Черепаха: Отличная мысль. (Заползает за комод.)
Ахилл: Кто там?
Голос: Откройте, полиция!
Ахилл: Входите, дверь не заперта!
(Входят два дюжих полицейских в новеньких, с иголочки, формах, со сверкающими кокардами на фуражках.)
Полицейский: Я — лейтенант Сильвер, а это — копертан Гулд. Проживает ли здесь некто по имени Ахилл?
Ахилл: Это я.
Полицейский: Мистер Ахилл, у нас есть все основания подозревать, что в вашей квартире находится золотая шкатулка с сотней луидоров. Она была украдена сегодня вечером из музея.
Ахилл: Ах, батюшки!
Полицейский: Она должна находиться здесь, потому что, кроме вас, подозревать некого. Придется вам пройти с нами… (Достает ордер на арест.)
Ахилл: Господи, как я счастлив, что вы наконец пришли! Весь вечер я мучился, слушая Черепашьи вариации на тему золотых шкатулок. Надеюсь, вы меня освободите! Прошу вас, господа, загляните за комод, и вы увидите там настоящего преступника!
(Полицейские заглядывают за комод; там, среди пыли и паутины, они видят дрожащую Черепаху с золотой шкатулкой в лапах.)
Полицейский: Ага! Вот она, злодейка! Никогда бы на нее не подумал — но поскольку она поймана с поличным…
Ахилл: Уведите поскорее отсюда эту преступницу, любезные господа. Слава Богу, мне уже никогда не придется слышать ни о ней, ни о ее Золотых Вариациях.
ГЛАВА XIII: Блуп, Флуп и Глуп
Блуп, Флуп и Глуп — это не имена гномов, не разговоры лягушек в пруду и не бульканье воды в засорившейся раковине. Это компьютерные языки, каждый из которых имеет особое предназначение. Они были придуманы специально для этой главы. Мы воспользуемся ими для того, чтобы объяснить новые значения слова «рекурсивный» — в частности, понятия примитивной рекурсивности и общей рекурсивности. Эти понятия помогут нам лучше объяснить механизм автореферентности в ТТЧ.
Здесь мы совершаем скачок от человеческого мозга и интеллекта к миру математики, техники и компьютеров. Этот переход, каким бы резким он не казался, все же имеет смысл. Мы только что убедились в том, что в сердце интеллекта лежит самосознание. Давайте теперь рассмотрим «самосознание» в более формальных контекстах, таких, как ТТЧ. Между ТТЧ и разумом — огромная дистанция; тем не менее, некоторые идеи окажутся весьма поучительными и, может быть, даже приложимыми к нашим рассуждениям о сознании.
Удивительно то, что самосознание в ТТЧ тесно связано с вопросом о порядке и хаосе среди натуральных чисел. В частности, мы увидим, что упорядоченная система, достаточно сложная, чтобы отразить саму себя, не может быть полностью упорядоченной — в ней обязательно окажутся некие странные, хаотические черты. Читателям, в которых есть что-то от Ахилла, трудно будет в это поверить. Однако здесь существует и некая «магическая» компенсация, что-то вроде порядка внутри хаоса; этот «хаотический порядок» изучается так называемой «теорией о рекурсивных функциях». К несчастью, здесь мы сможем дать только самое поверхностное понятие об этой интереснейшей теме.
Мы с вами уже довольно часто натыкались на такие выражения, как «достаточно сложный», «достаточно мощный» и тому подобное. Что именно они означают? Давайте вернемся к «войне» Краба с Черепахой и подумаем, какие качества необходимы предмету, чтобы его можно было бы назвать патефоном? Почему бы Крабу не сказать, что его холодильник — это «совершенный» патефон? В доказательство он мог бы положить на холодильник любую пластинку и сказать: «Вот видите, он ее проигрывает!» Если бы Черепаха захотела что-то противопоставить этому дзен-буддйстскому акту, она должна была ответить: «Нет, ваш холодильник такого низкого качества, что его нельзя назвать патефоном: он вообще не может воспроизводить звуков (а тем более, саморазбивальных звуков)». Черепаха может записать пластинку под названием «Меня нельзя сыграть на патефоне X», только если патефон X действительно является патефоном! Метод Черепахи весьма хитер, так как он играет не на слабости системы, а на ее силе. Поэтому, чтобы он подействовал, необходимы патефоны достаточно высокого качества.
То же самое верно и для формальных вариантов теории чисел. ТТЧ является формализацией теории чисел (Ч) именно потому, что ее символы действуют «так как надо»: они не молчат, как холодильник, а выражают существующие в теории чисел истины. Конечно, так же ведут себя символы системы pr. Можно ли и эту систему считать за формализацию Ч, или же она больше похожа на холодильник? На самом деле, она чуть получше холодильника, но все еще очень слаба. Система pr не включает достаточного количества основных истин Ч и поэтому не может считаться за «теорию чисел».
Что же такое «основные истины» Ч? Это примитивно рекурсивные истины, что означает, что они включают только предсказуемо конечные вычисления. Эти основные истины являются для Ч тем же, чем четыре постулата Эвклида для геометрии: они позволяют нам забраковать некоторых кандидатов еще до начала игры, на основании того, что они «недостаточно мощные». В дальнейшем, критерием «достаточной мощности» системы будет представимость в ней всех примитивно рекурсивных истин.
