Потерял он 1/15того времени, какое нужно, чтобы пройти пешком половину дороги.
В колхоз (102)
Решение этой задачи ясно из следующих выкладок:
24 км в гору и 8 км под гору – 4 часа 30 минут.
8 км в гору и 24 км под гору – 2 часа 50 минут.
Умножив вторую строку на 3, имеем:
24 км в гору и 8 км под гору – 4 часа 30 минут.
24 км в гору и 72 км под гору – 8 часа 30 минут.
Отсюда ясно, что 72 без 8, т. е. 64 километра под гору велосипедист проезжает в 8 часов 30 минут без 4 часов 30 минут, т. е. в 4 часа. Следовательно, в час он проезжал под гору 64: 4 = 16 километров.
Сходным образом найдем, что в гору он проезжал в час 6 километров. Легко убедиться проверкой в правильности ответов.
Автомобильное колесо (103)
Воздух внутри шины движется сразу в двух направлениях. От того места, где шина сжимается под грузом машины, воздух вытесняется и вперед – в еще несжатую часть шины, и назад – в сейчас освободившуюся от сдавливания часть.
Эта старинная народная задача решается так. Спросим себя: на сколько во второй раз для заполнения мест на палках нужно было бы иметь больше галок, чем в первый? Легко сообразить: в первом случае для одной галки не хватило места, во втором же сидели все галки и еще двух не хватило; значит, чтобы занять все палки, нужно бы во второй раз иметь на 1 + 2, т. е. на 3 галки больше, чем в первый. Садится же на каждую палку на одну птицу больше. Ясно, что всех палок было три. Посадим на каждую палку по галке и прибавим еще одну – получим число птиц: 4.
Итак, вот ответ на вопрос задачи: четыре галки, три палки.
Два школьника (105)
Из того, что передача одного яблока уравнивает их число у обоих школьников, следует, что у одного на 2 яблока больше, чем у другого. Если от меньшего числа отнять одно яблоко и прибавить к большему числу, то разница увеличится еще на 2 и станет равна 4. Мы знаем, что тогда большее число будет равно двойному меньшему. Значит, меньшее число тогда будет 4, а большее – 8.
До передачи одного яблока у одного школьника было 8–1 = 7, а у другого 4+1 = 5.
Проверим, становятся ли числа равными, если от большего отнять одно яблоко и прибавить к меньшему:
7 – 1 = 6; 5 + 1 = 6.
Итак, у одного школьника было 7 яблок, а у другого – 5.
Цена пряжки (106)
Вы, вероятно, решили, что пряжка стоит 8 копеек. Если так, то вы ошиблись. Ведь тогда пояс был бы дороже пряжки не на 60 копеек, а всего на 52 копейки. Правильный ответ: цена пряжки 4 копейки.
Тогда пояс стоит 68 – 4 = 64 копейки, т. е. на 60 копеек дороже пряжки.
Сколько стаканов? (107)
Сравнивая первую и третью полки, мы замечаем, что они отличаются друг от друга следующим: на третьей полке один лишний сосуд среднего размера, зато нет трех малых сосудов. А так как общая вместимость сосудов каждой полки одинакова, то, очевидно, вместимость одного среднего сосуда равна вместимости трех малых. Итак, средний сосуд вмещает 3 стакана. Теперь остается определить вместимость большого сосуда. Заменив на первой полке средние сосуды соответствующим числом стаканов, мы получаем один большой сосуд и 12 стаканов.
Сравнив это со второй полкой, соображаем, что один большой сосуд вмещает 6 стаканов.
Бочки меду (108)
Задача решается довольно легко, если сообразить, что в 21 купленной бочке было меду 7 + 3½, т. е. 10½ бочки.
Значит, каждый кооператив должен получить 3½ бочки меду и 7 бочек тары.
Выполнить дележ можно двояко. По одному способу кооперативы получают:
По другому способу кооперативы получают:
Продажа яиц (109)
Очевидно, крестьянка принесла на базар нечетное число яиц. Тогда половина всех яиц состояла из нецелого числа, а прибавка половины одного яйца превращала это число в целое. Что же это было за число? Начнем с конца. После того как вторая покупательница взяла половину оставшихся яиц и еще ½ яйца, у крестьянки оказалось только одно яйцо. Значит, одно яйцо и еще ½ яйца составляют вторую половину того, что осталось после первой покупательницы. Отсюда узнаем, что после первой покупательницы осталось 1½ + 1½, т. е. 3 яйца. Прибавив У яйца, получаем половину всего числа яиц, бывших у крестьянки. Итак, крестьянка принесла на базар 3½ + 3½, т. е. 7 яиц. (Проверьте этот ответ.)
