Мы можем заглядывать вперед лишь на очень небольшое расстояние, но уже сейчас очевидно, что нам предстоит еще очень многое сделать в той области, которая была предметом настоящей статьи.
Перевод Ю. В. Данилова
Дж. фон НейманОбщая и логическая теория автоматов[31]
В естественных науках автоматы играли роль, значение которой непрерывно возрастало и которая к настоящему времени стала весьма значительной. Этот процесс развивался в течение нескольких десятилетий. В конце данного периода автоматы стали захватывать и некоторые области математики, в частности (но не только) математическую физику и прикладную математику. Их роль в математике представляет интересный аналог некоторых сторон жизнедеятельности организмов в природе. Как правило, живые организмы гораздо более сложны и тоньше устроены и, следовательно, значительно менее понятны в деталях, чем искусственные автоматы. Тем не менее рассмотрение некоторых закономерностей устройства живых организмов может быть весьма полезно при изучении и проектировании автоматов. И наоборот, многое из опыта нашей работы с искусственными автоматами может быть до некоторой степени перенесено на наше понимание естественных организмов.
I. Предварительные соображения
При сравнении живых организмов и, в частности, наиболее сложно организованной системы – нервной системы человека – с искусственными автоматами следует иметь в виду следующее ограничение. Естественные системы чрезвычайно сложны, и ясно, что проблему их изучения необходимо подразделить на несколько частей. Один метод такого расчленения, особенно важный в нашем случае, заключается в следующем. Организмы можно рассматривать как составленные из частей, из элементарных единиц, которые в определенных пределах автономны. Поэтому можно считать первой частью проблемы исследование структуры и функционирования таких элементарных единиц в отдельности. Вторая часть проблемы состоит в том, чтобы понять, как эти элементы организованы в единое целое и каким образом функционирование целого выражается в терминах этих элементов.
Первая часть нашей проблемы в настоящее время является основной проблемой физиологии. Она тесно связана с наиболее трудными главами органической и физической химии и в свое время, по-видимому, будет решена в значительной мере с помощью квантовой механики. Я недостаточно компетентен, чтобы входить в обсуждение этих вопросов, и в настоящей работе не буду рассматривать эту часть проблемы.
Работа впервые опубликована в книге: Cerebral Mechanisms in Behavior. The Hixon Symposium. Edited by Lloyd A. Jeffress, New York;London, 1951, p. 2070–2098. Книга представляет собой отчет о симпозиуме на тему «Механизмы мозга в поведении», состоявшемся в Калифорнийском технологическом институте в сентябре 1948 г. Симпозиум был организован комитетом так называемого Хиксоновского фонда (основан в 1938 г. на средства Ф.П. Хиксона с целью поощрения исследовательских работ в области изучения поведения человека). Группа участников симпозиума состояла главным образом из специалистов в области психологии, неврологии и психиатрии. Нейман выступил на симпозиуме с докладом «Общая и логическая теория автоматов» (The General and Logical Theory of Automata). Кроме доклада Неймана, на симпозиуме было заслушано и обсуждено еще шесть докладов, в том числе доклад У. Маккаллока (W.S. McCulloch), профессора психиатрии Иллинойского медицинского колледжа и Иллинойского невропсихиатрического института, на тему «Почему разум сосредоточен в голове» и доклад У. Хальстеда (W.С. Halstead), профессора экспериментальной психологии Чикагского университета, на тему «Мозг и ум». Все доклады и дискуссии, имевшие место на симпозиуме, были опубликованы в названной выше книге, изданной под редакцией проф. Джефриса, организатора симпозиума.
Доклад Неймана на симпозиуме был перепечатан (с незначительным сокращением) в упомянутом выше томе «Мира математики». Перевод работы Неймана для настоящего издания сделан с текста издания Ньюмана.
С другой стороны, вторая часть нашей проблемы является задачей, которая, вероятно, привлечет тех из нас, кто имеет подготовку и вкусы математика или логика. В связи с этим мы склонны отвлечься от первой части проблемы с помощью метода аксиоматизации и сосредоточить свое внимание на второй.
Аксиоматизация поведения элементов означает следующее. Мы принимаем, что элементы имеют некоторые вполне определенные внешние функциональные характеристики, т. е. что их следует считать «черными ящиками». Это означает, что их рассматривают как автоматы, внутреннюю структуру которых нет необходимости раскрывать и которые, по предположению, реагируют на некоторые точно определенные раздражители (стимулы) посредством некоторых точно определенных реакций.
Установив это, мы можем перейти к изучению более сложных организмов, которые можно построить из этих элементов, – их структуры, функционирования, связей между элементами и общих теоретических закономерностей, которые можно обнаружить в том сложном синтезе, который представляют собой рассматриваемые организмы.
