е логики. И тогда теорема о полноте гарантирует, что пока эти утверждения взаимно непротиворечивы, то есть из них не следует никакого противоречия, существует такое толкование, при которой все эти утверждения истинны. Такая интерпретация называется моделью для этих утверждений. Рассмотрим, к примеру, утверждения «все a – b» и «некоторые a – c». Если мы истолкуем a как «люди», b как «смертные», а c как «рыжие», то множество людей – это модель для этой пары утверждений. Гёдель показал, как конструировать модели из абстрактных математических ингредиентов. Тем самым он поспособствовал развитию раздела логики под названием «теория моделей», которая изучает отношения между формальными языками и их интерпретациями.
Самое яркое открытие теории моделей – это фундаментальная неопределенность семантики, отношений между языком и реальностью. Оказывается, теория на формальном языке, призванная описать какую-то уникальную реальность, как правило, неспособна ограничиться только ею. В ней появляются «непреднамеренные интерпретации», искажающие смысл. Для примера, пусть и не слишком жизненного, возьмем теорию, состоящую из одного-единственного утверждения «Все люди смертны». Преднамеренная интерпретация предполагает, что модель этой теории – множество людей. Но если слово «люди» взято для обозначения кошек, а «смертные» – для обозначения любознательности, то множество кошек тоже служит моделью для этой теории, но непреднамеренной. Более интересный пример дает нам теория множеств. Преднамеренная интерпретация гласит, что аксиомы теории множеств описывают абстрактную вселенную множеств и из них следует существование высших бесконечностей в этой вселенной. Однако оказывается, что эти аксиомы с тем же успехом можно интерпретировать как относящиеся к старым добрым натуральным числам, среди которых нет никаких высших бесконечностей. Поэтому аксиомы теории множеств не описывают исключительно ту уникальную реальность, которую должны. По одной интерпретации они говорят о вселенной множеств, по другой, нелепой, но такой же достоверной, рассказывают о ряде 1, 2, 3… Когда мы полагаем, что высказываем истинные утверждения о высших бесконечностях, звуки, которые мы издаем, вполне могут быть поняты как истинные утверждения об обычных числах.
Для разработки этой интереснейшей непоследовательности больше всех сделал Абрахам Робинсон (1918–1974). Биография у Робинсона была необычайно бурная для логика, а образ жизни – светский и даже аристократический. Он родился в силезском шахтерском поселке Вальденбург (теперь это польский город Валбжих) и подростком вместе с семьей бежал от фашистов в Палестину. Там он изучал математику и философию в Еврейском университете и при этом вступил в подпольную сионистскую военную организацию «Хагана». Робинсон получил стипендию в Сорбонне и очутился там незадолго до прихода немцев. Ему удалось в последний момент перебраться в Лондон во время бомбежек, и там он стал сначала сержантом движения «Сражающаяся Франция», а затем техническим специалистом в британских ВВС. Несмотря на ужасы и сумятицу военного времени, Робинсон продолжал заниматься чистой математикой и логикой и при этом прекрасно работал на армию – проводил исследования по аэродинамике и «теории крыла». После войны Робинсон с женой, талантливой актрисой и модным фотографом из Вены, частенько появлялись на парижских показах коллекций высокой моды. Робинсон читал лекции как приглашенный профессор в Университете Торонто и Еврейском университете, а затем в начале шестидесятых получил должность профессора философии и математики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, которую до него занимал Рудольф Карнап. Поддавшись очарованию Голливуда, Робинсон с женой жили на вилле в каньоне Мандевиль, построенной в стиле Ле Корбюзье, и дружили с актером Оскаром Вернером. Работы Робинсона делали его одним из величайших специалистов по математической логике в мире, а при этом он был светским львом и бонвиваном – и к тому же одним из первых открыто высказывался против Вьетнамской войны. В конце шестидесятых он перешел в Йель и помог превратить его в мировой центр логики, а в 1974 году, в возрасте 55 лет, умер от рака поджелудочной железы.
Величайшим и гениальнейшим достижением Робинсона было то, что он в одиночку реабилитировал идею бесконечно малого. Исходил он из того, что размышлял о языке математики как о формальном объекте, подлежащем логическому изучению и манипулированию. Вот вкратце суть его рассуждений.
Начнем с математической теории, которая описывает, как работает старая добрая арифметика: обыкновенные дроби, их сложение и умножение и так далее. Для краткости назовем теорию арифметики T. Мы исходим из предположения, что T – теория логически непротиворечивая, из нее невозможно вывести противоречие вроде «0=1». (Если бы в обычной арифметике таилось противоречие, нам пришлось бы плохо: повсюду рушились бы мосты).
