Черепаха: Ну вот, вы снова заговорили о г-же Логике и ее великих принципах… Будьте так любезны, увольте — хотя бы на сегодня.
Ахилл: Г-жа Черепаха, у меня уже черепушка трещит от всего этого. Признайтесь, что вы немного сжульничали…
Черепаха: Пожалуйста, не обвиняйте меня в собственных грехах, кто из нас хотел соединить два высказывания с помощью «и».Мне кажется, я только следовала вашим пожеланиям — и какова же ваша благодарность? Ну и молодежь нынче пошла…
Ахилл: Ну вот, я же и виноват. Ведь я хотел, как лучше…
Черепаха: Добрыми намерениями, мой юный друг, вымощена дорога в преисподнюю…
Ахилл: Я чувствую себя ужасно…
Черепаха: Я отлично понимаю, куда вы клонили: вы хотели заставить меня принять за истинную фразу «Мой панцирь зеленый и мой панцирь не зеленый». О, создатель!… Какая страшная ложь, и как она противна черепашьему духу!
Ахилл: Умоляю вас простить меня, дурака… Честное слово, у меня и в мыслях не было вас обидеть.
Черепаха: Ничего, мой друг — мы, черепахи, привыкли к людской бестактности. Я ценю вашу компанию, Ахилл, пусть ваши мысли и не так кристально ясны, как у созданий нашей хладнокровной породы.
Ахилл (вздыхая): Надеюсь, что для меня еще не все потеряно — хотя я, наверняка, сделаю еще немало ложных шагов на пути к истине…
Черепаха: Мужайтесь, Ахилл. Может быть, наша сегодняшняя беседа вам поможет… Кстати, не забудьте отдать мне ту фигу, что вы мне принесли. Хоть она и зеленая, все равно пригодится!
Ахилл: Вот, возьмите.
Черепаха: Что ж, до скорого, мой друг.
Ахилл: До скорого.
ГЛАВА VII: Исчисление Высказываний
ПРЕДЫДУЩИЙ ДИАЛОГ напоминает «Двухголосную инвенцию» Льюиса Кэрролла. В обоих диалогах Черепаха отказывается использовать обычные повседневные слова в их обычном повседневном значении — по крайней мере, когда ей это невыгодно. В предыдущей главе был предложен один из возможных взглядов на парадокс Кэрролла. В этой главе мы проделаем при помощи символов то, что Ахиллу не удалось проделать словами. Иными словами, мы построим такую формальную систему, один из символов которой будет действовать так, как Ахилл хотел заставить действовать Черепахино «и»; другой символ будет вести себя так, как должны были вести себя слова «если… то…». Кроме того, мы будем иметь дело со словами «или» и «не». Рассуждения, зависящие исключительно от правильного употребления этих четырех слов, называются пропозициональными рассуждениями.
Я буду представлять эту новую формальную систему, называемую исчислением высказываний, в форме загадки, объясняя сначала лишь часть и предоставляя читателю догадываться о некоторых вещах самому. Начнем со списка символов:
<>
P Q R '
Λ V э ~
[ ]
(прим. символ «э» заменяет символ импликации «superset of»)
Первое правило нашей системы таково:
ПРАВИЛО ОБЪЕДИНЕНИЯ: Если x и у — теоремы системы, то строчка <xΛy> — тоже теорема.
Это правило соединяет две теоремы в одну. Оно должно напомнить вам о предыдущем Диалоге.
У нас будет еще несколько правил вывода; вскоре я их объясню. Однако сначала необходимо определить некое подмножество всех строчек, а именно — правильно сформированные строчки. Они будут определены рекурсивным путем, начиная с атомов. АТОМЫ: P, Q, и R называются атомами. Новые атомы получаются путем добавления штрихов справа от старых атомов, таким образом, получаются R', Q'', R''' и т. д. Это дает нам бесконечные ресурсы атомов. Все атомы правильно сформированы.
Далее, у нас имеются четыре рекурсивных правила.
ПРАВИЛА ОБРАЗОВАНИЯ: Если x и у правильно сформированы, то следующие четыре строчки также правильно сформированы.
(1) ~x
(2) <xΛy>
(3) <x V y>
(4) <x э y>
Например, все следующие строчки правильны:
P атом
~P по правилу (1)
~~P по правилу (1)
Q' атом
~Q' по правилу (1)
<PΛ~Q'> по правилу (2)
~<PΛ~Q'> по правилу (1)
<~~P э Q'> по правилу (4)
<~<PΛ~Q'>V<~~P э Q'>> по правилу (3)
Последняя строчка может показаться весьма сложной, но на самом деле, она построена всего лишь из двух компонентов — двух предыдущих строчек. Каждая из них, в свою очередь, построена из предыдущих строчек… и так далее. Происхождение любой правильно сформированной строчки может быть прослежено до ее элементарных составляющих — атомов. Для этого вы просто применяете правила в обратном порядке до тех пор, пока это возможно. Этот процесс рано или поздно должен кончиться, поскольку каждое правило вывода — удлиняющее правило; идя в обратном порядке, мы непременно дойдем до атомов.
