Увлечение красотой высшей математики привело к тому, что Френкель и сам сыграл важную роль в самой увлекательной математической драме последних пятидесяти лет – в программе Ленглендса. Эту программу разработал в шестидесятые годы прошлого века канадский математик Роберт Ленглендс, работавший тогда в Институте передовых исследований в Принстоне (и унаследовавший кабинет Эйнштейна). Она претендует на звание теории великого объединения. По словам Френкеля, она содержит «исходный код всей математики». Однако за пределами математического сообщества о ней мало кто знает. Более того, о программе Ленглендса не знало большинство профессиональных математиков даже в девяностые, когда она оказалась задействована в доказательстве последней теоремы Ферма, ставшем сенсацией. А с тех пор она вышла за пределы чистой математики и вторглась в царство теоретической физики.
Френкель вырос в годы брежневского застоя в промышленной Коломне примерно в 100 километрах от Москвы. «В школе я ненавидел математику, – пишет он. – Меня восхищала физика, особенно квантовая физика». Подростком он поглощал научно-популярные книги по физике с их соблазнительными рассказами о субатомных частицах – адронах и кварках. Френкелю не давал покоя вопрос, почему фундаментальные частицы так головокружительно разнообразны, почему они распадаются на семейства определенных размеров. Ясность наступила лишь тогда, когда его родители, оба инженеры, устроили ему встречу со своим старым другом-математиком[9]. Математик объяснил ему, что порядок и логику в строительный материал вещества вносит так называемая «группа симметрий» – математический зверь, с которым Френкель в школе не сталкивался. «Это был момент прозрения, – вспоминает он. – Книги Евгения Евгеньевича открыли передо мной абсолютно другой мир, о существовании которого я даже не подозревал».
С точки зрения математика группа – это набор действий или операций, которые правильным образом сочетаются друг с другом. Что такое «правильным образом», объясняют четыре аксиомы теории групп, определяющие алгебраическую структуру группы. Например, одна из аксиом гласит, что для любого действия в группе существует другое действие в группе, которое его отменяет.
Важная разновидность групп – это группа симметрий. Именно с такими группами и столкнулся Френкель. Представьте себе, что у вас посередине комнаты стоит квадратный карточный стол. Интуитивно понятно, что этот предмет мебели в чем-то симметричен. Как сделать это утверждение более точным? Если повернуть стол относительно центра ровно на 90 градусов, его внешний вид никак не изменится, и если кто-то вышел из комнаты и не видел, как стол поворачивают, то, вернувшись, не заметит никакой разницы (если на поверхности стола не было никаких пятен и царапин). То же самое верно, и если повернуть стол на 180, 270 и 360 градусов, причем в последнем случае стол опишет полный круг, а это эквивалентно тому, что его вообще не поворачивали.
Эти действия составляют группу симметрий карточного стола. Поскольку их всего четыре, группа конечна. Если бы стол был круглым, его группа симметрий была бы бесконечной, поскольку любой поворот – на 1 градус, на 45, на 132,32578 и т. д. – никак не повлиял бы на его внешний вид. Таким образом, группы – это способ измерить симметрию объекта: круглый стол с бесконечной группой симметрий симметричнее квадратного стола, чья группа симметрий состоит всего из четырех действий.
Однако (к счастью) дальше становится интереснее. Группы описывают симметрии, которые выходят за пределы простой геометрии, например, симметрии, скрытые в формуле или в семействе субатомных частиц. Подлинное могущество теории групп было впервые продемонстрировано в 1832 году, в письме к другу, которое наспех нацарапал двадцатилетний парижский студент и политический активист Эварист Галуа поздней ночью накануне гибели на дуэли (за честь женщины – и, весьма вероятно, от руки провокатора на службе правительства).
Эваристу Галуа открылся подлинно прекрасный способ обобщить понятие симметрии на мир чисел. Его théorie des groupes позволила решить классическую алгебраическую задачу, которая столетиями не давала покоя математикам, причем решение оказалось совершенно неожиданным. («Галуа не решал проблему… в том смысле, как об этом было принято думать. Он хакнул ее!», – пишет Френкель). Значение открытия Галуа выходит далеко за рамки задачи, которая стала его катализатором. Группы Галуа вездесущи в математической литературе, а сама идея группы зарекомендовала себя как, пожалуй, самое универсальное понятие в математике, проливающее свет на самые разные загадки. «Сомневаетесь – ищите группу!» – советовал великий Андре Вейль. Такое вот cherchez la femme в математике.
