В то время как Гёдель наслаждался плодами растущего академического престижа, политическая ситуация в Вене становилась всё более сложной. После того как Адольф Гитлер пришел к власти, он объявил о своем намерении сделать Австрию частью Германии. С этой целью он начал политическое и военное давление на соседнюю страну. В 1931 году он потребовал, чтобы нацистская партия, которая в Австрии была запрещена, получила признание и вошла в состав правительства. Однако на выборах в Австрии в апреле 1932 года нацисты не одержали ожидаемой победы, так что перешли в оппозицию и прибегли к террористическим методам. Произошла серия терактов, убийств высокопоставленных лиц и попыток государственного переворота, которые к 1937 году привели Австрию к угрозе гражданской войны.
Насколько известно, первые годы этой бурной политической жизни особо не затронули Гёделя, который без перерывов продолжал свои исследования и поездки в США. Но 22 июня 1936 года Мориц Шлик, один из его наставников и основатель Венского кружка, был убит. Когда Гёдель узнал об этом, у него случился новый нервный срыв, на восстановление после которого потребовалось несколько месяцев. В том году ученый снова должен был отправиться в США, но поездку пришлось отменить. Гёдель не смог возобновить научную работу до 1937 года.
В феврале 1938 года Гитлер выдвинул ультиматум: Австрия должна добровольно присоединиться к Третьему рейху, или ее присоединят силой. После многочисленных споров, во время которых дважды сменилось правительство, в марте был проведен референдум о присоединении к Германии. Голосование не было секретным; бюллетень с отметкой принимал офицер СС, который и помещал его в урну. При таких обстоятельствах неудивительно, что за присоединение к Германии проголосовало более 99% избирателей, после чего 12 марта Австрия стала провинцией нацистской Германии (это событие было названо аншлюсом, что по-немецки означает "присоединение" или "аннексия").
Нацисты сразу же реформировали австрийскую университетскую систему, после чего некоторые интеллектуалы, включая Гёделя, остались без работы. Однако это не помешало ему в сентябре 1938 года заключить брак с Адель Поркерт, разведенной танцовщицей на шесть лет старше его, с которой Гёдель познакомился в 1927 году. Возможно, брак был первым шагом, необходимым для эмиграции, о которой Гёдель уже думал.
Адель и Курт были очень крепкой, любящей парой, хотя они и не демонстрировали публично нежность друг к другу.
Важно искать непротиворечивые доказательства, хотя любое непротиворечивое доказательство относительно в том смысле, что мы не можем доверять ему больше, чем доверяем той логической системе, в рамках которой развивается это непротиворечивое доказательство.
Уиллард ван Орман Куайн. "С точки зрения логики"
В 1938 и 1939 годах Гёдель вновь посетил Институт перспективных исследований, где, кроме проведения обычных курсов и лекций, постарался завязать необходимые контакты, чтобы подготовиться к вступлению в должность профессора этого института, если ему придется покинуть Австрию. После второй поездки в Вене на него напала группа ультраправых студентов, которых, как говорится в популярной истории, его супруга отогнала ударами зонтика.
Давление на Гёделя усиливалось, этот независимый интеллектуал раздражал нацистов, и в конце концов в октябре 1939 года он был включен в черный список. Это официально подчеркивало статус безработного, а при нацистском режиме безработные почти автоматически призывались в армию. Действительно, через некоторое время Гёдель получил приказ о призыве. Единственно возможным выходом для Курта и Адели стало бегство в США (как и для многих европейских ученых того времени, включая Альберта Эйнштейна и Джона фон Неймана).
Война между Германией, Францией и Англией к тому времени уже началась, так что Гёделю и его супруге пришлось ехать в США самым долгим путем, через Россию, Японию и Тихий океан. Гёдель прибыл в Институт перспективных исследований в 1940 году и благодаря заранее установленным контактам сразу вступил в должность приглашенного профессора. В 1946 году он вошел в состав ученых института на постоянной основе, а в 1948-м — получил американское гражданство.
Ученый так и не вернулся ни в Австрию, ни в Чехословакию. Годы спустя Венский университет предлагал ему должности и почести, но он не принял их.
Г итлер приветствует жителей Вены в связи с присоединением Австрии к нацистской Германии, март 1938 года.
Адель Поркерт и Курт Гёдель в день свадьбы, сентябрь 1938 года.
Немецкий математик Давид Гильберт в 1930-е годы. Созданная им программа стремилась поставить математику на прочные логические основания.
Прежде чем последовать за Гёделем в Принстон, вернемся в сентябрь 1930 года и восстановим образ юноши, который скромно поднял руку на конгрессе в Кёнигсберге, чтобы провозгласить первую теорему о неполноте.
