«Фракталист» – непоследовательная автобиография, в этой книге прослеживается своя фрактальная прерывистость. Несомненно, если бы автор прожил дольше, текст вышел бы глаже: его любовь пересматривать и переписывать неудачные черновики, как пишет Мандельброт, сопоставима с дотошностью Бальзака. Иногда на этих страницах встречаются и неприятно-высокомерные ноты («Пусть с моей стороны это и будет дерзостью, я заявляю…»), и прозрачные намеки на оскорбленное достоинство («Мне не нужна власть, я ни у кого не прошу одолжений… Академический мир не счел меня достойным».) Автор не особенно старается объяснить суть своих математических инноваций непосвященному читателю, в частности, не рассказывает, как понятие размерности служит критерием прерывистости фрактала (например, побережье Британии так извилисто, что его фрактальная размерность равна 1,25, то есть оно находится где-то между одномерной плавной кривой и двумерной гладкой поверхностью).
Впрочем, Мандельброта можно простить за то, что он не стал останавливаться на подобных технических подробностях. Его тон мемуариста тяготеет скорее к философии. Мир, в котором мы живем, отмечает он, – это «безбрежный океан сложности». Однако есть в нем и два «островка простоты». Во-первых, это евклидова простота гладких форм, открытая античными мыслителями. Во-вторых, это фрактальная простота самоподобной шероховатости, по большей части открытая самим Мандельбротом. Его геометрическая интуиция позволила ему выявить новую платоновскую сущность, свойственную неожиданно широкому диапазону вещей и явлений – от простой цветной капусты до утонченного множества Мандельброта. Восторг, с каким он относится к шероховатости, изломанности и сложности в формах, которые другие математики считали «чудовищными» и «патологическими», носит отчетливый отпечаток современности. И в самом деле, фракталы Мандельброта с их изысканными узорами, повторяющимися на все более и более мелких масштабах, заставляют вспомнить определение красоты, которое дал Бодлер: C’est l’infini dans le fini – «Бесконечное в конечном».
Часть четвертая. Большие размерности, абстрактные карты
Глава девятая. Геометрические создания
У нашего мира есть одна особенность, над которой останавливаются поразмыслить лишь немногие: это вопрос о том, сколько в нем измерений. Хотя довольно сложно сказать, что, собственно, это такое – измерение, – все же нам вполне очевидно, что окружающие нас предметы и пространство, в котором мы движемся, структурированы тремя измерениями, и их удобно называть высотой, шириной и глубиной. Это воспринимали как данность даже философы. Аристотель в самом начале трактата «О небе» пишет: «Три [измерения] суть все [измерения]»[13]. Почему? Потому что, утверждает он не без мистического флера, в числе 3 содержится начало, середина и конец, а следовательно, оно полно и совершенно. Менее мистическое доказательство трехмерности природы предложил александрийский астроном Птолемей. Если поставить три палки взаимно перпендикулярно и так, чтобы они сходились в одной точке, заметил Птолемей, четвертую добавить невозможно, поэтому большие размерности «не подлежат никакой мере и никакому определению». Впоследствии логику Птолемея подтвердили Галилей и Лейбниц, которые объявили, что три измерения пространства – это вопрос геометрической необходимости.
О «четвертом измерении» первыми заговорили кембриджские платоники, но они, похоже, имели в виду нечто скорее духовное, нежели пространственное. Один из них, Генри Мор, в 1671 году предположил, что четвертое измерение – это обиталище платоновских идей, а также, весьма вероятно, призраков. Примерно в то же время Декарт сделал на первый взгляд безобидный шаг – добавил дополнительную переменную к своей геометрии координат, что позволило ему дать определение четырехмерным sursolides. Робкие современники сочли это недопустимым, и в 1685 году математик Джон Уоллис списал это изобретение Декарта со счетов, назвав его «чудовищем по природе своей, менее правдоподобным, чем химера или кентавр!»
Кант, по крайней мере в ранних сочинениях, заигрывал с идеей, что трехмерное пространство может оказаться случайностью: возможно, предполагал философ, Господь создал и другие миры с другим числом измерений. Однако ко времени написания «Критики чистого разума» Кант решил, что пространство – не объективное свойство реальности, а навязано сознанием, чтобы привнести порядок в бытие. Более того, считал Кант, пространство в принципе может быть только евклидовым и трехмерным – это мы называем «аподиктической уверенностью». В 1817 году Гегель без особых доказательств предположил, что необходимость трех измерений основывается на самой природе идеи пространства.
