Наименьший магический квадрат
Составление магических, или волшебных, квадратов — старинный и еще сейчас весьма распространенный вид математических развлечений. Задача состоит в отыскании такого расположения последовательных чисел (начиная с 1) по клеткам разграфленного квадрата, чтобы суммы чисел во всех строках, столбцах и по обеим диагоналям квадрата были одинаковы.
Наименьший магический квадрат — 9-клеточный; легко убедиться испытанием, что магический квадрат из четырех клеток существовать не может. Вот образчик 9-клеточного магического квадрата:
Сложим ли мы в этом квадрате числа 4 + + 3 + 8, или 2 + 7 + 6, или 3 + 5 + 7, или 4 + + 5 + 6, или любой другой ряд из трех чисел, мы во всех случаях получим одну и ту же сумму 15. Итог этот можно предвидеть, не составляя еще самого квадрата: три строки квадрата — верхняя, средняя и нижняя — должны заключать все его 9 чисел, составляющие в сумме
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
С другой стороны, сумма эта должна быть равна, очевидно, утроенному итогу одной строки. Отсюда для каждой строки имеем итог:
45: 3 = 15.
Подобным же образом можно заранее определить сумму чисел строки или столбца любого другого математического квадрата, состоящего из какого угодно числа клеток. Для этого нужно сумму всех чисел квадрата разделить на число его строк.
Повороты и отражения
Составив один магический квадрат, легко получить его видоизменения, то есть найти ряд новых магических квадратов. Если, например, мы составили квадрат (рисунок а), то, повернув его мысленно на четверть полного оборота (на 90°), получим другой математический квадрат (рисунок б):
Дальнейшие повороты — на 180° (половину полного оборота) и на 270° (три четверти полного оборота) — дадут еще два видоизменения начального квадрата.
Каждый из вновь полученных магических квадратов можно, в свою очередь, видоизменить, если представить себе, что он как бы отражен в зеркале. На рисунке ниже показаны начальный квадрат и одно из его зеркальных отражений.
Проделав с 9-клеточным квадратом все повороты и отражения, получаем следующие его видоизменения:
Это полный набор всех магических квадратов, какие вообще могут быть составлены из первых девяти цифр.
Способ Баше
Познакомимся со старинным приемом составления нечетных магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3 × 3, 5 × 7, 7 × 7 и т. п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Так как способ Баше пригоден, между прочим, и для 9-клеточного квадрата, то удобнее всего начать описание способа именно с этого наиболее простого примера. Итак, приступим к составлению 9-клеточного магического квадрата по способу Баше.
Начертив квадрат, разграфленный на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд, как показано на рисунке.
Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше).
В результате получаем квадрат:
Применяем правило Баше к составлению квадрата из 5 × 5 клеток. Начинаем с расположения:
Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его. Для этого нужно фигуры, образованные числами, состоящими вне квадрата («террасы»), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Получится магический 25-клеточный квадрат.
Обоснование этого простого приема довольно сложно; читатели могут удостовериться на практике, что способ правилен.
Составив один магический квадрат из 25 клеток, вы путем поворотов и отражений можете получить его видоизменения.
Индийский способ
Способ Баше, или, как его иначе называют, «способ террас», — не единственный для составления квадратов с нечетным числом клеток. Из других существующих способов сравнительно несложен весьма древний прием, придуманный, как полагают, в Индии еще до начала нашего летоисчисления. Его можно изложить кратко в шести правилах. Внимательно прочтите все правила, а затем проследите их применение на примере магического квадрата из 49 клеток:
1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу среднего справа столбца — 2.
2. Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо и вверх.
3. Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.
4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца.
Примечание. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.
5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.
6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.
Руководствуясь этими правилами, можно быстро составлять магические квадраты с любым нечетным числом клеток.
Если число клеток квадрата не делится на 3, можно начинать составление магического квадрата не по правилу 1, а по другому правилу.
Единицу можно написать в любой клетке диагонального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата. Все последующие числа вписываются согласно правилам 2–5.
Это дает возможность составить по индийскому способу не один, а несколько квадратов. Как например даем следующий магический квадрат из 49 клеток.
