Ученый раньше никогда не работал с потоками жидкости, но это абсолютно не смущало его, как не смущало и его менее удачливых предшественников. «Новое открывают, как правило, непрофессионалы, – говорил он. – На самом деле не существует сложной и глубокой теории турбулентности. Все вопросы, которые мы можем задать на этот счет, имеют более общую природу, а потому доступны и людям, ранее этим не занимавшимся»[196]. Не составляло труда понять, почему турбулентность не поддавалась анализу, – поведение потоков жидкости описывали нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, в большинстве своем не решаемые аналитическим путем. И все же Рюэль разработал весьма абстрактную альтернативу схеме Ландау, изложенную на языке Смейла, где пространство использовалось как податливый материал, который можно сжать, вытянуть и согнуть, образовав формы типа подковы. Работа была написана в Институте высших научных исследований совместно с приглашенным голландским математиком Флорисом Такенсом и опубликована ими в 1971 году[197]. В стиле статьи нельзя было ошибиться. Она являла собой чистую математику (физики, берегитесь!) и содержала определения, теоремы и доказательства, за которыми с неизбежностью следовало: «Допустим…»
«Утверждение (5·2.)· Допустим, что Χμ есть однопараметрическое семейство Сk-гладких векторных полей в гильбертовом пространстве Н, такое, что…»
И все же в заголовке публикации, которая называлась «О природе турбулентности», прослеживалась связь с реальным миром и чувствовалось нарочитое созвучие с названием знаменитой работы Ландау «К вопросу о турбулентности». Рюэль и Такенс явно желали выйти далеко за пределы математики, пытаясь предложить альтернативу традиционным взглядам на возникновение турбулентности. Они предположили, что источником всего сложного в турбулентности является не наложение частот, ведущих к появлению бесконечного множества независимых и перекрывающих друг друга движений жидкости, а всего лишь три отдельных движения. С точки зрения математики некоторые их логические построения казались довольно смутными, неоригинальными или попросту неверными либо же и тем, и другим, и третьим сразу – пятнадцать лет спустя мнения на сей счет еще расходились[198].
Тем не менее глубокая проницательность, комментарии, заметки на полях и вкрапления из физики сделали работу объектом внимания на долгие годы. Наиболее соблазнительным казался образ, который авторы именовали странным аттрактором. Это название было, как говорят психоаналитики, суггестивным, то есть самим своим звучанием рождало подсознательные ассоциации, что Рюэль ощутил позднее[199]. Термин «странный аттрактор» приобрел такую популярность у исследователей хаоса, что Такенс и Рюэль потом в подчеркнуто вежливых выражениях оспаривали авторство друг у друга. Правда заключалась в том, что ни тот ни другой не могли отчетливо припомнить, кто первый использовал термин. Такенс – высокий, румяный и неистовый норманн – временами ронял: «Вам когда-нибудь доводилось спрашивать у Господа, как он создал эту чертову Вселенную?.. Я ничего не помню… Творю, не запоминая подробностей этого процесса»[200]. На что Рюэль, главный из соавторов, мягко замечал: «Такенсу действительно довелось поработать в Институте высших научных исследований. Но разные люди работают по-разному. Некоторым следовало бы писать статьи в одиночку, чтобы затем единолично пожинать плоды успеха»[201].
Странный аттрактор обитает в фазовом пространстве – одном из удивительнейших изобретений современной науки. Фазовое пространство делает возможным превращение чисел в изображения, извлекая малейшую существенную информацию из движущихся систем, механических или жидкостных, и наглядно демонстрируя все их возможности. Физики уже имели дело с двумя простыми типами «аттракторов» – фиксированными точками и замкнутыми кривыми, описывающими поведение таких систем, которые достигли устойчивого состояния или непрерывно себя повторяют.
В фазовом пространстве все известные данные о динамической системе в каждый момент времени концентрируются в одной точке, которая и представляет собой данную систему в конкретное мгновение. В следующее мгновение система уже претерпит изменения, пусть даже совсем незначительные, и точка изменит свое местонахождение. Всю историю существования системы можно изобразить на графике, отслеживая, как точка движется по своей орбите в фазовом пространстве с течением времени.
Но как же все данные о сложнейшей системе могут быть представлены лишь одной точкой? Если система характеризуется двумя переменными, найти ответ не составляет труда, он напрямую вытекает из декартовой геометрии, преподаваемой в средней школе: одна из переменных располагается на горизонтальной оси х, а другая – на вертикальной оси у. Если же система представляет собой качающийся маятник, свободный от действия силы трения, то одна из переменных является его положением в пространстве, а другая – скоростью. Они непрерывно меняются, образуя линию из точек, которая изгибается петлей, вновь и вновь повторяющей саму себя. Та же система, но обладающая более высокой энергией, раскачивающаяся быстрее и сильнее, образует в фазовом пространстве петлю, схожую с первой, но бо́льшую по размерам.
