Даже понятие "высказывание" может быть определено синтаксически. Для начала, в аристотелевском определении говорится, что высказывание — это выражение, которому можно назначить значение истинности (истинно или ложно). Так,
"х — простое число"
не является высказыванием, поскольку его значение истинности зависит от того, каково х. И напротив, из двух высказываний:
"Существует некоторое х} являющееся простым числом", "Для любого х справедливо, что х — простое число"
первое истинное, а второе ложное.
Итак, это семантическое понятие может быть сформулировано синтаксически: высказывание — это выражение, не имеющее переменных (букв х, у, z), которые могут быть свободно заменены числами. То есть это выражение, в котором либо нет переменных, как в случае "4 = 2 + 2", либо все они сопровождаются выражениями типа "для любого х справедливо, что..." или "существует некоторое х, которое...", как это происходит в предыдущих двух примерах. Является выражение высказыванием или нет — это условие можно проверить посимвольно, при этом нет необходимости рассматривать значение выражений. Итак, "высказывание" и "доказуемое высказывание" — два синтаксических понятия, которые Гёдель мог использовать при формулировании своей теоремы.
В своей работе Principia Mathematica ("Принципы математики") Бертран Рассел утверждал, что все известные парадоксы всегда порождаются самореференцией. То есть они возникают из-за того, что в высказываниях прямо или косвенно говорится о них самих. Способ избежать любого парадокса, говорил Рассел, — исключить из языка любой намек на самореференцию. В семантическом самореферентном высказывании говорится о семантической характеристике как таковой. Таков случай "это предложение ложно", то есть утверждение, вызывающее парадокс лжеца. В синтаксической самореференции, наоборот, в самореферентном высказывании говорится о синтаксической характеристике как таковой. Например: "в этом предложении пять слов". Семантическая самореференция, как говорил Рассел, всегда опасна и подводит нас к границе парадокса. Синтаксическая самореференция, наоборот, не несет в себе никакого риска. Почему? Потому что синтаксическая самореференция иллюзорна; кажется, что в предложении говорится о нем самом, но на самом деле здесь раздвоение: в значении предложения говорится не о нем самом, а о символах, которые его образуют. Когда мы говорим: "в этом предложении пять слов", мы имеем в виду:
"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится пять слов".
Отрицание этого:
"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится не пять слов".
Мы говорим о символах, а не о смысле, так что нет риска получить парадокс. В высказывании Гёделя G утверждается, что оно недоказуемо, то есть речь идет о синтаксической характеристике себя самого. Так как самореференция синтаксическая, рассуждения на основе G никогда не приведут нас к парадоксу.
Другое важное понятие для синтаксической формулировки первой теоремы о неполноте — это понятие непротиворечивости. Множество аксиом является непротиворечивым, если не существует ни одного высказывания Р такого, чтобы Р и не-Р были одновременно доказуемы на основе этих аксиом (с синтаксической точки зрения не-Р получается простым размещением слева от Р символа, обозначающего отрицание).
Хотя далее мы увидим, какая связь существует между тем, чтобы быть "непротиворечивым" и быть "истинным", очевидно, что непротиворечивость — это чисто синтаксическое понятие (поскольку зависит от синтаксического понятия доказуемости).
Если все аксиомы — истинные высказывания, то множество аксиом непротиворечиво. Действительно, из истинных предпосылок получаются только истинные выводы. Тогда только одно из высказываний Р и не-Р ложно; следовательно, если все аксиомы истинны, невозможно, чтобы Р и не-Р были доказуемы одновременно (ложное не будет доказуемым).
Значит ли это, что выражение "непротиворечивое множество аксиом" равносильно "множеству истинных аксиом"? Это тонкий вопрос, который заслуживает тщательного анализа.
Начнем с вопроса, является ли высказывание "2 — простое число" истинным. Почти любой человек сразу же скажет, что его истинность очевидна. Однако более правильным ответом будет "когда как". Это зависит от Вселенной, в контексте которой мы сейчас работаем. Если подразумевается, что речь идет о натуральных числах, то высказывание действительно истинно, но в другом контексте оно может быть ложным.
Вспомним, что число (отличное от единицы) является простым, если делится только на единицу и само на себя. Можно выразить это понятие по-другому: 2 — простое число, поскольку единственный способ представить его в виде произведения двух чисел тривиален: 2 = 2 x 1 (запись 2 = 1 x 2 считается совпадающей с ней, так как в ней используются те же числа). А вот число 15 не является простым, поскольку его можно представить, помимо тривиального способа 15 = 1 х 15, также как 15 = = 3 x 5.
Но точно ли единственный способ записать число 2 в виде произведения — это 2 = 2 х 1? В мире натуральных чисел — да. Но существуют и другие миры.
