дет очень большое число.[50]
Ответом на эту задачу оказывается:
635 318 657 = 1344 + 1334 = 1584 + 594
Читатель может попробовать решить аналогичную задачу для квадратов, что намного легче.
Интересно подумать, почему Харди сразу перешел к четвертой степени. В конце концов, существуют несколько других естественных обобщений уравнения:
u 3 + v 3 = x 3 + у 3
Например, можно подумать о том, как представить некое число в виде суммы двух кубов тремя различными способами:
r 3 + s 3 = u 3 + v 3 = x 3 + у 3
или использовать три различных куба:
u 3 + v 3 + w 3 = x 3 + у 3 + z 3
r 4 + s 4 + t 4 = u 4 + v 4 + w 4 = x 4 + у 4 + z 4
Однако в каком-то смысле задача Харди оказывается наиболее «математической». Возможно ли будет когда-либо запрограммировать это чувство математической эстетики?
Другой рассказ о Рамануяне взят из его биографии, написанной его соотечественником С. Р. Ранганатаном. Этот рассказ носит название «Прозрение Рамануяна» и принадлежит его товарищу по Кембриджскому университету, П. С. Махаланобису, также выходцу из Индии:
Однажды я пришел к нему в комнату, чтобы пообедать вместе. Дело было некоторое время спустя после начала Первой мировой войны. В руках у меня был экземпляр ежемесячника «Странд Магазин», в котором в то время печатались всяческие головоломки для читателей. Рамануян, стоя у плиты, размешивал что-то в кастрюльке. Я сидел у стола, листая журнал; вдруг меня заинтересовала задача об отношении двух чисел. Я забыл подробности и помню только тип задачи. Два британских офицера были расквартированы в Париже в двух различных домах на длинной улице; номера этих домов соотносились определенным образом, и задача заключалась в том, чтобы их найти. На вид проблема казалась нетрудной — пользуясь методом проб и ошибок, я нашел ответ за несколько минут.
МАХАЛАНОБИС (шутливо): Вот тут для вас задача.
РАМАНУЯН (не переставая мешать): Что за задача?
Я прочитал ему задачу.
РАМАНУЯН: Записывайте ответ (диктуя непрерывную дробь).
Первый член в дроби был равен моему ответу, остальные представляли собой следующие решения. При этом число домов на улице росло до бесконечности.
Я был поражен.
МАХАЛАНОБИС: Неужели вы решили это сразу?
РАМАНУЯН: Разумеется. Как только я услышал задачу, я сразу понял, что ответом должна быть непрерывная дробь; тогда я подумал: «Какая именно?» — и тут же увидел решение. Это было очень просто.[51]
После смерти Рамануяна Харди, как его ближайшего сотрудника, часто спрашивали, не было ли в стиле мышления Рамануяна каких-либо мистических и необычных элементов. Вот один из ответов Харди:
Меня часто спрашивают, не было ли у Рамануяна какого-нибудь особого секрета, не пользовался ли он методами иного типа, отличными от методов других математиков и было ли его мышление действительно необычным. Не могу ответить на эти вопросы с достаточной уверенностью, но лично я в это не верю. Я считаю, что все математики в основном думают примерно одинаково, и что Рамануян не являлся исключением.[52]
Здесь Харди формулирует свою собственную версию Тезиса Чёрча-Тюринга. В перифразе она звучит так:
ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ХАРДИ: На низшем уровне все математики изоморфны.
Это не приравнивает математический потенциал математиков к потенциалу общерекурсивных функций; для этого надо лишь показать, что умственные способности какого-либо одного математика не более общие, чем рекурсивные функции. Тогда, если вы принимаете Версию Харди, то вы должны принять ее для всех математиков. Далее Харди сравнивает Рамануяна с людьми, обладающими удивительной способностью к вычислениям.
Его память и его способности к вычислениям были весьма необычны, но их нельзя было назвать «ненормальными». Если ему нужно было перемножить два больших числа, он делал это обычным способом — правда, с необычной скоростью и аккуратностью — но не быстрее и не аккуратнее, чем любой другой математик, кто от природы быстро соображает и имеет опыт в вычислениях.[53]
Харди описывает то, что казалось ему выдающимися чертами интеллекта Рамануяна:
Кроме памяти, терпения и способности к вычислениям, он обладал такой способностью к обобщениям и к быстрому изменению своих гипотез и таким чувством формы, что в то время ему не было равных в его области.[54]
Те места этого отрывка, которые я выделил курсивом, кажутся мне блестящей характеристикой некоторых наиболее тонких и неуловимых черт разума вообще. Харди заключает, с некоторой грустью:
(В его трудах) не было той простоты и неизбежности, которая отличает величайшие математические открытия; они были бы более великими, если бы они были менее странными. Но зато его работы имели нечто, чего не может отрицать никто — они были глубоко и непобедимо оригинальны. Возможно, что он был бы более великим математиком, если бы его «поймали» и «приручили» в юности; он открыл бы много нового и, без сомнения, более важного. С другой стороны, он был бы менее похож на Рамануяна и более — на европейского профессора, и потеря от этого могла быть больше, чем выигрыш.[55]
По тому, как романтично говорит Харди о Рамануяне, видно, какое уважение он питал к своему индийскому коллеге.
