Из теории струн следует, что нас окружают невидимые измерения, и если окажется, что это правда – очень большое «если», кстати – это станет очередной коперниковской революцией, поскольку перевернет представления о нашем месте в порядке вещей. Как выразился физик Нима Аркани-Хамед, «Земля – не центр Солнечной системы, Солнце – не центр нашей Галактики, наша Галактика – всего лишь одна из миллиардов себе подобных во Вселенной, не имеющей центра, а теперь еще и вся наша трехмерная Вселенная может оказаться тонкой мембраной в полномасштабном многомерном пространстве. Если рассмотреть сечения через дополнительные измерения, то окажется, что наша Вселенная занимает одну бесконечно малую точку в каждом сечении, а вокруг пустота».
Остается один важный вопрос, который Эдвин Эбботт во «Флатландии» не затронул. Этот вопрос неявно задал Аристотель (впрочем, и он оставил его без удовлетворительного ответа): почему наш привычный мир имеет три измерения? С середины XIX века известно, что это не вопрос геометрической необходимости. Способна ли наука дать на него ответ? Или это просто космическая случайность?
Сторонники теории струн выдвинули несколько необычайно элегантных и изящных гипотез, объясняющих, как из девяти пространственных измерений, которые предполагает эта теория, после Большого взрыва раздулись до огромных размером ровно три, а остальные шесть оказались задавлены и остались крошечными. Но есть и другое объяснение, вероятно, более понятное: в мире, где количество пространственных измерений отличается от трех, не могут существовать существа вроде нас. В пространстве с размерностью выше трех невозможны стабильные орбиты планет (это доказал 100 лет назад Пауль Эренфест). Не будет в нем и стабильных орбит для электронов внутри атомов. Поэтому в мире, где больше трех измерений, не будет никакой химии, а следовательно, никаких живых существ, чье существование основано на химических процессах.
А что можно сказать о мире, где пространственных измерений меньше трех? Как уже отмечалось, в двумерной Флатландии, как и в других пространствах с четным числом измерений, не могут без помех распространяться звуковые волны. Однако трудности не ограничиваются звуком – в пространстве с четным числом измерений невозможно передавать четкие сигналы любого вида. А значит, в этом мире нельзя и перерабатывать информацию, без чего немыслима разумная жизнь. Так что методом исключения (пусть читатель в качестве упражнения подумает, почему разумная жизнь не могла бы существовать в одномерной Лайнландии) мы приходим к выводу, что единственный мир, подходящий для существования созданий вроде нас – перерабатывающих информацию и основанных на химических процессах – это мир, в котором пространственных измерений ровно три.
Поэтому неудивительно, что мы очутились в трехмерном мире. (Физики называют это «антропный принцип»). И нечего роптать. В фундаментальном смысле трехмерное пространство – самое богатое из всех возможных. Чем оно лучше одномерного и двумерного, очевидно: в Лайнландии и Флатландии нет места для интересной сложности. (Вспомните, как визуально бедна жизнь во Флатландии, где все предметы выглядят как отрезки.) Что до пространств с четырьмя и больше измерениями, там все слишком «легко»: так много степеней свободы, так много вариантов поворотов и движений, что любые сложности сразу реконструируются и исчезают. Нужный градус творческого напряжения достигается лишь в трехмерном пространстве – вот, наверное, почему математики считают его самым интересным и трудным для изучения.
Возьмем хотя бы гипотезу Пуанкаре, одну из величайших и самых неподатливых задач современной математики. В целом она гласит, что любое n-мерное тело, обладающее определенным алгебраическим свойством, можно при помощи разных манипуляций превратить в n-мерную сферу. Пуанкаре сформулировал эту гипотезу в 1904 году. К 1961 году удалось доказать, что она справедлива в любых пространствах пяти измерений и выше. В 1982 году гипотеза была доказана для четырехмерного пространства. Но лишь в нашем веке Григорию Перельману удалось разобраться с самым, как выяснилось, сложным случаем гипотезы Пуанкаре – случаем трехмерного пространства.
Приучив себя к мысли о «более пространственном пространстве», чем наш трехмерный мир, мы, несомненно, расширили границы своего воображения, и это способствовало научному прогрессу. И теперь мы, несомненно, можем понять, почему Квадрату, не говоря уже о всевозможных теософах, платониках и кубистах, так хотелось вознестись в чертоги четвертого измерения и дальше. Но нам не обязательно следовать за ними. Что касается интеллектуальных богатств и эстетического разнообразия, нам вполне достаточно трехмерного мира.
Глава десятая. Комедия красок
Полтораста лет назад один студент, раскрашивая карту Англии, заметил, что ему хватает всего четырех цветов, чтобы соседние графства, например, Кент и Саффолк, не получились одного цвета. Это подтолкнуло его к мысли, что четырех цветов хватит для любой карты – и настоящей, и придуманной. Он поделился этой досужей идеей с братом. Брат, в свою очередь, рассказал о ней одному выдающемуся математику, который, немного поэкспериментировав и проверив, правдоподобна ли эта гипотеза, попытался ее доказать – и не сумел.