В чем обман (110)
Прохожий подсчитал выручку неверно. Он принимал, что первая крестьянка продала столько же пар яиц, сколько вторая – троек: тогда средняя цена действительно была бы 10 коп. за 5 штук, или 2 коп. штука. На самом деле, однако, первая продала 15 пар, вторая же – всего 10 троек. Дорогих яиц продано было больше, чем дешевых, и средняя цена была выше 2 коп. за штуку. Истинная выручка равна:
Бой часов (111)
Если часы делают в 3 секунды 3 удара, т. е. если 2 промежутка между ударами длятся 3 секунды, то продолжительность одного промежутка – 1½ секунды. При 7 ударах имеется 6 промежутков. Считая по 1½ секунды на каждый промежуток, имеем, что 7 ударов часы должны делать в 6 × 1½ = 9 секунд.
Мишины котята (112)
Нетрудно понять, что ¾ котенка есть четвертая доля всех котят.
Значит, всех котят было вчетверо больше, чем ¾, т. е. три. Действительно, ¾ от трех составляет 2¼, и остается ¾ котенка.
Кошки (113)
Соображаем:
4 кошки и 3 котенка весят 15 килограммов.
3 кошки и 4 котенка весят 13 килограммов.
Значит, 7 кошек и 7 котят весят 28 килограммов. Отсюда узнаем вес одной взрослой кошки вместе с одним котенком – 4 килограмма. Теперь узнаем, сколько весят 4 кошки и 4 котенка: умножив 4 килограмма на 4, получаем 16 килограммов.
Сопоставляем:
4 кошки и 3 котенка весят 15 килограммов.
4 кошки и 4 котенка весят 16 килограммов.
Ясно, что котенок весит 1 килограмм, и, следовательно, вес взрослой кошки – 3 кило.
Сколько квадратов? (114)
Значит, фигура заключает 55 различно расположенных квадратов 5 различных размеров.
Квадратный метр (115)
В тот же день Алеша убедиться в этом никак не мог. Даже если бы он считал круглые сутки непрерывно, то и тогда насчитал бы в сутки только 86 400 клеточек.
Ведь в 24 часах всего 86 400 секунд. Ему надо было бы считать без перерывов почти 12 дней, а по 8 часов в сутки – целый месяц, чтобы досчитать до миллиона.
Задача о волосах (116)
Среди школьников наверняка имеются даже не двое, а целые десятки ребят с одинаковым числом волос. Это следует из того, что число всех школьников больше, чем число волос на голове каждого на них. Школьников с различным числом волос может быть не более 200 000.
Как поделить яблоки? (117)
Яблоки были разделены таким образом. 3 яблока разрезаны были каждое пополам; получилось 6 половинок, которые и роздали ребятам. Остальные 2 яблока разрезали каждое на 3 равные доли; получилось 6 третьих долей, которые тоже роздали ребятам. Каждому мальчику было дано, значит, по одной половине и по ⅓ доле яблока, т. е. все ребята получили поровну.
Как видите, ни одно яблоко не было разрезано больше чем на три равные части.
Почтовые марки (118)
Эта задача имеет только одно решение. Гражданин купил:
50-копеечных марок………………..1 штуку
10-копеечных марок………………..39 штук
1-копеечных марок…………………60 штук
Действительно:
всех марок 1 + 39 + 60 = 100 штук.
А стоят они:
50 + 390 + 60 = 500 копеек.
Сколько монет? (119)
Задача имеет четыре решения. Вот они:
Почем лимоны? (120)
Мы знаем, что 36 штук лимонов стоят столько рублей, сколько на 16 рублей дают лимонов. Но 36 штук стоят:
36× (цену штуки).
А на 16 рублей дают штук:
Значит:
Если бы правую часть не делили на цену штуки, то в левой части получили бы больше в (цену штуки) раз, т. е. 16:
36 × (цену штуки) × (цену штуки) = 16.
Если бы левую часть не множили на 36, то в правой части получили бы меньше в 36 раз:
Ясно, что цена штуки = руб., а стоимость дюжины лимонов = ⅔ × 12 = 8 руб.
Книжный червь (121)
Обычно отвечают, что червь прогрыз 900 + 800 страниц да еще две крышки переплета. Но это не так. Поставьте рядом две книги: первую налево, вторую направо, как показано на рисунке на с. 119. И тогда посмотрите, сколько страниц между первой страницей первой книги и последней страницей второй книги. Вы убедитесь, что между ними нет ничего, кроме двух крышек переплета.
Книжный червь испортил, значит, только переплеты книг, не тронув их листов.
Одна лодка на троих (122)
Замки должны быть продеты один сквозь другой, как показано на рисунке. Легко видеть, что эту цепь из трех замков каждый владелец может разнять и вновь замкнуть своим ключом.
Из шести спичек (123)
Вы, вероятно, пытались составить плоскую фигуру из шести спичек, и, конечно, безуспешно, потому что так задача неразрешима. Но ведь никто не мешает вам располагать треугольники в пространстве. И тогда она решается очень просто: стоит лишь построить из шести спичек пирамидку. У вас получается тогда четыре равносторонних треугольника из шести спичек.
Шесть монет (124)
Шесть монет можно расположить в три ряда по три в каждом следующим образом: