Учимся считать
У меня есть небольшая надежда на то, что мои маленькие читатели умеют не только читать, но и считать. Напрягать мозг, читая развлекательную литературу вроде этой книги, ужасно не хочется, и я долго думал, стоит ли вставлять эту главу в книгу. Но всё же несколько задачек я хочу разобрать. Авось, сэкономлю вам несколько миллионов. Начнём с самого простого.
11.1. Геометрическое среднее
В финансах приличные люди используют не арифметическое, а геометрическое среднее. Надо перемножить все результаты и взять из них корень n-ой степени, где n – количество исходов. Это называется «геометрическое среднее» и используется оно только для положительных величин, а то из отрицательных неудобно чётную степень извлекать: комплексные числа сильно гуманитариев расстраивают.
Главное применение геометрического среднего – это оценка инвестиционной деятельности. Например, кто-то долго управляет деньгами. Как понять, хорошо он ими управляет или нет? Можно так: возьмём данные за несколько лет и посчитаем среднее, то есть сложим доходность за все годы и поделим на количество лет. Это первое, что приходит в голову. Но это не очень правильная мысль, потому что по уму-то следует взять не арифметическое, а геометрическое среднее доходностей. Объясню почему.
Возврат на инвестиции (return on investment, ROI) – это важнейший показатель, сколько процентов заработал управляющий от вложенной суммы. Валовая прибыльность – это возврат плюс единица. Самый плохой для управляющего результат – потерять все деньги, то есть минус сто процентов. Если к этому добавить единицу, получится, что минимально возможная прибыльность – это инвестиции помножить на ноль. Произведение доходностей за разные годы никогда не будет отрицательным, поэтому можно использовать геометрическое среднее. И не только можно, но и нужно. Почему?
Допустим, некто вкладывает ваши деньги и говорит: «Вот, отличная доходность у меня! Девять лет из десяти я зарабатывал по 20 % годовых». Вы спросите: «Ну а что за десятый год-то?» Он ответит, мол, в последний год не очень хорошо получилось – вышло минус 100 %. Вам, может быть, и хочется похвалить своего приятеля, и вы можете посчитать арифметическое среднее – это будет 8 % годовых: девять раз по 20 и один раз минус 100. Вроде и неплохо, да? Восемь годовых на протяжении десяти лет – не самый плохой результат. Вот только денег больше нет. Потому что если в любой год управляющий получил минус сто, не имеет значения, что там было в другие годы: денег у клиента уже никогда не добавится.
Геометрическое среднее всегда меньше арифметического[37], и различие между ними тем сильнее, чем сильнее различаются цифры результатов по годам. Геометрическое куда менее оптимистично, и люди в финансах зачастую не хотят его использовать. И уж точно никто не станет использовать его в рекламе, где всё надо преподносить в розовом цвете.
Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда некорректно вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 30 %)/2 = 10 %; правильное среднее значение в этом случае – около 8 %. Причина в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: ведь +30 % – это от меньшего, чем цена в начале первого года, числа.
Если быть точным, то акции стоили $30 и упали на 10 %, значит, в начале второго года они стоят $27. Если потом акции выросли на 30 %, они в конце второго года будут стоить $35, потому что росли они от 27. Сложный процент в конце второго года: 90 % * 130 % = 117 %, 0.9*1,3, то есть общий прирост составил 17 %, а среднегодовой – корень из 1,17. Выходит, рост в процентах всего √1.17 минус единица = 8,17 %, а вовсе не 10 % в год.
11.2. Учёт инфляции
Как подсчитать заработок управляющего, если надо вычислить его реальный, а не номинальный доход? Допустим, инфляция в стране большая – 20 %. А доход он хочет получить скромный – 10 %, но с учётом инфляции. Сколько же он должен заработать? Эта задачка недалеко ушла от предыдущей.
Вы уже догадались, что ответ 30 % – неправильный. Ему придётся заработать 32 % годовых, потому что, если у него было 1000 рублей в управлении, через год ему потребуется 1200 рублей, чтобы купить всё то же самое. Поэтому заработать ему придётся 1200+10 %-1000=320 рублей, то есть 32 % годовых. Что как бы труднее, чем 30 %.
Ещё одна красивая иллюстрация к сложному проценту – классический пример темпов роста двух стран: Швеции и Аргентины. За последние 100 лет экономика Аргентины росла чуть хуже 1 % в год, а Швеции – чуть лучше 2 %. Казалось бы, невелика разница. Но Аргентина за 100 лет оказалась в полной жопе, а Швеция – одна из самых развитых стран мира. Всего-то процентик разницы.
11.3. Чистая приведённая стоимость
Делаем ещё один шажок – нам обязательно надо поговорить о приведённой стоимости, это фундаментальная фишка в финансах, и надо её хорошенечко понять.
Что такое чистая приведённая стоимость? Это вам уже не статистика. Бизнесмены сегодня часто имеют виды на будущие деньги. Не те, что есть сейчас в кармане. Например, вот у меня долговая расписка, что Иван… нет, пусть лучше будет Абрам, – должен мне 100 рублей через два или три года. Текущая стоимость этой расписки и есть чистая приведённая её стоимость. Её как бы привели к общему знаменателю с текущим днём. По-английски это будет NPV, Net Present Value.
Можно представить расписку, ну или даже корпоративную облигацию, что мне должна фирма, а не человек. Важно тут то, что возврат денег происходит через некоторое зафиксированное время. Приведённая стоимость – это сколько эта облигация стоит сегодня. Все давно поняли, что обещание вернуть 100 рублей через год не стоит сегодня 100 рублей. Вы можете пойти в банк, ну или если это 500 лет назад, тогда к ростовщику и спросить: «Товарищ Мойша, сколько вы мне дадите за эту расписку?» Банкир скажет: «Ну-у, 100 рублей она будет стоить только через год, а сейчас я таки дам за неё тебе только 90», то есть сообщит её приведённую стоимость.
От риска пока абстрагируемся. Предположим, что Абрам – парень надёжный и деньги точно отдаст, без сомнений. Конечно, Мойша не даст за расписку 100 рублей сейчас, если 100 рублей он получит только через год. Ведь он может сделать вклад на год и заработать! Если банк платит 5 % годовых, то это означает, что 100 надо поделить на 1,05 (единица плюс ставка в процентах), и мы вычислим, сколько стоят деньги с годовой отсрочкой. На два года тоже просто: надо два раза поделить на 1,05, ну и если ещё дольше ждать платежа, за каждый год мы делим расписку ещё раз на 1+ставку, то есть в знаменателе у нас степень получается.
Немного сложнее оценивать потоки платежей. Пусть у вас есть контракт, по которому вы получаете какую-то сумму на протяжении долгого времени. Конечно, есть формулы и на этот случай. Самый простой вариант – это «консоль» (consol). Это такой актив или контракт, по которому вам выплачивается некоторая сумма каждый год, вечно. Навсегда. Консолью она называется от слов «консолидированный долг», его выпустило британское правительство в середине XVIII века[38] – собрало все долги воедино и поменяло на эти вот бумаги. Номинальная стоимость у консолей была по 100 фунтов стерлингов, и по ним платили 3,5 % каждый год, а потом в какой-то момент снизили платёж до 2,5 %, но эти бумаги существуют до сих пор – уже больше 260 лет!
В XVIII и первой половине XIX веков консоли играли важнейшую роль в государственном долге Великобритании. Они служили основным инструментом, которым британское правительство финансировало войну с мятежными американскими колониями и участие в наполеоновских войнах. Да, представьте, не только Кутузов громил Наполеона, но и железная леди Маргарет Тэтчер с Черчиллем наперевес.
Вообще, навсегда – это довольно долгий срок. Его трудновато представить. Что, если Великобритания, например, развалится от притока исламистов и индусов? Тогда держатели, наверное, перестанут получать купоны. Есть ещё один вариант: государство может выкупить их обратно у держателей, тогда платить будет некому.
Для простоты представим, что платить по консолям будут действительно всегда. Какая приведённая стоимость у вечного платежа? Помним, что через год – это платёж, делённый на 1+ставку, через два года – на (1+ставку)2, ну и так далее. Если все эти платежи сложить, получится сумма геометрической прогрессии. Это степенной ряд, он сходится, и сумма его равна 1/r. Получается, если ежегодный платёж равен, например, 2,5 фунта, его приведённая стоимость – это 2,5 разделить на ставку. Если и ставка сейчас равна 2,5 %, то и выходит стоимость консоли в 100 фунтов. А если, например, купон равен 3 фунта, а ставка сейчас 1,5 %, то стоимость консоли – 3 разделить на 1,5 %, получается 200 фунтов.
Сразу понятно, что стоимость консоли обратно зависима от рыночной ставки. То есть вот вы сейчас можете пойти и купить эти бумаги и будете вечно получать 2,5 фунта в год всю жизнь и даже дольше. Но помните: если инфляция в Великобритании вырастет, то стоимость ваших бумаг снизится, ведь государство будет по-прежнему выплачивать по ним ровно 2,5 фунта в год, а при высокой инфляции на будущие платежи вы сможете купить гораздо меньше английских завтраков и Гиннеса к ним. А если инфляция снизится, то стоимость ваших консолей вырастет. Но платить будут всё равно по 2,5 фунта в год. Но всё равно хорошо.
11.4. Аннуитет
Ещё одна важная штука – это аннуитет, мы помним про него из главы о недвиге. Что, если по вашему контракту вы получаете фиксированную сумму какой-то период времени, а потом контракт заканчивается? Это и называется аннуитет. По нему выплачивается одинаковое количество денег каждый, например, месяц, – ну а потом перестаёт. Типичный пример – ипотека. Вы покупаете квартиру, занимаете деньги в банке и каждый месяц вносите одинаковый платёж.
Появился аннуитет потому, что стандартная схема (проценты каждый год – или месяц, – а в конце тело кредита) располагает к тому, чтоб в конце ничего не заплатить: это оказывается слишком напряжно, и люди в последний момент соскакивают.
Вопрос в том, сколько стоит аннуитет сейчас. Если вам каким-то чудом предложат получать по 1000 рублей в месяц на протяжении 10 лет, сколько вы заплатите такому Деду Морозу? Надеюсь, уже очевидно, что это меньше, чем 1000*12 месяцев*10 лет = 120 тысяч рублей. Ведь 120 вы отдаёте сейчас, а получаете их по тыще годами. Но сколько-то эта тема стоит? За 10 тыщ вы бы купили такой контракт? Я бы да. А за 50? Вот на этот вопрос я вас научу отвечать.
Стоит оно по-разному в зависимости от инфляции. Пусть инфляция у нас равна 1 % в месяц, а 10 лет – это 120 месяцев. Сумма аннуитетных платежей стоит вот сколько: платёж*(1–1/(1+ставка)кол-во платежей)/ставка.
Выходит, нашему Деду вполне можно отвалить 1000*(1–1/(1+0.01)120)/0.01 = 69 700 рублей. То есть если инфляция все десять лет будет 12,7 % годовых или ниже (1 % в месяц в 12-й степени), то 69 700 рублей – вполне нормальная, годная цена за этот контракт. А если цена выше, ну тогда слишком дорого, платежи по 1000 в месяц быстрее обесценятся. Лучше скорее эти 69 700 пропить, чем отдавать мерзкому Деду.
11.5. Корки и кости под ноги бросьте
Вернёмся к теории вероятности. Расскажу ещё об одной задаче, совсем недавно её встретил, и она меня заинтересовала своей провокацией на ошибку. Представьте, что вам предлагают пари: бросить два кубика, и если на них выпали только 1, 2, 3 или 4, тогда вы выиграли. Но если там есть 5 или 6, тогда вы проиграли. Вам предлагают поставить на такой эксперимент 10 долларов. Соглашаться или нет?
Многим кажется: ну как же так, понятно, что 5 и 6 выпадает в два раза реже, чем 1, 2, 3 и 4. Пять и шесть всего в 1/3 случаев, а 1, 2, 3, 4 – в 2/3 случаев. Конечно, надо соглашаться. В чём здесь подвох?
Дело в том, что достаточно лишь одной пятёрки или шестёрки из двух кубов, чтобы проиграть пари. Всего у броска двух костей 6х6=36 исходов, но для выигрыша нам подходит только 16 из них: когда на первом кубике выпадает 1, 2, 3, 4, и на втором – тоже одна из этих цифр. Если все возможные исходы представить в виде таблицы 6 на 6, получится, что пятёрка-шестёрка со второго кубика портят целый ряд 1-2-3-4 первого кубика, и наоборот.
Выходит, что шансы того, что с двух кубов выпадет ровно одна пятёрка либо шестёрка, такие же, как и что не выпадет, – 16 вариантов. Но есть же ещё 4 варианта, когда на обоих кубиках выпадают только пятёрки и шестёрки. В итоге получается, что выигрываем мы в 16 случаях из 36, а проигрываем – в 20. Вероятность выиграть такое пари – 4/9, или около 44 %, а проиграть – 5/9 – около 56 процентов.
Посчитаем матожидание при ставке 10 долларов: +$10*4/9-$10*5/9=-$1,11, минус доллар с гривенником и центом сверху. Так что теперь вас таким пари не обмануть. Тут вам повезло.