В последующие десятилетия при попытке решить проблему четырех красок оказались в тупике и многие другие математики, а с ними и множество дилетантов, в том числе великий французский поэт, основатель американского прагматизма и по меньшей мере один епископ Лондонский. Формулировка этой задачи так проста, что ее поймет каждый ребенок, но при этом она соперничала с Великой теоремой Ферма за звание самой знаменитой головоломки в истории математики. Наконец, в 1976 году мир узнал, что загадка разгадана. Однако когда стало известно, как именно это было сделано, праздничное настроение сменилось огорчением, скептицизмом и откровенным недоверием. Оказалось, что проблема, считавшаяся задачей чистой математики, обернулась философским вопросом, точнее, даже двумя: во-первых о том как в научном сообществе положено подтверждать свои претензии на математические знания, а во-вторых о том, может ли машинный интеллект помочь нам усвоить априорные истины.
При всей своей математической и философской занятности проблема четырех красок не имела очевидного практического применения, по крайней мере, для картографов, которые не проявляют склонности минимизировать количество используемых цветов. Однако, чтобы подойти к задаче, полезно взглянуть на атлас. Обратимся к карте Европы – к той ее части, где расположены Бельгия, Франция, Германия и Люксембург. Каждая из этих стран граничит с остальными тремя, поэтому очевидно, что для того, чтобы они не сливались, потребуется не меньше четырех красок. Вероятно, читатель сочтет, что четыре цвета нужны только тогда, когда на карте есть подобный квартет соседствующих друг с другом областей. Если вы так думаете, обратитесь к карте США и посмотрите на штат Невада, окаймленный пятью другими штатами (Калифорния, Орегон, Айдахо, Юта и Аризона). Ни одна комбинация штатов не соседствует друг с другом так, как Бельгия, Франция, Германия и Люксембург. Однако это скопление в целом невозможно раскрасить меньше чем четырьмя цветами так, чтобы никакая пара штатов не сливалась, в чем легко убедиться самостоятельно. С другой стороны, Вайоминг и шесть окружающих его штатов вполне можно раскрасить всего тремя цветами – какой удар для интуиции!
Некоторым картам нужно четыре краски, и этого достаточно. Проблема четырех красок гласит, что невозможно составить карту, которой было бы нужно больше четырех цветов. Что значит «доказать» такую гипотезу? Варианта два. Предположим, как считают некоторые математики, что она ложна. Тогда достаточно нарисовать всего одну карту, для раскрашивания которой нужно пять и более цветов, и вопрос закрыт. (В апреле 1975 года Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American сложнейшую карту из 110 регионов, которую, по его словам, невозможно было раскрасить меньше чем пятью цветами. Сотни читателей прислали в редакцию копии карты, старательно раскрашенные всего в четыре цвета: должно быть, они не сообразили, что Гарднер решил порадовать себя маленькой первоапрельской шуткой.) А чтобы доказать, что гипотеза четырех цветов верна, придется показать, что любая мыслимая карта – а их бесконечно много – может быть раскрашена всего четырьмя красками, какими бы многочисленными, сложнозакрученными и перепутанными ни были обозначенные на ней области.
Поэтому простота проблемы четырех красок обманчива. А чтобы осознать, насколько обманчива, стоит взглянуть на долгую историю попыток ее доказать или опровергнуть – настоящую комедию ошибок. Судя по всему, Фрэнсис Гатри, который в 1852 году заподозрил, что хватит и четырех красок, считал, что доказал свою гипотезу. Впоследствии Гатри стал профессором математики в Южной Африке, однако за всю свою жизнь не опубликовал ни одной работы, касающейся проблемы четырех красок: очевидно, его больше интересовала ботаника (в его честь назван вид вереска). Однако он обсуждал проблему со своим младшим братом Фредериком, который привлек к ней внимание своего профессора математики Огастеса де Моргана. Де Морган был очень способным математиком и важной фигурой в истории логики. Проблема четырех красок заинтересовала его, и он очень увлекся мыслью, что если карта содержит четыре взаимно граничащие области, одна из них должна быть полностью окружена остальными тремя (если вернуться к вышеприведенному примеру, то Люксембург полностью окружен Бельгией, Францией и Германией). Де Морган полагал – ошибочно, – что эта «скрытая аксиома» необходима для доказательства гипотезы, над которым он ломал голову до самой своей смерти – он скончался в 1871 году.
Именно де Морган впервые упомянул о гипотезе четырех красок в печати, причем не где-нибудь, а в анонимной философской заметке, которую он послал в 1860 году в популярный литературный журнал