Тем временем в мире математики уже приближалась революция. В первые десятилетия XIX века Гаусс, Лобачевский и Бойяи независимо исследовали «криволинейные геометрии», где кратчайшее расстояние между двумя точками уже не было прямой линией. В сороковые годы XIX века Артур Кэли и Герман Грассман, также независимо, расширили евклидовские рамки на пространства с числом измерений больше трех. Все эти новшества свел в единую величественную систему Бернхард Риман (1826–1866). В лекции перед сотрудниками Гёттингенского университета 10 июня 1854 года под названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», Риман опроверг евклидову ортодоксию, которая доминировала и в математике, и, разумеется, в западной мысли целых 2000 лет. По Евклиду, у точки ноль измерений, у линии – одно, у плоскости – два, у тела – три. Четырех измерений ни у чего быть не может. Более того, евклидово пространство «плоское»: параллельные линии в нем не пересекаются. Риман вышел за пределы обоих предпосылок и переписал уравнения геометрии так, чтобы они описывали пространства любой кривизны и любых размерностей. При этом он определил набор чисел, так называемый тензор, который характеризует кривизну пространства высоких размерностей в каждой точке.
Неевклидова n-мерная геометрия Римана была сугубо интеллектуальным изобретением, ее не вдохновляли никакие потребности тогдашней науки. 60 лет спустя его тензорное исчисление обеспечило идеальный аппарат для трудов Эйнштейна по общей теории относительности. Однако непосредственным результатом римановской революции стало разрушение устоявшихся представлений о геометрии как о науке, описывающей физическое пространство. Стало очевидно, что в трех измерениях нет никакой метафизической необходимости. Возможно бесконечное разнообразие миров других размерностей, их можно описать логически непротиворечивой теорией, а следовательно, с математической точки зрения они реальны. Это привело к интересной линии умозаключений. Способно ли человеческое воображение зримо представить себе такие миры? Каково было бы жить в них? Случайно ли, что из всех возможных пространственных структур мы обитаем именно в трехмерном мире? Или – еще более смелое суждение – может статься, мы и в самом деле обитаем в мире высшей размерности, однако, подобно узникам в платоновской пещере, не в силах это осознать по невежеству.
«Человек, посвятивший этому всю жизнь, вероятно, сможет в конце концов представить себе четвертое измерение», – писал Анри Пуанкаре в конце XIX века. По его словам, выходит, что задача эта пугающе сложна, но, вероятно, дело в том, что у него были очень высокие стандарты, поскольку он, как математик, обладал непревзойденным пространственным воображением. Остальные считали, что некоторые представления о четвертом измерении можно получить и за более скромное время. В 1869 году Джеймс Дж. Сильвестр в своем обращении к Британской ассоциации под названием «Оправдание математика» (Sylvester, J. J., Plea for the Mathematician) утверждал, что настала пора геометрии высших измерений заявить о себе. Сильвестр считал, что представить себе четыре измерения не так уж сложно, надо лишь потренироваться. Некоторые шарлатаны от математики заходили еще дальше. В 1877 году четвертое измерение стяжало себе печальную известность, когда американский спирит Генри Слейд предстал перед лондонским судом по обвинению в мошенничестве. Он проводил сеансы с членами высшего лондонского общества и утверждал, что призывает духов из четвертого измерения. В защиту Слейда выступили выдающиеся физики, в том числе два будущих нобелевских лауреата: Слейд умудрился одурачить даже их своим талантом к салонным фокусам, в которых якобы было задействовано это невидимое расширение пространства (например, он чудесным образом извлекал предметы из наглухо запечатанных трехмерных емкостей). Слейд был признан виновным, однако таинственное четвертое измерение завладело воображением публики. В этой атмосфере викторианский школьный учитель Эдвин Э. Эбботт написал первое научно-фантастическое произведение на эту тему – маленький шедевр под названием «Флатландия. Многомерный роман», которому сопутствовала самая долгая слава в этом жанре.
«Флатландия» впервые вышла в свет в 1884 году и с тех пор выдержала бессчетное множество изданий; предисловия к ней в числе прочих писали Рэй Брэдбери и Айзек Азимов. По-моему, лучшее издание – это издание 2002 года с примечаниями Иэна Стюарта «Аннотированная Флатландия» (The Annotated Flatland). Зачем понадобились примечания? Дело в том, что, как следует из подзаголовка, у самой Флатландии несколько измерений: это научная фантастика, заставляющая читателя воображать невиданные пространства, сатира на викторианские нравы, особенно касающиеся женщин и общественного положения, и аллегория духовного пути.
Эдвин Эбботт был типичный неутомимый викторианец, удостоенный в «Словаре национальных биографий» (Dictionary of National Biography) двух страниц по два столбца. Он долгое время был директором Школы лондонского Сити, где в число его преданных учеников входил будущий премьер-министр Г. Г. Асквит. Был Эбботт и реформатором «Широкой церкви» и прославился проповедями в Оксфорде и Кембридже. Страстный поклонник Шекспира, он составил «Шекспировскую грамматику» (