Фрактальные границы бассейнов. Даже когда долгосрочное поведение динамической системы не является хаотическим, хаос может появиться на границе двух типов устойчивого поведения. Зачастую динамическая система характеризуется более чем одним состоянием равновесия, как, например, маятник, который может остановиться, притянувшись к одному из двух магнитов, встроенных в его основание. Каждое состояние равновесия является аттрактором. Граница между двумя аттракторами может быть сложной, но гладкой (слева)или же сложной, но негладкой. В высшей степени фрактальная россыпь белых и черных фрагментов (справа)есть диаграмма в фазовом пространстве маятника. Система, несомненно, достигнет одного из двух возможных устойчивых состояний. Для некоторых начальных условий результат вполне предсказуем. Черное есть черное, а белое есть белое. Но вблизи границы прогнозировать что-либо уже невозможно.
Исследователям и инженерам эти изображения преподали хороший урок, послужив одновременно и предостережением – слишком уж часто поведение сложных систем прогнозируют исходя из ограниченных данных. Наблюдая за системой, которая функционировала нормально, оставаясь в узких рамках нескольких параметров, инженеры надеялись экстраполировать результат более или менее линейным образом на необычное поведение. Но исследования границ фрактальных бассейнов продемонстрировали, что рубеж между состояниями покоя и возмущения куда сложнее, чем кто-либо мог представить[306]. «Вся энергетическая сеть восточного побережья является колебательной системой, большую часть времени устойчивой. Нас интересует, что произойдет, если потревожить ее, – объяснял Йорк. – Необходимо знать, что представляет собой граница. Большинство даже не имеет понятия, как она выглядит».
Фрактальные границы бассейнов оказались связаны с важнейшими дискуссионными вопросами теоретической физики. Например, с фазовыми переходами, которые происходили при достижении определенного порога. Пайтген с Рихтером рассмотрели одну из их наиболее изученных разновидностей – намагничивание и размагничивание материалов. Полученные ими картины границ обнаруживали удивительнейшую сложность, начинавшую казаться вполне естественной. Изображение напоминало головки цветной капусты с причудливым рисунком выпуклостей и борозд. По мере изменения параметров и увеличения деталей очертания становились все более и более неупорядоченными, пока вдруг неожиданно в глубине зоны возмущения не появилась знакомая, сплющенная у полюсов, форма, усеянная ростками: множество Мандельброта, где каждый завиток и каждый атом располагались на своем месте. «Возможно, стоит поверить в магию», – писали ученые, осознав, что перед ними предстало очередное доказательство универсальности[307].
Майкл Барнсли пошел по другому пути: мысли его обратились к формам, созданным самой природой. Особенно его занимали образы, имевшие отношение к живым организмам. Он экспериментировал с множествами Жюлиа, а также с другими процессами, постоянно отыскивая способы генерации еще большей изменчивости. В итоге он использовал случайность как основу для создания неизвестных ранее методов моделирования естественных форм. Рассуждая в своих статьях о новой технике, ученый называл ее «глобальным построением фракталов посредством систем итерированных функций», но в разговоре описывал свою находку как «игру хаоса»[308].
Чтобы быстро сыграть в такую игру, необходим компьютер с графическим экраном и генератором случайных чисел, но в принципе будет достаточно листа бумаги и монетки. Выбираем на листе начальную точку – неважно, где именно. Придумываем два правила – для орла и для решки. Правила указывают, каким образом откладывать одну точку от другой, например: «Переместиться на два дюйма на северо-восток» или «Приблизиться на 25 % к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки, когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, как сдающий карты прячет первые несколько карт при новой сдаче, то обнаружится, что «игра хаоса» воспроизводит не случайный набор точек, а фигуру, проявляющуюся все более и более четко по мере продолжения игры.
Основное предположение Барнсли звучало так: множества Жюлиа и другие фрактальные формы, хотя и верно считаются итогом детерминистского процесса, обладают второй равнозначной ипостасью как предел случайного процесса. Для сравнения ученый предложил представить, к примеру, карту Великобритании, нарисованную мелом на полу комнаты. Топографу со стандартным набором инструментов будет весьма непросто измерить площадь такой сложной фигуры со всеми ее фрактальными береговыми линиями. Но вообразите, что мы подбрасываем в воздух одно за другим зернышки риса, которые в беспорядке ложатся на пол, а затем подсчитываем количество зерен, оказавшихся в пределах контура карты. Со временем результат начинает приближаться к площади интересующей нас фигуры – как предел случайного процесса. Если говорить на языке динамики, фигуры Барнсли оказались аттракторами.