Упражнение. Составьте по индийскому способу несколько магических квадратов из 25 и из 45 клеток. Из полученных квадратов составьте еще несколько с помощью повторов и отражений.
Квадраты с четным числом клеток
Для составления магических квадратов с четным числом клеток еще не найдено общего и удобного правила. Сравнительно простой прием существует лишь для таких четных квадратов, число клеток которых делится без остатка на 16; число клеток в стороне этих квадратов кратно 4, то есть сторона их состоит из 4, из 8, из 12 и т. д. клеток.
Условимся, какие клетки мы будем называть «противолежащими» друг другу. На рисунке ниже показаны для примера две пары противолежащих клеток: одна пара обозначена крестиками, другая — кружочками.
Мы видим, что если клетка находится во втором сверху ряду на четвертом слева месте, то противолежащая ей клетка находится во втором снизу ряжу на четвертом справа месте. (Читателю полезно поупражняться в нахождении еще нескольких пар противолежащих клеток.) Заметим, что для клеток, взятых в диагональном ряду, противолежащие расположены на этой же диагонали.
Способ составления квадратов с указанным числом клеток в стороне объясним на примере квадрата из 8 × 8 клеток. Начинают с того, что вписывают в клетки по порядку все числа от 1 до 64.
В полученном квадрате диагональные ряды дают одинаковую сумму — 260, как раз такую, какая и должна быть в магическом квадрате из 8 × 8 клеток. (Проверьте это!) Но строки и столбцы этого квадрата имеют другие суммы.
Так, первая верхняя строка дает в сумме всего 36, то есть на 224 меньше, чем требуется (260 — 36); восьмая, самая нижняя, строка дает в сумме 484, то есть на 224 больше, чем требуется (484–260). Замечая, что каждое число восьмой строки на 56 больше находящегося над ним числа первой строки и это 224 = 4 × 56, приходим к выводу, что можно уравнять суммы этих строк, если половину чисел первой строки обменять местами с числами 57, 58, 59, 60.
Сказанное о первой и восьмой строках верно так же для строк второй и седьмой, третьей и шестой, вообще для каждой пары строк, равноотстающих от крайних. Производя обмен чисел во всех строках, получим квадрат с одинаковыми суммами строк.
Необходимо, однако, чтобы и столбцы давали ту же сумму. При первоначальном расположении чисел мы могли бы достигнуть этого путем такого же обмена чисел, какой мы произвели сейчас с числами строк. Но теперь, после перестановок в строках, дело осложнилось. Чтобы быстро отыскать числа, подлежащие обмену, существует следующий прием, которым можно пользоваться с самого начала: вместо двояких перестановок — в строках и в столбцах — обменивают местами те числа, которые противолежат друг другу. Одного этого правила все же недостаточно — ведь мы установили, что обмену подлежат не все числа ряда, а только половина; остальные числа остаются на прежних местах. Какие же из противолежащих пар надо обменивать?
На этот вопрос отвечают следующие четыре правила:
1. Надо магический квадрат разделить на четыре квадрата, как показано на рисунке:
2. В левом верхнем квадрате отметить крестиками половину всех клеток так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке этого квадрата была отмечена ровно половина входящих в них клеток. Это можно сделать различными способами — например, так, как показано на приведенной выше фигуре.
3. В правом верхнем квадрате отметить крестиками клетки, симметричные тем, которые были отмечены в левом верхнем квад-рате.
4. Теперь остается числа, находящиеся в отмеченных клетках, поменять местами с числами, находящимися в противолежащих клетках.
В результате всех проделанных перестановок получается магический квадрат из 64 клеток, который здесь приведен:
Мы могли бы, однако, и многими другими способами отметить клетки в левом верхнем квадрате, причем правило 2 было бы соблюдено.
Это можно сделать, например, так, как показано на помещенном здесь рисунке.
Читатель несомненно сам найдет еще очень много способов расстановки крестиков в клетках левого верхнего квадрата.
Пользуясь затем правилами 3 и 4, можно будет получить еще несколько магических квадратов из 64 клеток.