Нет необходимости подчеркивать ограниченность этой процедуры. С помощью исследований этого типа можно показать, что применяемая система аксиом удобна и, по крайней мере в отношении тех результатов, которые она дает, соответствует действительности. Однако такой подход не дает идеального, а возможно даже, и достаточно эффективного метода проверки правильности этих аксиом. Установление верности аксиом относится главным образом к первой части проблемы. В действительности оно предполагает определение – с помощью соответствующих физиологических (или химических, или физико-химических) средств – природы и свойств элементов организма.
И все-таки, несмотря на эту ограниченность, «вторая часть» нашей проблемы, как указывалось выше, является важной и трудной. При любом разумном определении того, что следует считать элементом, естественные организмы предстанут перед нами как весьма сложные агрегаты таких элементов. Число клеток в человеческом теле имеет порядок 1015 или 1016. Число нейронов в центральной нервной системе приблизительно равно 1010. У нас нет совершенно никакого предшествующего опыта относительно систем такой степени сложности. Все искусственные автоматы, созданные человеком, состоят из частей, число которых при любом сравнительно схематическом подсчете имеет порядок от 108 до 106. К тому же те искусственные системы, которые работают с той степенью логической гибкости и автономии, какую мы обнаруживаем в естественных организмах, находятся отнюдь не на вершине этой шкалы. Прототипами таких систем служат современные вычислительные машины, и в этом случае любое разумное определение того, что следует рассматривать в качестве элемента, приводит к величине, лишь в несколько раз большей, чем 108 или 104.
II. Некоторые черты вычислительных машин
После этих общих замечаний разрешите мне быть более определенным и перейти к той части предмета, о которой я могу говорить уже подробно, с привлечением данных специального характера и технических деталей. Как я уже отмечал, эта часть проблемы связана с искусственными автоматами и особенно с вычислительными машинами. Последние имеют некоторое сходство с центральной нервной системой или, по крайней мере, с определенной стороной ее функций. Разумеется, вычислительная машина гораздо проще нервной системы, проще в том смысле, который имеет здесь значение. Тем не менее представляет определенный интерес проанализировать проблему организмов и организации с точки зрения этих относительно простых искусственных автоматов и установить черты сходства последних с центральной нервной системой в этой, так сказать, «лягушачьей перспективе».
Начну с некоторых утверждений относительно вычислительных машин как таковых.
Идея использовать в целях вычисления автомат относительно нова. Хотя вычислительные автоматы не являются наиболее сложными искусственно созданными автоматами, если рассматривать их с точки зрения тех окончательных результатов, которые можно получить с их помощью, тем не менее они отличаются наивысшей степенью сложности в том смысле, что производят наиболее длинную цепь событий, следующих друг за другом и определяющих одно другое.
В настоящее время имеются вполне определенные и обоснованные соображения относительно того, когда имеет смысл применять быстродействующие вычислительные машины, а когда нет. Этот критерий обычно выражается через число умножений, входящих в математическую проблему. Считают, что применение быстродействующей вычислительной машины в общем оправдывает себя, если вычислительная задача содержит миллион или более последовательных умножений.
В более фундаментальных логических терминах это выражается следующим образом. В рассматриваемых областях (т. е. в тех частях – обычно прикладной – математики, где используются такие машины) математический опыт указывает на желательность доведения точности вычислений приблизительно до десяти десятичных разрядов.
Одно умножение представляется поэтому требующим, по меньшей мере, 10×10 шагов (цифровых умножений), откуда следует, что миллион умножений требует, по меньшей мере, 108 операций. В действительности, однако, умножение двух десятичных знаков не является элементарной операцией. Существуют различные способы разбиения его на элементарные операции, и все эти способы имеют приблизительно одинаковую степень сложности. Наиболее простой способ оценки степени сложности умножения двух чисел в десятичной системе счисления состоит в следующем: вместо того чтобы учитывать число десятичных разрядов, рассматривают число разрядов, которое требуется в двоичной системе счисления (с основанием 2 вместо 10) при той же точности вычислений. Одна десятичная цифра соответствует приблизительно трем двоичным, следовательно, десять десятичных знаков соответствуют приблизительно тридцати двоичным. В силу этого умножение, о котором говорилось выше, состоит не из 10×10, а из 30×30 элементарных шагов, т. е. не из 102, а из 103 шагов. (Двоичные цифры подчиняются принципу «да или нет», «все или ничего», так как имеют только значения 0 или 1. Поэтому их умножение является действительно элементарной операцией. Заметим, кстати, что эквивалентом 10 десятичных знаков является, более точно, не 30, а 33 двоичных знака, но 33×33 приблизительно равно 103.) Отсюда, следовательно, вытекает, что имеется больше оснований считать, что миллиону умножений (в указанном выше смысле) соответствует 109 элементарных операций.