йный пробел между числом и формой, статикой и динамикой. Возьмем хотя бы задачу о площади круга. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми, скажем, треугольника или квадрата – задача несложная. Но что делать, если границы фигуры криволинейны, как, например, у круга? Есть хитрый способ выйти из положения: притвориться, будто круг – это такой многоугольник, состоящий из бесконечного множества прямолинейных сегментов, каждый бесконечно малой длины. Именно такой подход позволил Архимеду в конце III века до н. э. вывести современную формулу площади круга с числом p. Однако Архимеду пришлось отказаться от применения бесконечности из-за евклидовых структур. Он был вынужден оформить свое доказательство как reductio ad absurdum, причем дважды reductio: круг он уподобил конечному многоугольнику, у которого число сторон все больше и больше. Это неуклюжее доказательство получило название «метод исчерпывания», поскольку предполагал постепенное «исчерпывание» площади криволинейной фигуры замещением ее сетью из все более и более мелких прямолинейных фигур.
Для статической геометрии метод исчерпывания оказался вполне действенным как альтернатива запретному бесконечно малому. Однако он оказался бесплодным для решения задач динамики, когда до бесконечности нужно дробить и пространство, и время. Например, падающее на землю тело постоянно ускоряется под воздействием гравитации. У него нет фиксированной скорости ни для какого конечного промежутка времени, пусть даже и в тысячную долю секунды: его скорость меняется каждый «миг». Аристотель считал понятие мгновенной скорости бессмысленным, евклидова аксиоматика не извлекала из нее никакой пользы. Осмыслить движение с постоянным ускорением можно было только рассуждениями с полной опорой на понятие бесконечно малого. Но именно таких рассуждений греки боялись как огня из-за horror infiniti – наследия Зенона. Вот почему греческая наука оградила сама себя от попыток математически атаковать задачи о веществе в движении. Физика под влиянием Аристотеля стала наукой качественной, а не количественной, а о пифагорейской цели познать мир через число все забыли. Да, греки накопили много конкретных знаний о природе, однако любовь к строгим ограничениям не позволила им открыть ни единого физического закона.
Несмотря на то, что Аристотель и Евклид подвергли бесконечно малое остракизму, эта идея не полностью исчезла из западной мысли. Благодаря сильному влиянию Платона, который в отличие от Аристотеля не ограничивал все сущее одним лишь миром чувственного восприятия, бесконечно малое продолжило свою мутноватую карьеру объекта трансцендентных спекуляций. Неоплатоники, в том числе Плотин, и раннехристианские богословы вроде святого Августина отождествили бесконечность с Богом и тем самым восстановили ее репутацию. Средневековые философы потратили на диспуты о бесконечно малом даже больше времени, чем о бесконечно большом.
В эпоху Возрождения платонизм снова вошел в моду, и бесконечно малое просочилось обратно в математику, хотя в несколько мистическом обличье. Иоганн Кеплер полагал, что бесконечно малое существует как ниспосланный свыше «мост непрерывности» между криволинейным и прямолинейным. Логические тонкости его не особенно интересовали – «Природа учит геометрии интуитивно, безо всякой рационализации», – писал он. Поэтому в 1612 году он применил бесконечно малое для расчета идеальных пропорций важнейшего предмета – винного бочонка. И его расчеты оказались верными.
Теплые чувства Кеплера к бесконечно малому разделяли Галилей и Ферма. Все трое понемногу сдвигались от бесплодных структур евклидовой геометрии в сторону плодородной, пусть и несколько нестрогой и буйной, науке о движении, описывавшей перемещение тел в бесконечно делимых пространстве и времени. Но эти натурфилософы оказывались в некоторой богословской западне, из которой было никак не выбраться: как настоящая бесконечность, которую следует считать атрибутом исключительно Господа, может существовать в конечном мире, который Он создал?
Сильнее всего этот вопрос взволновал Блэза Паскаля. Природа являет нам две бесконечности как непостижимые тайны, которыми нужно восхищаться, а не пытаться их понять, писал Паскаль. И применять в рассуждениях, мог бы он добавить. Ведь Паскаль был еще и математиком и свободно вводил бесконечно малые величины в свои расчеты площадей криволинейных фигур. Трюк состоял в том, чтобы опустить их как пренебрежимо малые, как только удавалось получить желаемый конечный ответ. Это оскорбляло логические чувства его современников вроде Декарта, но критикам Паскаль отвечал, в сущности, что чего разумом не понимаешь, то сердцем чувствуешь.
Труды Паскаля предвосхитили современную науку о природе, однако он (как и Ферма и Галилей) так и не порвал с евклидовой традицией. Но геометрия в одиночку никак не могла совладать с бесконечно малым, а без этого невозможно было исчислить движение. Укротить бесконечно малое удалось Ньютону и Лейбницу лишь в шестидесятые-семидесятые годы XVII века, когда они более или менее одновременно разработали «математический анализ бесконечно малых», который мы теперь знаем просто как математический анализ. Древние философские сложности с бесконечно малыми величинами сменились чистейшим восхищением их научным плодородием.
