ое им утверждение «противно самому понятию прямой линии». Это, как ему показалось, было именно тем, чего он так долго искал — желанным противоречием! Сразу после этого, незадолго до смерти, Саккери опубликовал свой труд под названием «Эвклид, освобожденный от недостатков».
Этим он лишил себя большей доли посмертной славы, так как не подозревал, что открыл то, что стало позже известно под именем «гиперболической геометрии». Через пятьдесят лет после Саккери, Ж. Г. Ламберт повторил ту же попытку, на этот раз подойдя еще ближе к цели. Наконец, через сорок лет после Ламберта и через пятьдесят лет после Саккери, неэвклидова геометрия была признана как новая, полноправная область геометрии. На доселе прямой дороге математики появилась развилка. В 1928 году неэвклидова геометрия одновременно, по одному из необъяснимых совпадений, была открыта венгерским математиком Яношем (Иоганном) Больяйем, которому тогда был двадцать один год, и тридцатилетним русским, Николаем Лобачевским. По иронии судьбы, в том же году великий французский математик Адриен-Мари Лежандр решил, что он нашел доказательство пятого постулата Эвклида. Его рассуждения весьма напоминали рассуждения Саккери.
Кстати, отец Яноша, Фаркаш (или Волфганг) Больяй, близкий друг великого Гаусса, также вложил много сил в попытку доказать Пятый постулат. В письме к своему сыну он пытался отговорить того от подобных занятий:
Не пытайся пробовать этот подход к параллельным линиям. Я прошел этот путь до самого конца. Я пережил эту бездонную ночь, погасившую всякий свет и радость в моей жизни. Молю тебя, оставь науку о параллельных прямых в покое. Я думал, что жертвовал собой во имя истины. Я был готов стать мучеником, который освободил бы геометрию от ее недостатков и, очищенную, возвратил бы ее человечеству. Я предпринял огромный, чудовищный труд; мои создания — неизмеримо лучше, чем у моих предшественников. И все же я не смог добиться полного удовлетворения. Поистине, si paullum a summo discessit, vergit ad imum . Убедившись, что ни один смертный не может достичь дна этой темной бездны, я повернул обратно, безутешный, жалея себя и все человечество… Я проплыл мимо всех рифов этого дьявольского мертвого моря, всегда возвращаясь со сломанной мачтой и разодранными в клочья парусами. Именно в это время у меня испортился характер и в жизни моей началась осень. Я легкомысленно поставил на карту мое счастье и саму мою жизнь — aut Caesar aut nihil.[9]
Однако позже, убежденный, что его сын действительно чего-то достиг, Фаркаш настоятельно советовал ему опубликовать свои результаты, правильно предвидя такую частую в науке проблему одновременности:
Когда для определенных вещей пришло время, они появляются в разных местах, подобно тому, как фиалки появляются на свет ранней весной.[10]
Насколько верным это оказалось в случае с неэвклидовой геометрией! В Германии сам Гаусс и еще несколько человек одновременно набрели на неэвклидовы идеи. Среди них были адвокат Ф. К. Швайкарт, который в 1818 году послал Гауссу письмо с описанием новой «астральной» геометрии, племянник Швайкарта Ф. А. Тауринус, который занимался неэвклидовой тригонометрией и Ф. Л. Вахтер, студент Гаусса, который умер в 1817 году в возрасте двадцати пяти лет, успев получить несколько глубоких результатов в неэвклидовой геометрии.
Ключом к неэвклидовой геометрии являлось «принятие всерьез» постулатов, на которых основаны такие геометрии как геометрия Саккери или Ламберта. Постулаты Саккери кажутся «отвратительными самой природе понятия прямой линии» только в том случае, если вы не можете освободиться от предвзятого мнения о том, что называть «прямой линией». Однако если вы можете отказаться от подобных идей и считать, что «простая линия» — это то, что удовлетворяет новым постулатам, то ваша точка зрения радикально изменится.
Эти рассуждения, вероятно, уже начинают звучать знакомо. В частности, они возвращают нас к теме системы pr и ее варианта, где символы приобретали пассивное значение, зависящее от их роли в теоремах. Особенно интересен был символ r, поскольку его «значение» изменилось, когда мы прибавили новую схему аксиом. Совершенно так же значения понятий «точка», «линия» и т. д. могут определяться множеством теорем (или постулатов), в которых они встречаются. Очень важно, что открыватели неэвклидовой геометрии это осознали. Они нашли различные неэвклидовы геометрии, по-разному отрицая пятый постулат Эвклида и изучая последствия этого. Строго говоря, они (как и Саккери) не отрицали пятого постулата прямо; вместо этого они отрицали эквивалентный, так называемый параллельный постулат:
Через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, не пересекающуюся с первой прямой, сколько бы мы их не продолжали.