После такого «обращения» юный Френкель принялся изучать математику как одержимый («Именно так все и происходит, когда вы влюбляетесь»). Когда ему исполнилось 16 лет, настала пора поступать в университет. Идеальный вариант был очевиден – Московский государственный университет: его механико-математический факультет, сокращенно мехмат, был одним из ведущих центров по изучению чистой математики в мире. Однако дело было в 1984 году, за год до того, как Горбачеву предстояло прийти к власти, и все стороны жизни советского человека еще регулировала КПСС – в том числе и вопрос поступления в вуз. Отец Френкеля был евреем, и этого, как видно, оказалось достаточно, чтобы лишить его всякой возможности пробиться в МГУ (евреев крайне неохотно принимали во все сферы науки, так или иначе связанные с физикой; поговаривали, что государство опасается, что они наберутся знаний о ядерной программе, а потом эмигрируют в Израиль). Однако приемная комиссия сохраняла иллюзию честности и беспристрастности. Френкеля допустили до вступительных экзаменов, однако устный экзамен по математике обернулся пятичасовой садистической пыткой с абсурдными диалогами в духе Алисы в стране чудес. (Экзаменатор: «Каково определение окружности?» Френкель: «Окружность – это набор точек на плоскости, равноудаленных от данной точки». Экзаменатор: «Неправильно! Окружность – это набор всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки».)
Утешительным призом для Френкеля стало место в Московском институте нефти и газа (который цинично именовали Керосинкой), служившем тихой гаванью для студентов-евреев. Но Френкель признается, что тяга к чистой математике была в нем так сильна, что он, чтобы попасть на семинары в МГУ, пробирался на тщательно охраняемую территорию мехмата сквозь шестиметровую ограду, где в одном месте был отогнут прут. Вскоре незаурядные способности стяжали Френкелю известность среди московских математиков, и ему поручили работу над нерешенной задачей, из-за которой он надолго оказался на грани бессонницы. «А потом внезапно это случилось… Впервые в своей жизни я обладал чем-то, чего не было больше ни у кого в мире», – вспоминает он. Задача, которую он решил, относилась к другой разновидности абстрактных групп – группам кос, которые так называются, поскольку возникают из систем сплетенных кривых, и в самом деле очень похожих на переплетенные пряди волос.
Несмотря на этот и другие успехи, которых Френкель достиг еще в юности, профессиональные перспективы для него как для квази-еврея были туманными. Однако его таланты привлекли внимание зарубежных математиков. В 1989 году в его почтовом ящике оказалось неожиданное письмо от Дерека Бока, президента Гарвардского университета. В письме было обращение «доктор», хотя у Френкеля еще не было даже диплома о высшем образовании. Ему предложили почетную стипендию в Гарварде. «Раньше мне уже доводилось слышать о Гарвардском университете, но, должен признаться, в то время я не понимал его значимости в научном мире», – вспоминает Френкель. В возрасте всего 21 года Френкелю предстояло стать приглашенным профессором математики в Гарварде – безо всяких официальных обязанностей, кроме необходимости время от времени читать лекции о своей работе. Не меньшим сюрпризом стало для него получение выездной визы СССР меньше чем за месяц: он стал одним из первых евреев-математиков, покинувших Советский Союз в эпоху перестройки (иногда эту волну называют исходом).
Адаптация к американскому образу жизни прошла у Френкеля достаточно гладко. Он дивился «капиталистическому изобилию» в проходах бостонского супермаркета, «приобрел крутейшие джинсы и плеер Sony», а чтобы изучить английский во всех его иронических нюансах, прилежно смотрел каждый вечер телешоу Дэвида Леттермана. А главное – в Гарварде он познакомился с другим евреем-эмигрантом из СССР, который и пригласил его в программу Ленглендса.
Программа Ленглендса, как и теория Галуа, началась с письма. Это письмо написал в 1967 году Роберт Ленглендс, которому тогда было едва за тридцать, коллеге из Института передовых исследований Андре Вейлю. Ленглендс выдвинул гипотезу о глубокой аналогии между двумя теориями, находившимися на противоположных концах математической вселенной – теорией групп Галуа, которая касается симметрий в мире чисел, и гармоническим анализом, который изучает, как из простых гармоник (партий отдельных инструментов) складываются сложные волны (скажем, звуки симфонии). В мире гармоник есть определенные структуры, так называемые автоморфные функции, которые откуда-то «знают» о загадочных закономерностях мира чисел. Таким образом, методы одного мира, вероятно, можно задействовать для выявления скрытых гармоний в другом, предположил Ленглендс. Впрочем, добавил ученый, если Вейль сочтет высказанные в письме догадки неубедительными, «не сомневаюсь, у вас под рукой найдется мусорное ведро».
Однако Вейль, авторитетная фигура в математике XX века (он умер в 1998 году в 92 года), оказался благодарным слушателем. В письме к сестре Симоне, написанном в 1940 году, он живо описал всю важность аналогий в математике. Ссылаясь на «Бхагавадгиту» (Вейль был еще и специалистом по санскриту), Андре рассказал Симоне, что подоб