Получилось так, что, несмотря на рост ее абстрактного содержания, роль математики в упорядочении знаний об окружающем мире непрерывно возрастала. Немаловажно, что при этом резко увеличивались масштаб и точность охвата природных явлений.
Моррис Клайн считает, что здесь мы сталкиваемся с явно парадоксальной ситуацией. Область знания, больше не пре-
-10-
тендующая на роль носителя истины, подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидову геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа, а также физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна с ее тонкими и необычными выводами и позволила многое понять в строении атома. Все эти блестящие достижения опираются на математические идеи и рассуждения. Возможно, в отрасли знания, о которой идет речь, все-таки заключена некая магическая сила, позволившая ей одержать столько побед, хотя сражалась она под непобедимым знаменем истины?
Рис. 4. Альберт Эйнштейн (1879–1955) в молодости, во времена работы в Бернском патентном бюро
«…Возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только размышления понять свойства реальных вещей?»
-11-
Проблема мистической силы, таящейся в математических построениях, привлекала к себе многих выдающихся мыслителей. Сам великий Альберт Эйнштейн неоднократно обращался к вопросу: если аксиомы математики и принципы логики являются абстрактными умозрительными конструкциями, то почему вытекающие из них следствия так хорошо согласуются с реальной практикой?
Эти рассуждения так или иначе сводились к простому вопросу с поистине бездонным философским содержанием: почему математика сверхуниверсальна и вообще действует в нашем Мире?
Сначала считалось, что математики осознанно или, наоборот, неосознанно подбирают свои аксиомы именно таким образом, что выводимые из них следствия согласовываются с опытом. Профессор Клайн, в частности, считает, что первым эту идею высказал еще энциклопедист и просветитель Дени Дидро в своем труде «Мысли об интерпретации природы». Великий мыслитель сравнивал математика с игроком. И тот и другой играют, придерживаясь ими же придуманных абстрактных правил. И тот и другой сосредотачивают свои помыслы на исследовании некоего условного предмета, рожденного принятыми соглашениями и не имеющего основы в реальности. По мнению Клайна, именно таким образом действуют и создатели современных математических моделей. Их алгоритм внешне прост: берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то ее переделывают, внося необходимые изменения. Тем не менее сама по себе возможность вывести из одной модели десятки, если не сотни, различных теорем, хорошо согласующихся с опытом и полностью применимых в окружающей нас физической реальности, сильно озадачивает уже многие поколения ученых. Наверное, где-то здесь лежат идеологические основы современнейших теорий Мультиверса — Вселенной, включающей в себя бесчисленное множество миров, в которых возможно абсолютно все.
Разумеется, существуют и совершенно иные объяснения непостижимой эффективности действия математического
-12-
аппарата. Чаще всего при этом упоминают великого немецкого философа Канта, который утверждал, что мы не знаем и не можем знать природу. Человек, согласно Канту, настолько ограничен чувственными восприятиями, что его разум изначально наделен некими врожденными структурами, диктующими всем нам интуитивные суждения о пространстве и времени. Именно поэтому наш разум требует, чтобы окружающее пространство воспринималось в полном соответствии с законами евклидовой геометрии. Тут следует заметить, что немецкий мыслитель ничего не знал о неевклидовой геометрии, существование которой в реальном мире во многом опровергает его философские суждения. Иначе говоря, все окружающие нас явления мы видим сквозь призму врожденных математических представлений, поскольку «всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу» (И. Кант. Критика чистого разума). Хотя многие выдающиеся мыслители первой половины прошлого века, например Эйнштейн и "Дрнольд Зоммерфельд, с усмешкой критиковали идею предписывания Природе ее законов как вопиющий пример человеческого высокомерия, идеи Канта получили дальнейшее развитие. Так, видный астроном и физик Артур Эддингтон считал, что мир человеческого опыта есть, по существу, творение нашего разума и что если бы мы только могли понять, как действует человеческое сознание, то нам неминуемо удалось бы вывести все естествознание, может быть лишь за исключением нескольких фундаментальных констант, зависящих от конкретной части пространственно-временного континуума, чисто теоретическими методами.
