Рис. 147. Схема гексагональной модуляции Баховского Естественно Растущего Канона выглядит как настоящая Странная Петля, если использовать тональную систему Шепарда.
Однако возможно сделать так, что Канон вернется точно к началу, если использовать так называемую тональную систему Шепарда, названную в честь ее автора, психолога Роджера Шепарда. Принцип тонов Шепарда показан на рис. 148. Он заключается в том что параллельные гаммы играются в нескольких различных октавах. Каждая нота имеет собственную независимую интенсивность, по мере того, как мелодия становится выше эта интенсивность меняется. Таким образом вы добиваетесь того что высшая октава постепенно переходит в низшую. Как раз в тот момент, когда вы ожидаете оказаться на октаву выше, интенсивности изменились так, что вы оказываетесь в точности там же, где начали. Так можно «бесконечно подниматься», никогда не оказываясь выше! Можете попробовать сыграть это на пианино. Еще лучше получается, когда тона точно воспроизводятся с помощью компьютера. При этом достигается удивительно полная иллюзия.
Это замечательное музыкальное открытие позволяет сыграть Естественно Растущий Канон так что, «поднявшись» на октаву, он сливается сам с собой. Эта идея, принадлежащая мне и Скотту Киму, была приведена в исполнение с помощью компьютерной музыкальной системы и результат был записан на магнитофон. Получившийся эффект едва различим, но вполне реален. Интересно то, что сам Бах, по-видимому, в некотором роде осознавал возможность подобных гамм, поскольку в его музыке можно найти пассажи разрабатывающие приблизительно такую же идею — например в середине «Фантазии из органной „Фантазии и фуги в соль миноре“».
Ханс Теодор Давид своей книге «„Музыкальное приношение“ И. С. Баха» (Hans Theodore David «J.S. Bach's „Musical Offering“») пишет:
На всем протяжении Музыкального приношения читатель, исполнитель или слушатель должен искать Королевскую тему во всех ее формах. Таким образом все это произведение — ricercar в первоначальном буквальном смысле слова.[91]
Я думаю, что это верно, — мы никогда не можем достаточно глубоко заглянуть в «Музыкальное приношение». Когда мы думаем, что поняли его полностью, мы обнаруживаем в нем нечто новое. Например, в конце того самого «Шестиголосного ричеркара», который Бах отказался импровизировать, он искусно запрятал собственное имя, разделенное между двумя верхними голосами. В «Музыкальном приношении» множество уровней, там можно найти игру с нотами и буквами, хитроумные вариации на Королевскую тему, оригинальные типы канонов, удивительно сложные фуги, красоту и крайнюю глубину чувства, в нем даже присутствует наслаждение многоуровневостью произведения. «Музыкальное приношение» — это фуга фуг, Запутанная Иерархия, подобная Запутанным Иерархиям Эшера и Геделя интеллектуальная конструкция, напоминающая мне о прекрасной многоголосной фуге человеческого разума. Именно поэтому Гедель, Эшер и Бах сплетены в моей книге в эту Бесконечную Гирлянду.
Рис. 148. Два полных цикла тональных гамм Шепарда в нотации для рояля. Громкость каждой ноты пропорциональна её местонахождению: в тот момент, когда верхний голос сходит на нет, очень тихо вступает новый нижний голос. (Напечатано с помощью программы Дональда Бирна «СМУТ»).
Шестиголосный Ричеркар
Ахилл пришел со своей виолончелью в гости к Крабу, чтобы принять участие в вечере камерной музыки с Крабом и Черепахой. Проводив Ахилла в музыкальную комнату, Краб на минуту отлучился, чтобы открыть дверь их общему другу, Черепахе Тортилле. Комната полна всяческого электронного оборудования: патефоны, целые и разобранные, телевизионные экраны, подключенные к пишущим машинкам, и другие приспособления и аппараты весьма странного вида. Среди всех этих хитроумных устройств стоит обыкновенный телевизор. Поскольку это единственная вещь в комнате, которой Ахилл умеет пользоваться, он крадучись подходит к телевизору и, воровато оглянувшись на дверь, начинает нажимать на кнопки. Вскоре он находит программу, где шесть ученых обсуждают свободу воли и детерминизм. Он смотрит пару минут и затем, презрительно усмехнувшись, выключает телевизор.
Ахилл: Я вполне могу обойтись без такой программы. В конце концов, всякому, кто когда-либо об этом думал, ясно… Я имею в виду, что это совсем нетрудный вопрос, как только вы понимаете, как его разрешить… Скорее, концептуально это все можно разъяснить, если иметь в виду, что… или, по крайней мере, представляя себе ситуацию, в которой… Гммм… Я-то думал, что мне все это вполне ясно. Пожалуй, эта передача все же могла бы оказаться полезной.
(Входит Черепаха со скрипкой.)
А вот и наша скрипачка! Усердно ли вы занимались на этой неделе, г-жа Ч? Я играл по меньшей мере два часа в день — разучивал партию виолончели в «Трио-сонате» из «Музыкального приношения» Баха. Это суровый режим, но он приносит плоды: как у нас, воинов, говорится: трудно в учении — легко в бою!