В таком случае мы говорим, что вторая линия параллельна первой. Предполагая, что таких линий вообще не существует, вы входите в область эллиптической геометрии; утверждая же, что таких прямых существует по крайней мере две, вы оказываетесь в гиперболической геометрии. Говоря об этих вариантах, мы все еще используем термин «геометрия» поскольку в них присутствует основной элемент — абсолютная геометрия или геометрия четырех постулатов. Именно это «ядро» позволяет нам считать, что эти варианты — описания свойств некого геометрического пространства, хотя это пространство не так легко интуитивно представить, как обычное.
На самом деле, эллиптическую геометрию нетрудно представить зрительно. Все «точки», «линии» и т. д. должны быть частью поверхности обыкновенной сферы. Давайте условимся писать «ТОЧКА» когда имеется в виду технический термин, и «точка» — когда речь идет о повседневном значении. Мы можем сказать что ТОЧКА состоит из пары диаметрально противоположных точек на поверхности сферы. ЛИНИЯ — это большой круг на сфере (круг, центр которого, как и центр экватора, совпадает с центром самой сферы). В этой интерпретации утверждения эллиптической геометрии, хотя и содержат такие слова как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ», описывают происходящее на сфере, а не на плоскости. Обратите внимание, что две ЛИНИИ всегда пересекаются в диаметрально противоположных точках — а значит, в одной ТОЧКЕ! И, точно так же как две ЛИНИИ определяют ТОЧКУ, две ТОЧКИ определяют ЛИНИЮ.
Считая, что значения таких слов как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ» полностью зависят от утверждений, в которых эти слова встречаются, мы делаем шаг к полной формализации геометрии. Эта полуформальная версия еще употребляет множество слов русского языка в их обыденном значении («и», «если», «имеет», «соединяет» и т. п.), однако такие слова как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ» своего обыденного значения здесь лишены — поэтому мы называем их неопределяемые понятия. Неопределяемые понятия, такие как p и r системы pr, в каком-то смысле определены косвенно, — совокупностью всех утверждений, в которых они встречаются, — скорее чем прямо, в некоем определении.
Можно было бы утверждать, что полное определение неопределяемых понятий находится только в постулатах, так как там уже содержатся все вытекающие из них утверждения. Подобная точка зрения означала бы, что постулаты являются косвенными определениями всех неопределяемых понятий, поскольку те получают определение через какие-либо другие понятия.
Полная формализация геометрии означала бы, что каждый термин превратился бы в неопределяемое понятие, то есть стал бы «бессмысленным» символом какой-либо формальной системы. Я заключил слово «бессмысленный» в кавычки, поскольку, как вы знаете, символы автоматически приобретают различные пассивные значения, зависящие от теорем, в которых эти символы встречаются. Однако обнаружат ли люди эти значения — это уже другой вопрос, так как для этого необходимо найти такое множество понятий, которое может быть связано изоморфизмом с символами данной формальной системы. По идее, желая формализовать геометрию, мы обычно уже имеем в виду определенную интерпретацию для каждого символа, так что пассивные значения оказываются уже встроенными в систему. Именно это я и сделал с символами p и r, когда придумывал систему pr.
Но ведь могут существовать и другие пассивные значения, которые, в принципе, возможно подметить — только до сих пор еще никто этого не сделал! Например, первоначальная система pr допускала довольно неожиданную интерпретацию r как «равняется» и p как «отнятое от». Хотя это довольно тривиальный пример, он неплохо передает суть идеи о том, что символы могут иметь множество значимых интерпретаций; искать их — дело наблюдателя!…
Все, что мы до сих сказали, может быть сведено к понятию «непротиворечивости». Мы начали с введения формальной системы, которая, на первый взгляд, не только находилась в противоречии с внешним миром, но и имела внутренние противоречия. Однако через несколько минут нам пришлось взять эти «обвинения» обратно и признать свою ошибку; оказывается, дело было в том, что мы выбрали неудачную интерпретацию для символов системы. Изменив интерпретацию, мы вернули системе ее непротиворечивость! Становится ясно, что непротиворечивость — не свойство формальных систем как таковых, но зависит от интерпретации, предложенной для данной системы. Совершенно так же не является свойством формальных систем как таковых и противоречивость.
Все это время мы говорили о «непротиворечивости» и «противоречивости», не давая определений этим понятиям. При этом мы опирались на старый добрый здравый смысл. Давайте теперь точно определим, что имеется в виду под непротиворечивостью формальной системы (вместе с ее интерпретацией). Это означает, что каждая теорема, будучи интерпретирована, становится истинным утверждением. С другой стороны, если среди интерпретированных теорем найдется хоть одно ложное утверждение, мы говорим о