А в руках Ньютона бесконечно малые оказались плодородными до предела. Хотя соперник Ньютона Лейбниц придумал более элегантную систему формул для математического анализа бесконечно малых, которой мы пользуемся сегодня, именно Ньютон применил этот новый инструмент для осмысления вселенской гармонии. Он сформулировал законы движения и тяготения, а затем поставил перед собой задачу вывести из них точные параметры орбиты планеты вокруг Солнца. Задача была поистине неподъемная, если учесть, что скорость планеты и расстояние от Солнца постоянно меняются. Ньютон не сразу стал подступаться к форме орбиты, а придумал изобретательный прием: разбить ее на бесконечное число сегментов, а затем сложить воздействие гравитационной силы солнца на скорость планеты в каждом бесконечно малом сегменте.
Мгновенную скорость, понятие, которое ставило в тупик предшественников Ньютона, он определил как отношение двух исчезающе малых величин: бесконечно малого расстояния, пройденного за бесконечно малое время. Ньютон назвал такое соотношение бесконечно малых величин «производной». Вот простой пример того, как он применял бесконечно малые величины. Представим себе камень, падающий с крыши здания. По пути к земле камень постоянно ускоряется под воздействием земной гравитации. За t секунд он пролетает 16t футов, то есть к концу 1 секунды он пролетит 16 футов (=16×122), к концу 2 секунды – уже 64 фута (=16×22), а к концу 3 секунды 144 фута (=16×32) и так далее. Очевидно, скорость камня непрерывно растет. Теперь предположим, что вы ходите узнать мгновенную скорость камня в какой-то конкретный момент его падения – в момент t. Согласно рассуждениям Ньютона, такая мгновенная скорость – это отношение двух бесконечно малых величин: бесконечно малое расстояние, пройденное сразу после момента t, деленное на бесконечно малое время. Теперь вычислим это отношение, обозначив бесконечно малый отрезок времени ε. В момент t секунд камень уже пролетел 16t2 футов. Бесконечно малое время спустя, в момент t+ε, он пролетел уже 16(t+ε)2 футов. Таким образом, расстояние, которое он пролетает за это бесконечно малое время, это разность между двумя расстояниями: 16(t+ε)2-16t2 футов. Раскроем скобки и получим 16t2+32tε+16ε2-16t2 футов, что упрощается в 32tε+16ε2. Теперь, чтобы получить мгновенную скорость камня, надо поделить это бесконечно малое расстояние на бесконечно малое время, то есть на ε. Таким образом, отношение бесконечно малых выглядит как (32tε+16ε2)/ε. Сократим ε и получим 32t+16ε. Но поскольку слагаемое 16ε бесконечно мало (бесконечно малая величина, умноженная на конечное число, остается бесконечно малой), его можно, в сущности, считать равным нулю, по крайней мере, так полагал Ньютон. Следовательно, мгновенная скорость падающего камня в момент t составляет 32t фута в секунду. Через три секунды после падения камень падает со скоростью 32×3=96 футов в секунду.
Проделав по тому же принципу гораздо более сложные вычисления, Ньютон обнаружил, что планеты должны двигаться по эллиптическим орбитам с солнцем в одном из фокусов, то есть пришел в точности к эмпирическому закону, который Кеплер сформулировал на основе обширных астрономических наблюдений, сделанных в XVII веке астрономом Тихо Браге. Так Ньютон сумел объединить движение небесное и земное – а все благодаря математическому анализу бесконечно малых.
Доказательство закона об эллипсах, которое проделал Ньютон, – самое выдающееся достижение научной революции. Явное следствие из него – что природа подчиняется логике – сделало первооткрывателя святым покровителем Просвещения. В 1727 году Вольтер, побывав на похоронах Ньютона, проведенных с королевскими почестями, писал: «Недавно одна ученая компания обсуждала пустой и легкомысленный вопрос: “Кто был величайшим человеком в истории – Цезарь, Александр, Тамерлан или Кромвель?” Кто-то ответил, что это был Исаак Ньютон. И по праву: ведь нам стоит со всем почтением относиться именно к нему, к тому, кто обуздал наш разум силой истины, а не к тем, кто поработил его насилием». Одним движением Ньютон преобразил телеологически-насыщенный космос Аристотеля в упорядоченную, рациональную машину, которая может служить философам образцом для переустройства человеческого общества. Возвысив закон природы до положения объективного факта, ньютоновское мировоззрение вдохновило Томаса Джефферсона заявить, что нарушенный договор дает американцам «полученное по законам природы» право восстать против Георга III.