Черепаха: Я вполне могу обойтись без такой программы. Несколько минут упражнений в свободное время — это все, что мне нужно, чтобы быть в форме!
Ахилл: Везет же некоторым! Хотел бы я, чтобы музыка давалась мне так же легко… Но где же сам хозяин?
Черепаха: Наверное, пошел за флейтой. А вот и он!
(Входит Краб с флейтой.)
Ахилл: Знаете, м-р Краб, когда я на прошлой неделе так ревностно разучивал «Трио-сонату», у меня в голове всплывали самые странные картины: весело жующие шмели, меланхолически жужжащие коровы и масса всяких других зверей. Не правда ли, какая могучая сила заключена в музыке?
Краб: Я вполне могу обойтись без такой программы. На мой взгляд, нет музыки серьезнее, чем «Музыкальное приношение».
Черепаха: Вы, наверное, шутите, Ахилл? «Музыкальное приношение» — вовсе не программная музыка!
Ахилл: Просто я люблю животных, что бы вы, консерваторы, не говорили.
Краб: Не думаю, что мы такие уж консерваторы — разве что вы имеете в виду страсть г-жи Ч к домашнему консервированию… Мы хотели сказать лишь то, что у вас особое восприятие музыки.
Черепаха: Как насчет того, чтобы начать играть?
Краб: Я ожидал, что к нашей компании присоединится мой друг-пианист — я давно хотел вас с ним познакомить, Ахилл. К сожаленью, кажется, сегодня ничего не получится. Придется нам играть втроем — этого вполне достаточно для «Трио-сонаты».
Ахилл: Прежде, чем мы начнем, г-н Краб, не могли бы вы удовлетворить мое любопытство? Что это здесь за аппаратура?
Краб: Это так, пустяки, — части от старых, сломанных патефонов. (Нервно барабаня по кнопкам.) Несколько сувениров, оставшихся от моих сражений с Черепахой, в которых я весьма отличился. Взгляните лучше вон на те экраны с клавиатурой — это мое последнее увлечение. У меня их пятнадцать штук. Это новый тип компьютера, компактный и гибкий — большой прогресс по сравнению с прежними моделями. Почти никто не относится к ним с таким энтузиазмом, как я, но мне кажется, что у них большое будущее.
Ахилл: Как они называются?
Краб: Я называю их «умно-глупыми», поскольку они так гибки, что могут быть и умными, и глупыми, в зависимости от того, насколько мастерски составлена их программа.
Ахилл: Вы думаете, что они могут быть так же умны, как человек?
Краб: Не сомневаюсь — если бы только нашелся какой-нибудь эксперт в искусстве программирования умно-глупых, который согласился бы над этим потрудиться. К сожалению, лично я не знаком с подобными виртуозами. Вернее, об одном я слышал, но он здесь не живет. Ах, как бы мне хотелось с ним познакомиться! Тогда бы я смог увидеть своими глазами, что такое настоящее искусство обращения с умно-глупыми; но он никогда не посещал наши места, и не знаю, испытаю ли я когда-нибудь это удовольствие.
Черепаха: Было бы интересно сыграть партию в шахматы с хорошо запрограммированным умно-глупым.
Краб: Весьма занимательная идея. Запрограммировать умно-глупого на хорошую игру в шахматы было бы признаком настоящего мастерства Еще более интересным, хотя и невероятно сложным делом было бы запрограммировать умно-глупого таким образом, чтобы тот мог поддерживать беседу. Тогда могло бы показаться, что разговаривает человек!
Ахилл: Интересно, что вы об этом заговорили, я только что слышал дискуссию о свободной воле и детерминизме, которая заставила меня снова задуматься над этими вопросами. Честно признаюсь, что чем больше я над этим размышлял, тем хуже запутывался; в конце концов, у меня в голове образовалась такая каша, что я уже сам не понимал, о чем думал. Но эта идея о том, что умно-глупые могут разговаривать… она меня пугает. Интересно, что ответил бы умно-глупый, если бы его спросили, что он думает о свободной воле и детерминизме? Не согласитесь ли вы, знатоки подобных вещей, просветить меня на этот счет?
Краб: Ахилл, вы не представляете, насколько к месту пришелся ваш вопрос. Хотел бы я, чтобы мой друг пианист был здесь — уверен, что вам было бы интересно послушать то, что он мог бы вам по этому поводу рассказать. Но, поскольку его нет, позвольте мне процитировать вам кое-что из последнего Диалога книги, на которую я недавно наткнулся.
Ахилл: Случайно, не «Медь, серебро, золото — этот неразрушимый сплав»?
Краб: Нет, насколько я помню, она называлась «Гориллы, эму, бабуины — эти буйные гости» или что-то в этом роде. Так или иначе, в конце этого Диалога некий престранный тип цитирует высказывание Марвина Минского о свободе воли. Вскоре после этого, разговаривая с двумя другими героями, он снова приводит мнение Минского, на этот раз о музыкальной импровизации, компьютерном языке ЛИСП и теореме Гёделя — причем проделывает все это, ни разу не ссылаясь на самого Минского!
Ахилл