Расширим наш числовой мир и включим в него все числа, которые получаются умножением √2 на натуральное число (и на нуль), а затем прибавлением другого натурального числа (или нуля). Например, этот мир содержит числа 3 + 4 √2 или 7 √2. Также в нем содержится само число √2, которое записывается как 0+1 √2, и все натуральные числа, которые могут быть записаны как:
1 = 1 + 0 √2
2 = 2 + 0 √2
3 = 3 + 0 √2.
Итак, в этом мире 2 — не простое число, поскольку может быть записано как 2 = √2 х √2. Высказывание "2 — простое число" верно среди натуральных чисел, но ложно в мире, который мы определили по-другому (см. схему).
Какова связь между непротиворечивостью и истинностью? Ответ дан теоремой Лёвенгейма — Скулема (доказанной в 1915 году Леопольдом Лёвенгеймом для частного случая и в 1920 году Туральфом Скулемом для общего случая): множество аксиом является непротиворечивым, если существует какой-нибудь мир, в котором все аксиомы являются истинными высказываниями. Следовательно, множество, образованное двумя аксиомами:
непротиворечиво, поскольку существует мир, в котором обе аксиомы одновременно истинны. С синтаксической точки зрения это означает, что не существует такого высказывания Р, что Р и не-Р доказуемы на основе этих двух предпосылок одновременно.
Для любого х справедливо, что х + 0 = х; 2 не является простым числом
Но можем ли мы принять "2 не является простым числом" за аксиому? Не должны ли аксиомы быть очевидными сами по себе? В чисто синтаксическом мире, в котором истинности и ложности не существует, нет смысла говорить об очевидных высказываниях. Любое из них может быть взято за аксиому. Почему основополагающей является непротиворечивость? Что произойдет, если множество аксиом будет противоречивым? С семантической точки зрения это означает, что нет ни одного возможного мира, в котором все высказывания одновременно истинны. Но у противоречивости системы аксиом есть и синтаксическое следствие, поскольку если множество аксиом противоречиво, то на его основе можно доказать любое высказывание.
Предположим, что существует некое высказывание Р такое, что множество аксиом позволяет доказать как Р, так и не-Р, и возьмем любое высказывание Q. Мы хотим доказать, что Q доказуемо. Для этого вспомним несколько правил логики:
а) из "Р" всегда выводится "не-Q => Р";
б) из "не-Q => Р" выводится "не-Р => Q";
в) из "Р" и "Р ^ Q" выводится "Q" (это правило вывода, modus ponens).
Заметим, что все они сформулированы синтаксически и апеллируют к форме высказываний, а не к их значению. Предположим, как мы сказали, что Р и не-Р доказуемы. Получается следующее.
1. Р доказуемо, по гипотезе.
2. Выводится, что "не-<2=" Р" доказуемо, по правилу "а".
3. Следовательно, "не-Р=> Q" доказуемо, по правилу "б".
4. Не-P доказуемо, по гипотезе.
5. Из не-Р (пункт 4) и "не-Р =" Q" (пункт 3), по правилу вывода, выводится Q.
6. Следовательно, Q доказуемо.
Поскольку Q было произвольным высказыванием, можно сделать вывод, что любое высказывание доказуемо на основе аксиом. То есть любое высказывание доказуемо на основе противоречивого множества аксиом.
Заметим, что проделанные нами рассуждения чисто синтаксические и не затрагивают ни значения Р или Q, ни таких семантических понятий, как "истинно" или "ложно". Мы основывались только на синтаксических правилах логики и на виде высказываний. Таким типом аргументов Гёдель воспользовался для изложения доказательства своей теоремы.
Бертран Рассел в своем парадоксе на самом деле показал, что система аксиом, которую предложил Фреге, противоречива. Рассмотрим эту идею более подробно. Вспомним, что Рассел определил множество R, образованное всеми множествами, не являющимися членами самих себя.
Если R является членом самого себя, то выводится, что оно им не является. Это противоречие, которое возникает от предположения, что R — член самого себя, дает основание допустить: R не является членом самого себя. Но если предположить это, то логическим путем можно прийти к выводу, что все-таки является. Тогда получается, что R является членом самого себя. Парадокс Рассела на самом деле демонстрирует: существует такое высказывание, что и оно, и его отрицание доказуемы на основе аксиом Фреге. Другими словами, как уже говорилось, это демонстрирует противоречивость аксиом Фреге.
Как-то раз, читая лекцию для широкой публики, Бертран Рассел упомянул, что если множество аксиом противоречиво, то любое утверждение доказуемо на их основе. Рассел объявил об этом в семантическом виде, говоря, что исходя из ложной предпосылки можно доказать любую вещь. Аудитория сразу же предложила ученому доказать, что Смит (один из слушателей) является Папой Римским, исходя из ложной предпосылки о том, что 1 = 0. Рассел рассуждал так: если 1 = 0, то при прибавлении 1 к обоим членам мы д