В сравнении с математикой Стива Смейла математика экологии – это то же самое, что десять заповедей в сравнении с Талмудом: отличный набор действующих правил, но ничего особо запутанного. Для описания популяции, численность которой меняется каждый год, биологу достаточно проделать вычисления, доступные даже старшекласснику. Предположим, что будущая численность популяции непарного шелкопряда полностью зависит от ее численности в текущем году. Вообразите, что у вас есть таблица, отражающая эту зависимость: если численность особей достигнет 31 тысячи в текущем году, следовательно, через год их будет уже 35 тысяч, и так далее. Представить соотношение между данными величинами, как правило, можно в виде функции: численность популяции (х) в будущем году есть функция (F) от нынешней численности: xnext = F (x). Любую такую функцию можно изобразить в виде графика и мгновенно понять ее свойства.
Чтобы проследить за динамикой популяции в такой модели, вы просто выбираете какой-то стартовый размер популяции, применяете к нему функцию, к результату снова применяете ту же функцию и продолжаете так снова и снова. Данные для третьего года выводятся из данных для второго, и так далее. Благодаря подобному итерационному процессу можно рассмотреть историю популяции на протяжении многих лет. Тут обнаруживается своего рода обратная связь, когда результат каждого года служит исходной величиной для последующего. Обратная связь может стать неуправляемой, как бывает, когда звук из громкоговорителя проходит обратно через микрофон, мгновенно усиливаясь до невыносимого визга. С другой стороны, обратная связь способна породить и стабильность, как в случае с термостатом, который регулирует температуру в жилом доме: любое ее увеличение сверх определенного уровня ведет к охлаждению, а за снижением следует нагрев.
Возможно применение множества разных типов функций. Та, которую используют при упрощенном подходе, предполагает, что численность популяции ежегодно увеличивается на сколько-то процентов; это линейная функция xnext = rх. Данное выражение иллюстрирует классическую мальтузианскую схему увеличения популяции, не сдерживаемого пищевым и моральным факторами. Величина r есть коэффициент прироста численности особей. Допустим, его значение равно 1,В таком случае, если популяция в текущем году насчитывает 10 особей, в следующем их будет уже Если у нас есть 20 тысяч, спустя год будет 22 тысячи. Численность популяции растет и растет, словно сумма, которая положена на сберегательный счет, предполагающий капитализацию процентов.
Впрочем, экологи давно уже поняли, что им необходимо нечто более сложное. Ученый, который хочет что-то узнать о реальных рыбах в реальном водоеме, должен найти функцию, которая учитывала бы жестокую реальность, например угрозу голода или соперничество в стае. По мере роста популяции истощается запас пищи. Размеры небольшой стаи быстро растут, а чересчур большая стая сокращается. Или возьмем японских жуков. Попробуйте каждый год 1 августа выходить в сад и подсчитывать их численность. Чтобы упростить задачу, не принимайте во внимание птиц или болезни данного вида насекомых – учтем лишь имеющийся запас пищи. Выяснится, что жуки активно размножаются, когда их мало, но стоит им чересчур расплодиться, как они объедают весь сад и после этого гибнут от голода.
В мальтузианской схеме неограниченного увеличения численности популяции значение линейной функции роста всегда будет увеличиваться. Схема же, более приближенная к жизни, должна включать в себя дополнительный фактор, сдерживающий рост, если популяция уже и так велика. Наиболее подходящей кажется функция, которая будет резко возрастать при небольших размерах популяции, сводить рост ее численности примерно к нулю при средних размерах и убывать при быстром размножении особей. Пользуясь ею из раза в раз, эколог может наблюдать, как ведет себя популяция на протяжении длительных периодов времени – предположительно, стремясь к состоянию равновесия. Успешно позаимствовав все необходимое из математики, эколог будет рассуждать примерно так: «Мы имеем уравнение. Вот переменная, являющаяся коэффициентом воспроизводства. Вот коэффициент естественной смертности. А вот переменная, которая служит коэффициентом смертности, обусловленной внешними причинами, в том числе голодом и нападением хищников. Смотрите: популяция будет расти с такой-то скоростью, пока не достигнет такого-то уровня равновесия».
Но как найти подобную функцию? Тут могут подойти многие уравнения. Вероятно, проще всего модифицировать линейную мальтузианскую модель: хnext = rх (1 – x). И снова величина r – коэффициент роста, который можно увеличить или уменьшить. Новый член (1 – x) удерживает рост в определенных границах, поскольку увеличение x приводит к уменьшению (1 – x)[107]. Имея калькулятор, можно задать начальное значение, выбрать коэффициент роста и вычислить результат – численность популяции в следующем году.
