но тому, как индийский бог Вишну обладал десятью разными обличьями, простое на первый взгляд математическое равенство может выражаться в самых разнообразных абстрактных структурах. А тонкие аналогии между такими структурами он уподобил «внебрачным связям»: «мало что доставляет специалисту больше наслаждения». Между прочим, писал он из французской тюрьмы, где отбывал срок за дезертирство (после того как в Финляндии его чуть не казнили как шпиона).
Программа Ленглендса – это система предположений, которые призваны превратить подобные гипотетические аналогии в прочные логические мосты, связывающие разные математические острова в море невежества. А можно считать ее Розеттским камнем, с помощью которого представители математических племен, обитающих на этих островах – специалисты по теории чисел, алгебраической геометрии и топологии – обретут общий язык и объединят свои понятийные ресурсы.
Гипотезы Ленглендса пока по большей части не доказаны (исключение – гипотеза Таниямы – Симуры, которую сформулировали в 1950-е годы два японских математика, а в 1990-е доказал англичанин Эндрю Уайлс, с ее помощью установивший истинность Великой теоремы Ферма). Так верны ли они, эти загадочные конъектуры? Среди математиков царит подлинно платоническая убежденность, что иначе быть не может. Как заметил Иэн Стюарт, программа Ленглендса – «математика той разновидности, что она должна быть истинной просто потому, что она такая красивая». Она способна обеспечить единство высшей математики, благодаря которому настанет новый золотой век, когда мы, по выражению Френкеля, наконец поймем, что такое математика.
Поскольку ученой степени у Френкеля не было, его пришлось на время «отстранить» от обязанностей гарвардского профессора и «понизить» до аспиранта, чтобы он написал диссертацию – что он и сделал всего за год. (Когда Френкель в 1991 году выпускался из Гарварда, его лично поздравил Эдуард Шеварднадзе, один из архитекторов перестройки, который тогда же получил степень почетного доктора.) Темой диссертации Френкеля стало доказательство теоремы, которая помогла открыть новую главу в программе Ленглендса, расширив ее из царства чисел в геометрическое царство криволинейных поверхностей вроде поверхности бублика или шара. (Это так называемые римановы поверхности – в честь математика XIX века Бернхарда Римана.)
Для реализации программы Ленглендса потребовалось вывернуть наизнанку и перевернуть с ног на голову многие знакомые математические понятия, даже такие фундаментальные, как натуральные числа. Возьмем, к примеру, число 3. Оно скучное, у него нет никакой внутренней структуры. А теперь предположим, что вместо числа 3 мы взяли «векторное пространство» трех измерений, то есть пространство, где каждая точка задается тройкой чисел, со своими собственными правилами сложения и умножения. Тут уже можно получить что-то интересное – структуру, в которой симметрий будет больше, чем в греческом храме. «Современная математика – это сотворение нового мира, в котором числа оживают в образе векторных пространств», – пишет Френкель.
Богаче стали и другие основные понятия. «Функции», с которыми вы, скорее всего, сталкивались на уроках математики в старших классах – помните y=f(x)? – превратились в экзотические сущности под названием «пучки». (За реформу языка математики в ответе по большей части Александр Гротендик, которого принято считать величайшим математиком второй половины XX века.)
Следующим ходом был вывод программы Ленглендса за пределы математики как таковой. В семидесятые годы было замечено, что одна из главных ее составляющих, двойственная группа Ленглендса, неожиданно возникает и в квантовой физике. Это всех удивило. Неужели те же закономерности, которые смутно просматриваются в мирах чисел и геометрии, имеют параллели в теории, описывающей фундаментальные силы природы? Френкеля потрясла сама возможность провести связь между квантовой механикой и программой Ленглендса, и он с жаром принялся исследовать эту задачу, чему способствовал многомиллионный грант, который он с коллегами получил в 2004 году от Министерства обороны – на сегодня это самый крупный грант на исследования по чистой математике. (Чистая математика не просто изящна и аккуратна, но еще и дешева: математику нужен мел и немного денег на дорожные расходы. А еще она открыта и прозрачна, поскольку в ней нет изобретений, которые можно патентовать.)
Так Френкель начал сотрудничать с Эдуардом Виттеном, которого принято считать величайшим физиком-теоретиком наших дней (к тому же он, как и сам Ленглендс, работает в Институте передовых исследований в Принстоне). Виттен – виртуоз теории струн: современные физики опираются на эту теорию, чтобы объединить все силы природы, включая гравитацию, в один красивый математический «пакет». Виттен поразил Френкеля «нерушимой логикой» высказываний и «превосходным вкусом». Именно Виттен заметил, что «браны» (сокращение от «мембран»), существование которых постулируют теоретики струн, вероятно, аналогичны «пучкам» – изобретению математиков. Это открыло возможность для насыщенного диалога между программой Ленглендса, цель которой – объединение математики, и теорией струн, цель которой – объединение физики. Хотя энтузиазм по поводу теории струн несколько угас, поскольку ей не удалось, по крайней мере, пока, обеспечить рабочее описание Вселенной, связь с программой Ленглендса позволила сделать важные выводы об устройстве физики частиц.