А теперь добавим кое-что в теорию арифметики T. Для начала добавим новый символ – я назову его INF (от infinitesimal, бесконечно малое). Теперь добавим несколько аксиом, описывающих предполагаемое поведение INF. Мы хотим, чтобы это INF вело себя как бесконечно малое – было меньше любого конечного числа и все же больше нуля. Так вот, чтобы это передать, нам понадобится много новых аксиом, точнее, бесконечный их список. Вот они:
(Новая аксиома № 1). INF меньше 1, но больше 0.
(Новая аксиома № 2). INF меньше ½, но больше 0.
(Новая аксиома № 3). INF меньше ⅓, но больше 0.
…
(Новая аксиома № 1 000 000). INF меньше 1/1 000 000, но больше 0.
(Новая аксиома № 1 000 001). INF меньше 1/1 000 001, но больше 0.
И так далее до бесконечности.
Теперь обозначим обогащенную теорию, которую мы получим, если начнем с T и добавим к ней все эти нововведения, как T*. Похоже, T* охватывает все, что мы имеем в виду под понятием бесконечно малого. В ней есть символ INF, обозначающий число, которое, согласно новым аксиомам, меньше любого конечного числа, но больше нуля. Но откуда мы знаем, что T* непротиворечива? Вспомним, что так пугало в бесконечно малом и греков, и Джорджа Беркли, и даже Ньютона: вдруг оно ведет к парадоксу, непоследовательности, противоречию? Но Робинсон сумел показать, что эти опасения безосновательны. Если T, теория обычной арифметики, непротиворечива, то обогащенная теория арифметики, охватывающая бесконечно малое, тоже непротиворечива. Это Робинсон и доказал.
Как ему это удалось? Предположим, T* противоречива. То есть, в сущности, предположим, что из ее аксиом можно вывести противоречие. Это доказательство будет состоять из конечного количества строк: одни – аксиомы, другие – выводы из прежних строк, содержащие нелепицы вроде «0=1». В этом конечном числе строк может быть приведено только конечное число новых аксиом об INF (самое большое – одна аксиома на строку). Скажем для наглядности, что последняя аксиома T*, то есть аксиома с самым большим порядковым номером, задействованная в доказательстве, – это
(Новая аксиома № 147). INF меньше 1/147, но больше 0.
Таким образом, мы предполагаем, что ни одна из новых аксиом T* после Новой аксиомы № 147 не нужна для доказательства противоречия, скрытого в T*.
И вот тут-то Робинсон и проделал главный фокус. Пусть INF — это обыкновенная набившая оскомину дробь, которая просто меньше 1/147, а точнее, предположим, что INF – это просто название дроби 1/148. При таком истолковании ни одна из строчек доказательства не говорит ничего о бесконечно малом. Все это утверждения, описывающие обыкновенные дроби, причем утверждения безупречно истинные. Так что теперь у нас появилось доказательство, убедительное в обычной теории арифметики. Но последняя строчка этого доказательства все равно гласит «0=1». Значит, мы только что доказали, что обычная арифметика противоречива!
Если обогащенная теория T* противоречива, значит, обычная теория T тоже должна быть противоречива. И наоборот, если обычная теория T непротиворечива, значит, обогащенная теория T* тоже должна быть непротиворечива. Так что если надстроить обычную арифметику бесконечно малым и связанными с ним аксиомами, это не повышает риск противоречивости. Обычных парадоксов, которые ассоциируются с бесконечно малым, удается избежать, поскольку ни одна из новых аксиом по отдельности не говорит, что INF меньше всех положительных чисел. Для такого утверждения нужен весь бесконечный список новых аксиом целиком. Но втиснуть весь список в конечное доказательство невозможно.
Поэтому, как показал Робинсон, можно безо всяких опасений предполагать, что T* непротиворечива. Но это еще не все. Заручившись доказательством непротиворечивости, мы можем привлечь теорему Гёделя о полноте, которая гласит, в сущности, что непротиворечивости достаточно для реальности. Непротиворечивая теория гарантированно обладает моделью – существует абстрактная вселенная, которую эта теория описывает, и это описание истинно. В случае обогащенной теории T* эта модель «нестандартна»: она содержит всевозможные экзотические сущности в дополнение к обычным конечным числам, используемым в арифметике. Среди сущностей, обитающих в этой нестандартной вселенной, есть и бесконечно малые числа. Они окружают каждое конечное число плотным крошечным облачком, которое Робинсон из уважения к Лейбницу назвал «монадой».
Озарение по поводу бесконечно малого посетило Робинсона в 1961 году, когда он приехал в Принстон в творческий отпуск; говорят, это случилось у входа в Файн-Холл. Через пять лет Робинсон опубликовал работу «Нестандартный анализ» (Non-standard Analysis), где подробно разобрал математический потенциал своего открытия. Эпиграф для своей книги Робинсон взял из повести Вольтера «Микромегас» о гигантском инопланетянине, который в изумлении обнаруживает, какие микроскопические по его меркам люди населяют Землю: «