниппуре и древнем Вавилоне — 518 миллиметрам. Тот же «локоть» мог состоять из 20 и 30 «пальцев», а «тростник» — из 6 или 7 «локтей». Путаница усугублялась наличием «обычного локтя» и «большого локтя». Понятно, что при таких условиях возникало множество недоразумений.
Гиря в виде льва.
Простейшей мерой площади была грядка, которая равнялась 35,284 м2. Сто грядок составляли поле, 18 полей — колодец. Это название, очевидно, возникло от того, что жители такого земельного массива пользовались водой из одного колодца, расположенного вблизи их участков.
Начиная с середины второго тысячелетия до нашей эры, земельные площади в Вавилонии измеряются количеством семян, потребным для засева. Например, говорили: этот участок равен двум мерам зерна.
Нужды практической жизни побудили вавилонян к составлению календаря. На первый взгляд может показаться странным — зачем им понадобился календарь? Разве нельзя было обойтись без него?
Нет, нельзя было.
Календарь подсказывал землепашцу, когда ему ждать разлива рек. К тому времени нужно было успеть очистить старые каналы и прорыть новые, создать водохранилища, укрепить дамбы, подготовить лодки.
Календарь подсказывал, когда можно ждать спада воды, чтобы приступить к пахоте и севу. Нужно было знать, когда солнце начнет немилосердно палить, чтобы не опоздать с перегоном скота на новые пастбища.
Как же тут обойтись без календаря? Он был не прихотью, а насущной жизненной необходимостью для жителей Двуречья, их верным советчиком. И возник он в такой глубокой древности, что сейчас даже невозможно установить время составления первого календаря.
По вавилонскому календарю сутки начинались обычно с захода солнца. Временами, однако (например с XXIV по XX век до нашей эры), они начинались либо с утренней зари, либо, как у нас, с полуночи. Сутки делились на шесть равных частей, которые назывались стражами. Были три ночных и три дневных стражи. Помимо того, сутки делились также на двенадцать равных частей — двенадцать двойных часов, а каждый двойной час — на 30 минут. Следовательно, вавилонская минута была в четыре раза больше нашей.
Таким образом, вавилоняне делили сутки на 360 малых частей (12 × 30 = 360). Это же деление было принято и для года, который состоял из 12 месяцев или 360 дней.
Поскольку видимое движение солнца совершается по окружности, вавилоняне разделили и солнечный путь на 360 равных частей — по числу своих временных единиц. Позже они стали делить на 360 частей любую окружность. Это и есть наши градусы, известные теперь любому школьнику.
Для измерения часов и минут были изобретены солнечные и водяные часы. Тень от вертикально поставленного стержня, передвигаясь по окружности, разделенной на 12 и 360 равных частей, отмечала вавилонские двойные часы и минуты. По свидетельству известного греческого историка Геродота, жившего в V веке до нашей эры, солнеч