Это был не первый случай, когда математические понятия, изучавшиеся за чистую красоту, впоследствии пролили свет на физический мир. «Как так может быть, что математика, будучи, в конце концов, продуктом человеческого разума, не зависящим от практического опыта, так восхитительно присуща объектам реального мира?» – изумлялся Эйнштейн. Френкель подходит к этому совсем иначе. С его точки зрения, математические структуры – это тоже «объекты реального мира», точно такие же реальные, как и все, что составляет физический и ментальный мир. Более того, они вовсе не продукты человеческого разума – они существовали вечно в собственном платоновском мире и лишь дожидались, когда математики их откроют. Убеждение, что математика обладает собственной реальностью, выходящей за пределы человеческого разума, не так уж редко среди ее адептов, особенно великих – так считают Френкель и Ленглендс, сэр Роджер Пенроуз и Курт Гёдель. Это убеждение коренится в наблюдениях над неожиданными проявлениями странных закономерностей и соответствий, намекающих на что-то скрытое и загадочное. Кто задал эти закономерности? Очевидно, это не наших рук дело.
Проблема с платоновским представлением о математике – причем Френкель с его мистическим мировоззрением вовсе не считает это проблемой – состоит в том, что математическое знание начинает восприниматься как чудо. Если математические объекты существуют отдельно от нас на каких-то платоновских небесах, выходящих за пределы физического мира пространства и времени, как человеческий разум «вступает с ними в контакт» и узнает что-то об их качествах и взаимоотношениях? Неужели все математики – экстрасенсы? Как заметил философ Хилари Патнэм, беда платонизма в том, что «он попросту не совместим с тем простым обстоятельством, что мы думаем мозгом, а не бестелесным духом».
Впрочем, пусть Френкель тешится своей платоновской фантазией. В конце концов, у каждого влюбленного масса романтических иллюзий об объекте своей любви. В 2009 году, когда Френкель был в Париже, поскольку получил премию Chaire d’Excellence, присуждаемую Парижским фондом математических наук, он решил снять короткометражный фильм о своей страсти к математике. Вдохновили его «Обряды любви и смерти» Юкио Мисимы, поэтому он назвал свой фильм «Обряды любви и математики». В этом немом фильме-аллегории в стиле театра но Френкель играет математика, который вывел формулу любви. Чтобы формула не попала в руки злодеев, он прячет ее от мира, а для этого татуирует бамбуковой палочкой на теле любимой женщины, а затем готовится принести себя в жертву ради защиты своего детища.
Премьера «Обрядов любви и математики» состоялась в Париже в 2010 году. Журнал Le Monde назвал его «ошеломительным короткометражным фильмом», который «представляет математиков в необычном романтическом свете». «Формулой любви» в этом фильме стало одно из открытий Френкеля (он вывел эту формулу, когда исследовал математические основания квантовой теории поля). Она прекрасна и грозна одновременно. И в нее входят всего три числа – единица, нуль и бесконечность. Не такова ли суть любви?
Глава седьмая. Аватары высшей математики
«Научные занятия чистой математикой… вероятно, требуют самого оригинального склада человеческого духа». Так заявил философ (и математик в прошлом) Альфред Норт Уайтхед. Но тогда странно, что те, кто занимается этой «наукой», все же ощущают потребность оправдать свое призвание, не говоря уже о средствах, которые выделяет им остальное общество на подобные занятия. Отметим, что Уайтхед упоминает именно чистую математику. Он не говорит о ее прикладной разновидности, которая культивируется за то, что приносит пользу эмпирическим наукам или применима в коммерческих целях (ее еще иногда пренебрежительно зовут «промышленной математикой»). Чистая математика не ведает подобных забот. Самые сложные ее проблемы коренятся в ее собственных внутренних тайнах.
Разумеется, время от времени исследования по чистой математике все же находят сугубо практическое применение. Золотая гусыня теории сносит золотое яйцо. Именно к такому свойству математики – порождать неожиданно полезные побочные продукты – и привлек внимание в 1959 году Эйбрахам Флекснер, основатель Института передовых исследований в Принстоне, в своей статье в журнале Harper’s Magazine под названием «Полезность бесполезных знаний» (Flexner, A., The Usefulness of Useless Knowledge). Однако «аргумент золотой гусыни» (по выражению гарвардского историка Стивена Шейпина) не слишком по душе чистым математикам. В частности, британский математик Г. Г. Харди прямо-таки с презрением относился к мысли, что у «настоящей» математики должно быть практическое значение. В своей книге «Апология математика», вышедшей в 1940 году, которую Дэвид Фостер Уоллес по праву назвал «самым понятным прозаическим произведением о математике в истории английской литературы», Харди утверждал, что цель математики та же, что и цель искусства: создание внутренней красоты. Полнейшая бесполезность его специальности – теории чисел – приносила ему подлинное наслаждение. Несомненно, Харди, скончавшийся в 1947 году, был бы крайне огорчен, узнав, что его «чистую» теорию чисел вынудили служить грязным делишкам – стать основой открытого ключа криптографии, который позволяет покупателям посылать зашифрованную информацию о кредитной карте в интернет-магазины, не обмениваясь секретными ключами шифрования, благодаря чему стала возможной электронная коммерция с оборотом в триллионы долларов, а без его трудов в другой области математики – функциональном анализе – не удалось бы выстроить модель Блэка – Шоулза, при помощи которой на Уолл-стрит оценивают опционы.