абсолютного, априорного знания, и это подозрительно. Самое большее, что мы можем сказать, – что она, вероятно, верна, подобно физическим теориям, стоящими за действиями машины, которая помогла доказать ее.
Доказательство теоремы четырех красок стало прорывом, знаменовавшим сдвиг в математической практике. С тех пор с помощью компьютеров было доказано несколько других гипотез (особо стоит отметить доказательство несуществования конечной плоскости порядка 10, выведенное в 1988 году). Между тем математики подчистили доказательство Хакена – Аппеля, и теперь компьютерная часть стала гораздо короче, так что кое-кто надеется, что когда-нибудь будет найдено традиционное доказательство теоремы четырех красок, которое подарит нам и красоту, и просветление. Ведь именно жажда просветления подвигла столь многих на работу над этой проблемой на протяжении ее долгой истории и даже на то, чтобы посвятить ей жизнь. (Один математик заставил молодую супругу раскрашивать карты во время медового месяца.) Даже если сама по себе теорема четырех красок относится скорее к математическим развлечениям, в ходе неудачных попыток ее доказать было получено много полезной математики. К тому же она, несомненно, обеспечила философам последних нескольких десятилетий огромные запасы пищи для ума. Что же до более общих ее результатов, тут трудно быть в чем-то уверенным. Рассматривая карту Соединенных Штатов на форзаце толстого словаря, который я когда-то выиграл в состязании грамотеев среди нью-йоркских журналистов, я с легким удивлением заметил, что раскрашена она ровно четырьмя красками. Как печально, что штаты Арканзас и Луизиана, у которых есть общая граница, оказались раскрашены синим.
Часть пятая. Бесконечность большая и малая
Глава одиннадцатая. Видения о бесконечном. Георг Кантор против Дэвида Фостера Уоллеса
Едва ли какая-то идея по богатству истории способна потягаться с идеей бесконечности. Она зародилась среди древних парадоксов, две тысячи лет ставила философов в тупик, а затем, в конце XIX века, отважный интеллектуальный подвиг заставил ее выдать свои тайны – впрочем, взамен она оставила целую кучу новых парадоксов. Проследить за развитием сюжета можно безо всякого специального образования: основные открытия, несмотря на обеспечившую их изобретательность, можно описать несколькими закорючками на салфетке во время вечеринки с коктейлями. Все это делает бесконечность непреодолимо соблазнительным материалом для популяризатора науки, и за долгие годы о ней появилось довольно много книг.
Самой выдающейся фигурой, попробовавшей себя в этом деле, был Дэвид Фостер Уоллес. Как вправе заподозрить читатели «Бесконечной шутки», ее автор обладал глубоким и тонким пониманием математики и метафизики. А книга «Все и еще немножко. Компактная история ∞» (Wallace, D. F., Everything and More: A Compact History of ∞), написанная за пять лет до самоубийства Уоллеса в 2008 году в возрасте 46 лет, стала попыткой посвятить несведущего в математике читателя в тайны бесконечного.
В сущности, странно, что конечные существа вроде нас умудрились что-то узнать о бесконечности, если учесть, что мы не способны непосредственно воспринимать ее. Декарт полагал, что представление о бесконечности у нас врожденное, однако поведение детей это опровергает: в ходе одного исследования младшие школьники «рассказывали, что “считают и считают” в попытке добраться до последнего числа и после долгих усилий приходят к выводу, что его не существует». Так ли иначе, человек, который приложил больше всех стараний, чтобы облечь бесконечность в теорию, утверждал, что озарения дарованы ему Богом, и окончил свои дни в сумасшедшем доме.
Вообще говоря, есть две версии бесконечности. Относительно путаная и мистическая, которую можно назвать метафизической бесконечностью, ассоциируется с идеями вроде совершенства, абсолюта, Бога. Относительно строгая математическая бесконечность – это как раз та бесконечность, о которой решил рассказать Уоллес. Она коренится в идее отсутствия предела: время, которое течет вечно, пространство, которое можно подразделять безо всяких ограничений, числа, которые можно генерировать сколько угодно. Метафизическая бесконечность имеет тенденцию пробуждать в тех, кто над ней размышляет, благоговейный восторг, а математическая на протяжении большей части западной интеллектуальной истории служит объектом крайних подозрений и даже презрения. Впервые она появилась в V веке до н. э. в парадоксах Зенона Элейского. Зенон утверждал, что если пространство можно делить бесконечно, то быстроногий Ахиллес никогда не обгонит черепаху: за то время, пока он окажется там, где была черепаха, та уползет немного дальше – и так до бесконечности, ad infinitum. Такие парадоксы были настолько травмоопасными, что Аристотель решил изгнать идею «полной» бесконечности из греческой мысли – и задал направление всей философии на ближайшие 2000 лет.