11.6. Парадокс дня рождения
В этой задачке я не буду никого заставлять считать, просто хочу рассказать о распространённом заблуждении. Парадокc дня рождения заключается в том, что в группе из 23 человек вероятность того, что у двоих людей совпадут дни рождения, составляет больше 50 %. То есть, если вокруг 22 человека (или больше), можно смело делать ставку на то, что у кого-то из вас дни рождения совпадут.
Почему нам трудно в это поверить? Ответ математический: степени трудно осознать. Как визирь в древней задаче про шахматы и зёрнышки, мы и сейчас плоховато понимаем степенную функцию. Даже если мы подучились математике и статистике, это всё равно как-то непривычно. Вот пример неправильной логики: какова вероятность выпадения 10 решек подряд? Нетренированный мозг может составить примерно такую цепочку мыслей: одна решка – это 50 %. Две решки выбросить в два раза труднее, это 25 %. Ну а десять решек – в 10 раз труднее, ну то есть 5 %. Ну вот мы и обосрамились. Реальный шанс – это 1/2 в 10-й степени, то есть одна тысячадвадцатьчетвёртая, то есть чуть меньше десятой доли процента. Ошиблись немножко в 50 раз.
Но даже после обучения мы обманываемся. Пять процентов годовых удвоят капитал не за 20 лет, а за 14. А 20 % годовых – быстрее, чем за 4 года. Так как у нас учебник по финансам, я вам раскрою секретный способ быстро узнать, какой срок потребуется на удвоение вашего капитала. Надо 72 поделить на ожидаемую доходность. Если доходность 6 процентов, надо 72 поделить на 6, и мы получим 12, то есть при дохе в 6 % капитал удвоится за 12 лет. Для более точного результата надо брать 69, но 72 удобнее делить на разные числа. Да и, кстати, с 14 % инфляцией за 5 лет мы теряем половину капитала. Ну или зарплаты, если её пять лет не повышают.
Так и вероятность совпадения дней рождения двух человек в любой день года (1/365 = 0,27 %), умноженная на число человек в группе из 23, даёт лишь 23/365 = 6,3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (а их целых 253) значительно превышает число человек в группе.
Дело в том, что люди эгоистичны. Мы часто не думаем об окружающих. И правда, чего о них думать? В комнате, где находятся 23 человека, вы наверняка думаете о том, что именно ваш день рождения должен совпасть с чьим-то из остальных. Но вы вряд ли подумаете о том, что ещё есть 230 сравнений между другими участниками эксперимента. Вам даже не пришло в голову, что сравнений, которые вас не касаются, в 10 раз больше. И вопрос о том, совпадут ли дни рождения у кого-либо, подменился в мозгу на вопрос о том, совпадут ли дни рождения у выбранного человека с кем-либо другим из группы. В этом случае вероятность совпадения, конечно, заметно ниже.
Вроде бы нетрудно перечислить все сочетания и проверить, но есть сложность: может же оказаться, что будет 2, 3 или все 23 совпадения. Этот вопрос похож на другой: какова вероятность выбросить хотя бы одну решку за 23 броска? Вариантов много: решка на первый раз, на третий, или на пятый и десятый, или на второй и двадцать второй. Как решить такую задачу? Перевернуть!
Вместо того чтобы считать каждый способ выбросить решку, мы посчитаем вероятность выпадения неудачного сценария, когда выпадают только орлы. Вероятность этого – 1/2 в 23-й степени, очень небольшая. Но важно понять схему: если существует, например, всего 1 % вероятность выбросить все орлы, будет 99 % шанс того, что выпадет хотя бы одна решка. Мы не знаем – одна, две, десять, или пятнадцать, или все 23. Но если мы вычтем вероятность неподходящего нам сценария из единицы, у нас как раз останется вероятность нужного нам сценария.
Этот же принцип можно применить и к задаче о днях рождения. Вместо того чтобы искать вероятность совпадения, гораздо проще найти вероятность того, что все родились в разные дни. Потом мы вычтем эту цифру из единицы и получим вероятность того, что есть хотя бы одно совпадение – хотя и не будем знать, сколько именно их будет, но нам это и не требуется. В нашем случае надо умножить 364/365 на 363/365, продолжить 22 раза и вычесть произведение из единицы. Получится 50,73 %, то есть больше половины.
Кстати, для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя (надеюсь, это очевидно) 100 % она достигает, только когда в группе будет не менее 367 человек – с учётом високосных лет.
Пожалуй, с вычислениями пока всё. Можно расслабиться.