Естественный вопрос, который мы еще не формулировали, состоит в следующем: после десяти лет разработки своей программы, размышлений и трудов сдался ли Гильберт без борьбы? Не пытался ли он оспорить рассуждения Гёделя? Правда состоит в том, что доказательство Гёделя было принято мгновенно и единодушно всеми, включая Гильберта, поскольку Гёдель не только очень хорошо продумал доказательство, но и был очень осторожен в способе его представления.
Как мы уже сказали, в программе Гильберта принимались только те доказательства, которые можно проверить алгоритмически, и к сентябрю 1930 года это ограничение принимали все математики, включая интуиционистов, которые, по словам Аренда Гейтинга, "примут с распростертыми объятиями" бесконечность, если только доказательства будут соответствовать этому критерию.
И так же, как Гильберт в свое время внес предложение с расчетом на то, чтобы убедить интуиционистов, Гёдель изложил доказательство первой теоремы о неполноте так, чтобы было очевидно, что ее правильность можно проверить алгоритмически и что она удовлетворяет условиям программы Гильберта. Даже Гильберт не смог выразить сомнений по этому поводу.
Как хорошо известно, прогресс математики в отношении каждый раз все большей точности привел к [...] тому, что рассуждения можно осуществить на основе небольших механических правил.
Курт Гёдель, введение к "О формально неразрешимых предложениях... " (1931)
Как Гёдель сделал очевидным, что доказательство его теоремы проверяется компьютером? Он прибегнул к "семантикосинтаксическому дуализму".
В математической логике понятие, связанное с последовательностью символов, считается синтаксическим, если оно зависит только от символов, образующих эту последовательность, при этом неважно его значение, если оно вообще существует.
Например, если мы утверждаем, что последовательность букв Кипа mbwa nyekundu образована 18 символами (считая пробелы), мы говорим о синтаксическом понятии. Действительно, нашу правоту легко проверить с помощью простого подсчета символов, и нас не интересует, есть ли в этом ряду букв какой- то смысл. Другие примеры синтаксических понятий: "первая буква — /С" или "здесь нет буквы А".
Наоборот, если понятие семантическое, оно зависит от значения, которое передает последовательность. Например, если мы говорим, что Кипа mbwa nyekundu истинно, то ясно, что мы говорим о семантическом понятии, потому что не можем сказать, является оно "истинным" или "ложным", если предварительно не узнаем, какое значение заложено в этой последовательности букв (если оно там есть).
На самом деле смысл в высказывании есть: Кипа mbwa nyekundu на суахили означает "бывают красные собаки" (см. рисунок). Теперь мы можем задаться вопросом, истинно предложение или ложно, но все равно ответ дать непросто. Ведь что такое красная собака? Она должна была родиться со шкурой такого цвета или ее могли покрасить позже? Уж не говоря о том, что люди воспринимают цвета по-разному. Целью всех этих рассуждений является пояснение: синтаксические аспекты языка прозрачны, а вот семантические — связаны с путаницей и парадоксами. В соответствии с этой идеей основная предпосылка программы Гильберта состояла в требовании того, чтобы справедливость семантических аспектов математики контролировалась синтаксическими методами. Синтаксис, ясный и не вызывающий сомнений, должен был ограничивать семантику, грозящую парадоксами.
Свойство, относящееся к предложению, называют синтаксическим, если оно зависит только от самих символов, независимо от их значения (например, количество букв в предложении).
Оно является семантическим, если зависит от значения (например, утверждение об истинности или ложности предложения). Синтаксические свойства проверяются механически; семантические — нет.
Итак, Курт Гёдель представил доказательство первой теоремы о неполноте таким образом, что всем было очевидно: ее можно проверить с помощью компьютера. Он изложил свое высказывание и каждый шаг доказательства теоремы, апеллируя только к синтаксическим понятиям.
В предыдущей главе мы сформулировали первую теорему Гёделя о неполноте (теорему Гёделя) следующим образом.
Если выбрать в качестве аксиом любое множество истинных арифметических высказываний и требовать, чтобы доказательства, которые получены на их основе, могли быть проверены алгоритмически, то будет по крайней мере одно истинное высказывание, которое не может быть доказано на основе этих аксиом.
В этой формулировке теоремы появляется семантическое понятие истинности. Поэтому Гёдель представил его в статье 1931 года не в такой форме. Формулировка Гёделя аналогична, но записана с помощью только синтаксических понятий.
Определим синтаксические понятия, которыми пользовался Гёдель, и переформулируем первую теорему о неполноте.
Для начала скажем, что "являться доказательством, соответствующим требованиям программы Гильберта" — это синтаксическое свойство, поскольку его можно проверить с помощью компьютера посимвольно. Следовательно, идея "доказуемого высказывания" также синтаксическая, поскольку высказывание Р доказуемо, если существует доказательство, заканчивающееся этим высказыванием.