Между тем профессор Клайн так комментирует сложившуюся ситуацию: «Наделенные немногими и весьма ограниченными по своим возможностям органами чувств и головным мозгом, люди начали проникать в окружающий их загадочный мир. Используя собственный чувственный опыт и данные, полученные из экспериментов, люди выработали некий набор аксиом, применив к ним мощь своего разума. Целью их поисков было выявление порядка, лежащего в основе Мироздания.
-13-
Они стремились построить системы знания, которые противостояли бы мимолетности ощущений и могли бы служить основой для создания неких схем, способных объяснить окружающий Мир и помочь овладеть им. И главным продуктом человеческого разума стала математика. Она отнюдь не безупречно ограненный и идеально отшлифованный драгоценный камень, и даже непрерывная "доводка" не в состоянии устранить всех ее изъянов. И все же именно математика воплощает в себе звено, наиболее эффективно связывающее реальный Мир с миром чувственных восприятий, и остается поныне драгоценнейшим сокровищем человеческого разума, которое надлежит всячески оберегать. На протяжении долгого времени математика находилась в авангарде человеческой мысли и, несомненно, сохранит передовые позиции, даже если более тщательные исследования выявят в ней какие-нибудь новые изъяны.
Математическая мысль без устали бьется о скалистый берег, препятствующий ее проникновению на новые территории. Но даже гранитные утесы не выдерживают ее могучего натиска, не ослабевающего на протяжении столетий, и рушатся, открывая перед математикой новые просторы».
Рис. 5. Артур Стенли Эддингтон (1882–1944)
«…Там, где наука ушла особенно далеко в своем развитии, разум лишь получил от природы то, что им было заложено в при-
-14-
роду. На берегах неизвестного мы обнаружили странный отпечаток. Чтобы объяснить его происхождение, мы выдвигали одну за другой остроумнейшие теории. Наконец нам все же удалось восстановить происхождение отпечатка. Увы! Оказалось, что это наш собственный след…»
Итак, окрыленные мнением выдающихся научных авторитетов о магической силе науки, давайте будем собирать нашу математическую головоломку, начиная с первого набора пазлов — тайн одного из последних ученых-универсалов…
-15-
Часть 1 Тайна Пуанкаре
-16-
«Трудно отделаться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают своим собственным разумом, что они умнее нас, умнее тех, кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них первоначально заложено…»
«Эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств».
«Мы не должны выносить то или иное математическое утверждение за рамки математической языковой практики и в свою очередь рассматриваем последнюю как неотъемлемую часть нашего общего языка. Математика как его функциональная часть служит для того, чтобы многое сообщать об объектах окружающего мира. Именно здесь лежит ключ к ответу на вопрос о конвенционализме. Принимаемые нами соглашения должны как-то "работать", то есть помогать нам каким-то образом следовать природе, "подражать" ей. Можно было бы, например, принять решение изменить наши математические соглашения, исключив, скажем, понятие иррационального числа. Но оно необходимо в наших взаимоотношениях с природой, а именно природа в конечном счете служит мерилом нужности принимаемых нами соглашений, как математических, так и всех прочих».
-17-
Рис. 6. Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912)
«Можно ли утверждать, что некоторые явления, возможные в евклидовом пространстве, были невозможны в неевклидовом, так как опыт, констатируя эти явления, прямо противоречил бы гипотезе о неевклидовом пространстве?
По моему мнению, подобный вопрос не может возникнуть…»
От личности выдающегося французского ученого конца XIX — начала XX века Анри Пуанкаре так и веет таинственностью. Раньше все разговоры среди историков науки так или иначе вращались вокруг его неоднозначного вклада в создание теории относительности. Дело в том, что хотя отцом специальной теории относительности, не говоря уже об общей теории относительности, почти во всех учебниках называется исключительно Альберт Эйнштейн, у него был целый ряд предшественников. Это прежде всего Гендрик Антон Лоренц (1853–1928), Джордж Френсис Фицджеральд (1851–1901) и Джозеф Ла