Новый способ изучения маятника. Единственная точка в фазовом пространстве (справа)передает всю информацию о состоянии динамической системы в конкретный момент времени (слева). Для простого маятника достаточно двух чисел, представляющих его скорость и местоположение. В момент начала колебательных движений маятника его скорость равна нулю, а местоположение выражается отрицательным числом, поскольку маятник находится слева от центра (верхний ряд). Два числа определяют положение одной точки в двумерном фазовом пространстве (второй ряд). Скорость достигает максимума, когда маятник минует самую нижнюю точку (третий ряд). Скорость вновь снижается до нуля, а затем меняет знак при движении влево (четвертый ряд).
Впрочем, столкнувшись с одним из проявлений реальности – трением, – система начинает претерпевать изменения. Чтобы описать судьбу маятника, подверженного трению, не нужны уравнения движения: каждая его орбита должна заканчиваться в одном и том же месте – в центре фазового пространства, где и местоположение, и скорость равны нулю. Эта центральная фиксированная точка как бы притягивает колебания. Вместо того чтобы вечно чертить на графике петли, орбита маятника спиралью закручивается внутрь. Трение рассеивает энергию системы, что в фазовом пространстве выглядит как толчок к центру. Наблюдается движение из внешних зон с высокой энергией к внутренним зонам с низкой энергией. Аттрактор – простейший из возможных – подобен магниту величиной с булавочную головку, встроенному в лист резины.
Точки образуют траекторию, которая позволяет наглядно представить непрерывное поведение динамической системы в течение длительного периода времени. Повторяющаяся «петля» соответствует системе, которая всегда воспроизводит одно и то же свое состояние. Если повторяющееся поведение устойчиво, как у часов с маятником, система при незначительных помехах возвращается к прежней орбите движения. В фазовом пространстве траектории вблизи орбиты как бы вовлекаются в нее, а сама орбита является аттрактором. Аттрактор может являть собой одну-единственную точку (справа). В случае с маятником, непрерывно теряющим энергию на трение, все траектории имеют форму спирали, закручивающейся внутрь, по направлению к точке, в которой система устойчива, – в этом состоянии движения не наблюдается вообще.
Одним из преимуществ рассмотрения состояний системы как совокупности точек в пространстве является то, что в таком случае легче наблюдать происходящие изменения. Система, в которой переменные непрерывно увеличиваются и уменьшаются, превращается в движущуюся точку, похожую на муху, летающую по комнате. Если некоторые комбинации переменных никогда не возникают, ученый может просто представить, что эта часть комнаты находится вне зоны досягаемости и насекомое никогда туда не залетит. При периодическом поведении изучаемой системы, когда она снова и снова возвращается к одному и тому же состоянию, траектория полета мухи образует петлю и насекомое минует одну и ту же точку в пространстве множество раз. Своеобразные портреты физических систем в фазовом пространстве демонстрировали образцы движения, которые были недоступны наблюдению иным способом. Так фотография природного ландшафта в инфракрасных лучах открывает те мелочи и детали, которые существуют вне досягаемости нашего восприятия. При взгляде на фазовую картину ученый мог, призвав на помощь воображение, уяснить сущность самой системы: петля здесь соответствует периодичности там, конкретный изгиб воплощает определенное изменение, а пустота говорит о физической невероятности.
Даже при наличии двух измерений изображения в фазовом пространстве могли многим удивить. Кое-какие из них можно было построить в том числе на мониторах настольных компьютеров, превращая уравнения в красочные траектории. Некоторые физики начали создавать серии движущихся картинок и снимать на видеопленку, чтобы продемонстрировать их своим коллегам. Математики из Калифорнии публиковали книги, иллюстрированные множеством красно-сине-зеленых рисунков в стиле анимации, – «комиксы хаоса», как отзывались о них, не без яда, коллеги авторов[202]. Но пара измерений не охватывала всего богатства систем, которые хотели изучать физики, и ученые стремились ввести больше двух переменных, что, естественно, требовало увеличения числа измерений. Каждый фрагмент динамической системы, способный к независимому перемещению, является уже новой переменной, воплощая иную степень свободы, и для каждой такой степени требуется новое измерение в фазовом пространстве. Иначе нет уверенности, что одна-единственная точка содержит дост