Важность этого понятия видна из следующего факта; если у вас есть достаточно мощная формализация теории чисел, то к ней приложим метод Гёделя — следовательно, ваша система неполна. С другой стороны, если ваша система недостаточно мощна (то есть, если не все примитивно рекурсивные истины являются ее теоремами), то она, именно в силу этого недостатка, все равно является неполной. Здесь перед нами тот же «Гантов топор», перенесенный в метаматематику: что бы система не делала, Гёделев Топор отсечет ее голову! Заметьте, что это положение дел также напоминает спор о высоком и низком качестве патефонов в «Акростиконтрапунктусе».
На самом деле оказывается, что метод Гёделя приложим даже к намного более слабым системам: критерий мощности, по которому все примитивно рекурсивные истины должны быть теоремами системы, оказывается слишком строгим. Это похоже на вора, который грабит только «достаточно богатых» людей — его жертва должна иметь в кармане по меньшей мере миллион долларов. К счастью, в случае ТТЧ, мы сможем стать такими грабителями, так как миллион у нее есть — иными словами, ТТЧ действительно содержит все примитивно рекурсивные истины в виде теорем.
Прежде чем углубиться в подробное обсуждение примитивно рекурсивных функций и предикатов, я постараюсь связать эту тему с темами предыдущих глав, чтобы дать читателю определенную перспективу.
Мы уже с самого начала столкнулись с тем, что формальные системы могут вести себя как неукротимые и опасные бестии, когда в них есть удлиняющие и укорачивающие правила, поскольку это может привести к бесконечному поиску среди строчек. Открытие Гёделевой нумерации показало, что у любого поиска строчки с определенным типографским свойством есть арифметический кузен: изоморфный поиск целого числа с соответствующим арифметическим свойством. Следовательно, чтобы найти разрешающий алгоритм для формальных систем, необходимо решить проблему непредсказуемо длинного поиска — хаоса — среди строчек. Возможно, что в «Арии с различными вариациями» я преувеличил хаос в задачах о целых числах. В действительности, математикам удалось укротить гораздо худшие случаи кажущегося хаоса, чем проблема «интересности»; в конце концов, все они оказались довольно милыми зверями. Нерушимая вера Ахилла в регулярность и предсказуемость чисел достойна немалого уважения по крайней мере потому, что она отражает взгляды, которых придерживались почти все математики до 1930-х годов. Чтобы показать, почему противопоставление порядка и хаоса такая деликатная и важная тема, и связать ее с вопросом о местоположении и извлечении значения, я хотел бы процитировать здесь замечательный и памятный отрывок из диалога «Реальны ли числа?» написанного в Галилеевом стиле покойным Ж. М. Джочем (J.M. Jauch. Are quanta real?):
САЛВИАТИ: Представьте, что я даю вам два ряда чисел, например:
7 8 5 3 9 8 1 6 3 3 9 7 4 4 8 3 0 9 6 1 5 6 6 0 8 4 …
и
1, -1/3, +1/5, -1/7, +1/9, -1/11, +1/13, -1/15, …
Если бы я спросил вас, СИМПЛИЦИО, какое следующее число в первом ряду, что бы вы сказали?
СИМПЛИЦИО: Я бы не мог ответить. На мой взгляд, это случайный набор чисел, и в нем нет никакого закона.
САЛИВИАТИ: А как насчет второго ряда?
СИМПЛИЦИО: Это проще простого. Следующим числом будет +1/17.
САЛВИАТИ: Верно. Но что бы вы сказали, узнав, что первый ряд также построен по закону, причем точно по такому же, какой вы только что открыли для второго ряда?
СИМПЛИЦИО: Это мне кажется маловероятным.
САЛВИАТИ: На самом деле, это так и есть, поскольку первый ряд — просто начало десятичной дроби суммы второго ряда. Она равняется π/4.
СИМПЛИЦИО: У вас в запасе всегда есть какой-нибудь математический трюк, но я не понимаю, какое отношение это имеет к абстракции и реальности.
САЛВИАТИ: Для абстракции это легко заметить. Первый ряд выглядит случайным, пока мы не разовьем с помощью абстрагирования несложный фильтр, позволяющий нам замечать простую закономерность за кажущейся хаотической абстракцией.
Именно таким образом были открыты законы природы. Явления природы предстают перед нами как хаотические, пока мы не выберем некие значительные события и абстрагируемся от мелких, незначительных обстоятельств, в которых они происходили, так что эти события становятся идеализированными. Только тогда они предстают во всем блеске своей регулярности.
САГРЕДО: Чудесная мысль! Выходит, что пытаясь понять природу, мы должны воспринимать события так, словно это сообщения, которые надо расшифровать. Каждое сообщение выглядит случайным, пока мы не найдем кода для его прочтения. Этот код принимает абстрактную форму, поскольку мы сознательно игнорируем некоторые неважные детали; таким образом, отчасти мы сами выбираем содержание сообщения. Эти неважные сигналы — что-то вроде «шумового фона», который ограничит аккуратность нашего прочтения.