Таким образом, метод разложения строчек служит проверкой их правильности. Это — нисходящая процедура разрешения для правильно-сформированности. Можете проверить, как вы поняли эту процедуру, найдя, какие из ниже приведенных строчек правильно сформированы:
(1) <P>
(2) <~P>
(3) <PΛQΛR>
(4) <PΛQ>
(5) <<PΛQ>Λ<Q~ΛP>>
(6) <PΛ~P>
(7) <<P V<Q э R>>Λ<~P V ~R'>>
(8) <PΛQ>Λ<QΛP>
(Ответ. Те строчки, номера которых являются числами Фибоначчи, сформированы неправильно; остальные — правильно.)
Сейчас мы познакомимся с остальными правилами вывода, при помощи которых строятся теоремы системы. Во всех этих правилах символы «x» и «y» всегда относятся к правильно сформированным строчкам.
ПРАВИЛО РАЗДЕЛЕНИЯ: Если <xΛy> — теорема, то и x и у — также теоремы.
Вероятно, вы уже догадались, что значит символ «Λ». (Подсказка: это то самое слово, что причинило столько проблем в Диалоге.) Из следующего правила вы сможете вывести значение тильды («~»):
ПРАВИЛО ДВОЙНОЙ ТИЛЬДЫ: Строчка «~~» может быть выброшена из любой теоремы. Она также может быть вставлена в любую теорему, если при этом получается правильно сформированная строчка.
Эта система отличается тем, что в ней нет аксиом — одни лишь правила. Вспомнив наши предыдущие формальные системы, вы можете спросить: как же здесь могут вообще существовать теоремы? Откуда они появляются? Ответом является правило, фабрикующее теоремы «из воздуха» — оно не требует ввода «старых теорем». (Остальные правила, наоборот, нуждаются во вводных данных.) Это правило называется «правилом фантазии.» Почему я его так окрестил? Ответ прост.
Чтобы использовать это правило, вы должны записать любую приглянувшуюся вам правильно сформированную строчку x, и затем спросить себя: что бы произошло, если строчка x действительно оказалась бы аксиомой или теоремой? После чего вы предлагаете системе ответить на этот вопрос; это значит, что вы начинаете вывод, используя x как первую строчку. Пусть у будет последней строчкой. От x до у включительно все является фантазией; x — посылка фантазии, а у — ее результат. Следующий шаг — выход из области фантазии; мы узнали, что
Если бы x являлось теоремой, то у также являлось бы теоремой.
Вы можете спросить: «Где же здесь настоящая теорема?» Это строчка:
<x э y>
Обратите внимание на то, как эта строчка напоминает предложение, напечатанное выше.
Чтобы отметить вход и выход в область фантазии, мы будем использовать квадратные скобки «[» и «]», соответственно. Таким образом, увидев левую квадратную скобку, вы будете знать, что вы «проталкиваетесь» в область фантазии, и следующая строчка будет посылкой. Увидев правую квадратную скобку, вы будете знать, что вы «выталкиваетесь» обратно из воображаемого мира, и что предыдущая строчка была результатом. Удобно (хотя и не необходимо) начинать те строчки вывода, что относятся к области фантазии, с нового абзаца.
Ниже приводится иллюстрация правила фантазии в действии. Строчка P служит посылкой. (На самом деле, P не является теоремой, но для нас это не важно — мы просто задаем вопрос «а что, если бы она была теоремой?») Мы воображаем следующее:
[ проталкивание в область фантазии
P посылка
~~P результат (по правилу двойной тильды)
] выталкивание из области фантазии
Наша фантазия показывает, что:
если бы P было теоремой, ~~P также было бы теоремой.
Теперь мы постараемся «затолкать» это высказывание русского языка (метаязык) в рамки формальной нотации (предметный язык): <P э ~~P>. Таким образом, наша первая теорема исчисления высказываний должна подсказать вам интерпретацию символа «э».
Вот еще один пример вывода с помощью правила фантазии:
[ проталкивание в область фантазии
<PΛQ> посылка
P отделение
Q отделение
<QΛP> соединение
] выталкивание из области фантазии
<<PΛQ>э<QΛP>> правило фантазии
Необходимо помнить, что только последняя строчка здесь является настоящей теоремой; все остальное — чистая фантазия.
Как вы могли догадаться из рекурсивной терминологии («проталкивание» и «выталкивание»), правило фантазии может быть использовано рекурсивно — так что могут существовать фантазии внутри фантазий, фантазии, вложенные друг в друга три раза, и так далее. Это означает, что для этого правила существуют различные уровни реальности, так же как и во вставленных друг в друга рассказах или фильмах. Когда вы выталкиваетесь из фильма, вставленного внутрь другого фильма, на мгновение вам кажется, что вы достигли реального мира, хотя вас все еще отделяет от него один