Рис. 105. Шриниваса Рамануян и одна из его странных индийских мелодий.
Существует еще один тип людей, чьи математические способности кажутся необъяснимыми с рациональной точки зрения — так называемые «гениальные идиоты», могущие производить сложные расчеты в уме (или где бы там ни было) с быстротой молнии. Иоганн Мартин Захарий Дэйз, живший с 1824 по 1861 и работавший для нескольких европейских правительств, был выдающимся примером. Он не только мог перемножить в уме два стозначных числа, но также имел удивительное чувство количества. Он мог сказать, не считая, сколько овец на поле, сколько слов в предложении и так далее, приблизительно до 30 — в отличие от большинства из нас, имеющих это чувство примерно до 6. При этом Дэйз вовсе не был идиотом…
Я не буду пересказывать здесь множество интересных историй о «людях-калькуляторах», поскольку моя цель иная. Но мне кажется важным опровергнуть мнение, что они совершают свои расчеты при помощи неких таинственных, не поддающихся анализу методов. Хотя часто вычислительные способности таких гениев намного превосходят их способности объяснять свои результаты, иногда среди них появляется человек, наделенный и другими талантами. Из наблюдений таких людей и из работ психологов можно сделать заключение, что в голове людей-калькуляторов не происходит ничего сверхъестественного — просто их мозг совершает промежуточные действия очень быстро и уверенно, подобно умелому атлету, быстро и грациозно делающему сложные упражнения. Свои ответы они получают не благодаря мгновенному озарению (хотя субъективно некоторым из них может казаться именно так), но, как и все мы, при помощи последовательных вычислений — то есть при помощи Флупо- или Блупоподобных действий.
Одним из наиболее очевидных подтверждений того, что не существует никакого мистического «прямого телефона к Богу», является тот факт, что, по мере того как числа становятся больше, ответы становятся медленнее. Если бы ответы исходили от Бога или некоего «оракула», этого бы не происходило. Было бы интересно составить некий график, соотносящий время раздумий «человека-калькулятора» с величиной данных ему чисел и количеством требуемых операций, и вычислить по нему алгоритмы этого процесса.
Это вплотную подводит нас к усиленной стандартной версии Тезиса Чёрча-Тюринга:
ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ИЗОМОРФИЗМА: Предположим, что существует метод, при помощи которого разумное существо может разделять числа на два класса. Предположим также, что этот метод всегда приводит к ответу за конечный отрезок времени и что этот ответ — всегда один и тот же для одного и того же числа. Тогда существует некая конечная программа на Флупе (то есть, некая общерекурсивная функция), которая будет давать точно такие же ответы, как и разумное существо. Более того, мыслительный процесс и эта программа Флупа будут изоморфны в том смысле, что на каком-то уровне будет существовать соответствие между операциями выполняемыми компьютером и мозгом.
Заметьте, что здесь не только усилено заключение, но и опущено условие сообщаемости, характеризовавшее более слабую Коллективную Версию. Давайте рассмотрим эту смелую версию Тезиса.
Эта версия утверждает, что когда человеческое существо что-то вычисляет, его умственная деятельность может быть изоморфно отображена в некой программе Флупа. Это не означает, разумеется, что в мозгу действует настоящая программа Флупа, написанная на языке Флуп с командами НАЧАЛО КОНЕЦ ПРЕРВАТЬ и так далее. Это значит только то, что операции выполняются в том же порядке в каком они могли бы выполняться в программе Флупа, и что логическая структура вычислений может быть отображена во Флупе.
Чтобы эта идея имела смысл, мы должны различать уровни как в компьютере, так и в мозгу — иначе эта мысль может показаться совершенной чепухой. Предположительно, операции вычисления в наших головах совершаются на высшем уровне, опирающемся на низшие уровни и, в конечном счете, на «аппаратуру». Таким образом, говоря об изоморфизме, мы подразумеваем, что высший уровень может быть изолирован и что мы можем обсуждать происходящие там процессы независимо от того, что делается на других уровнях — и затем проимитировать этот высший уровень в программе Флупа. То