Популяция достигает равновесия после роста, чрезмерного увеличения численности особей и его снижения.
К 1950-м годам некоторые экологи уже использовали варианты рассмотренного выше уравнения, известного как логистическое разностное уравнение[108]. В частности, Уильям Эдвин Рикер из Австралии применил его для оценки реальных рыбных промыслов. Ученые поняли, что коэффициент роста r является важной характеристикой модели. В физических системах, откуда, собственно, и были позаимствованы подобные уравнения, данный параметр отвечал количеству теплоты, или силе трения, или еще какой-нибудь непонятной величине, воплощающей нелинейность. Применительно к пруду с рыбами он должен соответствовать плодовитости рыб, способности популяции расти и вымирать (так называемому репродуктивному потенциалу). Вопрос заключался в том, как именно этот параметр влияет на дальнейшую судьбу изменяющейся популяции. Очевидно, что небольшое значение параметра повлечет за собой стабилизацию числа особей на относительно невысоком уровне, а значение побольше – на относительно высоком. Это справедливо для многих значений, но не для всех. Время от времени исследователи, и Рикер в их числе, наверняка использовали слишком большие значения – и должны были увидеть хаос.
Когда числа начинают странно себя вести, они доставляют человеку, вооруженному механической счетной машинкой с ручным приводом, изрядные неприятности. Конечно, числа не растут до бесконечности, но они и не сходятся к какому-то пределу. Впрочем, ни один из экологов 1960-х годов, по всей видимости, не был склонен (а может, им не хватало упорства) долго возиться с числами, которые отказываются к чему-либо сходиться. Так или иначе, колебания численности популяции давали экологам повод предположить, что происходят они вокруг некоего скрытого уровня равновесия. Считая последнее весьма важным, экологи даже не предполагали, что никакого равновесия может и не быть.
Справочники и учебники, посвященные логистическим уравнениям и их более сложным вариантам, не содержали, как правило, никаких указаний на возможные проявления неупорядоченности[109]. Джон Мэйнард Смит в классической работе «Математические идеи в биологии», вышедшей в 1968 году, так определил возможные перспективы развития: численность популяции часто является величиной почти постоянной или колеблется вокруг предполагаемого положения равновесия «с весьма регулярной периодичностью». Автор не был столь наивен, чтобы допускать отсутствие неупорядоченного поведения в жизни реальных популяций. Он лишь полагал, что с описанными им математическими моделями такое поведение не имеет ничего общего. Будь это иначе, биологи избегали бы пользоваться подобными моделями. Если модель не оправдывала ожиданий своего создателя относительно реального положения дел в популяции, расхождение всегда можно было объяснить тем, что какая-то величина (возрастной состав популяции, специфика ареала или географической среды, соотношение полов) осталась неучтенной.
Но что важнее всего, в глубине души экологи всегда были склонны списывать неупорядоченность числового ряда на несовершенство счетной машинки или недостаточную точность таких вычислений[110]. Интерес представляли устойчивые решения, порядок казался лучшей наградой. В конце концов, процедура подбора нужных уравнений и их решения требовала известных усилий. Никто не хотел впустую тратить время на ошибочные изыскания, не выявлявшие стойкой тенденции, и ни один опытный эколог не забывал, что его уравнения не более чем примитивная версия реальных явлений. На упрощения шли ради моделирования упорядоченности. Стоило ли преодолевать трудности, чтобы узреть хаос?
Позже скажут, что Лоренца сделал известным Джеймс Йорк и он же дал науке о хаосе ее нынешнее имя. Вторая часть этого утверждения справедлива.
Йорк был математиком, но предпочитал считать себя философом, хотя это и таило в себе некоторую опасность. Остроумный и велеречивый, всегда слегка лохматый, он обожал такого же всегда слегка лохматого Стива Смейла. Подобно многим, Йорк признавал, что понять Смейла непросто. Однако в отличие от большинства коллег он знал, почему же так трудно постичь логику Стива. Когда Йорку было двадцать два, он поступил в Физико-технологический институт при Мэрилендском университете (а позже его и возглавил). Он относился к числу тех математиков, которые во что бы то ни стало стремятся претворить свои идеи в жизнь, чтобы те принесли пользу. Написанный им доклад о распространении гонореи убедил федеральные власти в необходимости изменить стратегию контроля заболеваемости[111]. Во время топливного кризиса 1970-х годов он выступил в суде штата Мэриленд с весьма корректными (но не слишком убедительными) аргументами в пользу того, что ограничение продаж бензина лишь усугубит ситуацию