«Игра хаоса» использовала фрактальные качества некоторых изображений, а именно – тот факт, что они могли быть созданы из малых копий основной картины. Выбор правил для последующего случайного итерирования позволяет уловить основополагающую информацию о той или иной фигуре, а само итерирование правил выдает эти же данные обратно независимо от масштаба. В этом смысле чем более фрактальной является форма, тем более простыми окажутся соответствующие правила. И Барнсли быстро обнаружил, что может воспроизвести все ставшие уже классическими фракталы из книги Мандельброта. Техника последнего представляла собой бесконечную последовательность построений и совершенствований: скажем, для создания снежинки Коха или ковра Серпинского нужно, удалив линейные отрезки, заменить их строго определенными фигурами. Применяя вместо этого «игру хаоса», Барнсли создавал изображения, казавшиеся вначале лишь расплывчатыми карикатурами, но со временем вырисовывавшиеся все более четко. Вместо процесса усовершенствования, в котором не возникло необходимости, использовался лишь один набор правил, с помощью которого в итоге и воплощалась нужная форма.
Барнсли и его коллеги начали безудержно конструировать различные изображения, многообразные формы, напоминавшие изогнутые капустные листья, налет плесневых грибков и брызги грязи. Ключевым теперь стал вопрос о том, как повернуть процесс вспять, как вывести набор правил для заданной формы. Ответ, названный ученым «теоремой коллажа», оказался настолько бессмысленно простым, что заставлял слушателей подозревать подвох. Для начала следует изобразить на экране форму, которую вы хотите воспроизвести. (Барнсли, будучи давним любителем папоротников, выбрал для первых опытов один из них – костенец черный.) Затем, используя компьютерную мышь в качестве указки, нужно устлать первоначальную форму ее уменьшенными копиями, позволяя им, если необходимо, чуть накладываться друг на друга. В высшей степени фрактальную фигуру можно легко покрыть ее копиями, с менее фрактальной дело пойдет сложнее, но с разной степенью приблизительности каждую форму можно устлать ее миниатюрными копиями.
«Игра хаоса». Каждая новая точка ложится случайным образом, но постепенно вырисовывается изображение папоротника. Вся необходимая информация закодирована в нескольких простых правилах.
«Если рисунок достаточно сложен, правила также будут непростыми, – пояснял Барнсли. – С другой стороны, если объект содержит в себе скрытый фрактальный порядок – а основное наблюдение Бенуа заключается в том, что множество явлений в природе обладают им, – тогда с помощью нескольких правил его можно расшифровать. В данном случае модель окажется более занимательной, чем та, что создана при помощи евклидовой геометрии. Ведь известно, что, взглянув на краешек листа, мы не увидим прямых линий»[309]. Его первый папоротник, созданный на небольшом персональном компьютере, точно соответствовал изображению в книге, хранимой ученым с детских лет. «Этот образ ошеломлял своей достоверностью. Любой биолог без труда идентифицирует его».
Барнсли с удовлетворением констатировал, что в некотором смысле природа играет в «игру хаоса», только на свой лад. «Огромного количества информации, которую несет в себе спора, хватает для кодирования лишь одного вида папоротника, – замечал ученый. – Таким образом, существует предел преобразованиям, с помощью которых может расти папоротник. Неудивительно, что нам удается отыскать равноценную краткую информацию для описания папоротников. Было бы странно, если бы дела обстояли иначе».
Но являлась ли случайность необходимой? Хаббард, также размышлявший о параллелях между множеством Мандельброта и биологическим кодированием информации, выходил из себя при одном лишь упоминании о том, что такие процессы зависимы от вероятности. «Во множестве Мандельброта нет ничего случайного, – возражал он, – как нет ничего случайного ни в одном из явлений, которые я исследую. Не думаю также, что возможность случайности имеет прямое отношение к биологии, где любая случайность и хаотичность равносильны смерти. Все здесь в высшей степени структурированно. Исследуя вегетативное размножение растений, вы видите, что порядок, в котором распускаются листья на ветках, всегда один и тот же. Множество Мандельброта подчиняется необычайно точной схеме, не оставляя места случаю. Я подозреваю, что, когда кто-нибудь наконец выяснит, как устроен мозг, ко всеобщему изумлению обнаружится, что существует непостижимо четкая схема для конструирования этого органа. Сама же идея случайности в биологии весьма призрачна»[310].