Последовавшая реабилитация бесконечности опирается на другой парадокс, сформулированный в 1638 году Галилеем. Рассмотрим все целые числа: 1, 2, 3, 4 и так далее, – предлагает Галилей. Теперь рассмотрим только квадраты: 1, 4, 9, 16 и так далее. Целых чисел, конечно, больше, чем квадратов, поскольку квадраты – лишь часть целых чисел, причем малая. Однако, замечает Галилей, есть способ сопоставить квадраты с целыми числами: 1 с 1, 2 с 4, 3 с 9, 4 с 16 и так далее. Когда таким образом создают два соотносящихся конечных множества – каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества и наоборот, – чтобы понять, что они одинакового размера, не обязательно проделывать утомительные подсчеты. Однако, распространив этот принцип на бесконечные множества, Галилей обнаружил, что тяготеет к выводу, что квадратов столько же, сколько целых чисел, и точка. То есть часть равна целому – мысль, которая самому Галилею показалась нелепой.
Два с половиной века спустя Георг Кантор положил парадокс Галилея в основу математической теории бесконечности. Кантор (1845–1918) – немецкий математик, родившийся в России и отличавшийся художественными наклонностями и обостренным интересом к богословию. Он понял, что крах привычной логики части и целого дает новое определение бесконечности, которое не опирается на смутное представление о чем-то беспредельном. Бесконечное множество, как описывал его Кантор, это множество того же размера, что и некоторые его части. Иначе говоря, бесконечное множество – это множество, которое может потерять некоторые элементы, но от этого не уменьшается.
Теперь у Кантора появилась возможность задать новаторский вопрос: все ли бесконечности равны или некоторые равнее других?
Кантор стал искать бесконечность больше, чем целые числа, и начал с рассмотрения множества дробей. Казалось бы, это был верный кандидат, поскольку дроби организованы на числовой прямой очень плотно: между каждыми двумя целыми числами бесконечно много дробей (например, между 0 и 1 лежат /2, 11/3, 1/4, 1/5 и так далее). Однако Кантор, к своему удивлению, быстро нашел простой способ однозначно сопоставить целые числа и дроби. Несмотря на первоначальное впечатление, эти две бесконечности оказались одинаковыми. Возможно, подумал ученый, все бесконечные множества одинаковой величины просто потому, что они неисчерпаемы. Но затем он рассмотрел множество вещественных чисел, тех самых, которые отмечают точки на непрерывной прямой. Удастся ли и их однозначно сопоставить с целыми числами? Кантор разработал непревзойденно хитроумное доказательство, так называемый диагональный способ, и доказал, что ответ отрицательный. Иначе говоря, есть по крайней мере две разные бесконечности, бесконечность целых чисел и бесконечность континуума, и вторая больше первой.
Но это был еще не конец. Кантор стал искать все более крупные бесконечности и обратился к пространствам высших размерностей. Ведь на двумерной плоскости, рассудил он, точек наверняка больше, чем на одномерной линии. Года два он пытался доказать, что точки на плоскости нельзя однозначно сопоставить с точками на линии – и все это увенчалось тем, что в 1878 году он обнаружил, что на самом деле такое соответствие возможно. Простой трюк показал, что на отрезке длиной в дюйм точек ровно столько же, сколько во всем пространстве. «Я это вижу, но не верю своим глазам!» – писал Кантор коллеге.
После открытия, что ни размер, ни размерность не делают бесконечность больше, поиски забуксовали. Но через десять лет упорного труда (с перерывом на лечение в санатории после нервного срыва) Кантор вывел новый фундаментальный принцип, который позволил ему продолжить восхождение: множеств вещей всегда больше, чем самих вещей. В конечном мире это довольно очевидно. Если у вас, скажем, три предмета, из них можно составить восемь разных множеств (в том числе, естественно, пустое). Гениальность Кантора состояла в том, что он обобщил этот принцип на царство бесконечного.
Чтобы все стало чуть менее абстрактным, давайте представим себе, будто мы живем в мире, где бесконечно много людей. Теперь рассмотрим все возможные клубы (множества людей), которые могут существовать в таком мире. Самый неэксклюзивный из этих клубов – универсальный клуб, в который входят абсолютно все до единого. Самый эксклюзивный – нулевой клуб, в котором нет ни одного члена. Между этими крайностями лежит бесконечное множество других клубов – в одних членов очень много, в других всего несколько. Насколько велика эта бесконечность? Есть ли способ однозначно сопоставить людей и клубы, показав тем самым, что два бесконечных набора на самом деле одного размера? Предположим, каждого человека можно сопоставить с одним и только одним клубом и наоборот. Одни люди окажутся членами клубов, с которыми сопоставлены (например, человек, сопоставленный с универсальным клубом). Другие по чистой случайности не будут членами клуба, с которыми ассоциированы (например, человек, сопоставленный с нулевым клубом). Эти люди войдут в клуб, который можно назвать «Граучо-клубом». Граучо-клуб – это своего рода общество изгоев: он состоит из людей, сопоставленных с клубами, в которые их не приняли. Поэтому человек, сопоставленный с нулевым клубом, в который он, естественно, не входит, может утешиться, что его приняли хотя бы в Граучо-клуб.