элементе и части, точнее, представления об отношениях элемента и множества, а также части и целого.
Начнем с отношений элемент – множество, хотя и о паре часть – целое забыть, пусть даже временно, не придется. На то есть причины, коренящиеся в исторической (коли так случилось) жизни теории множеств. Как уже было сказано, в исходном понимании множества по Кантору заложена некая антиномичная слитость; однако на практике эта слитость была подорвана. Именно, понятие множества стало употребляться в собирательном смысле (как «единство»), когда речь заходила о части и целом или подмножестве и множестве, оно же стало употребляться в разделительном смысле (как «множество»), когда речь заходила об элементах множества, о вопросе принадлежности к множеству 15. В этом разрыве есть вина либо, на вкус, заслуга самого Г. Кантора, любившего, с одной стороны, подчеркивать «организменность» объектов своей теории, т.е. подчиненность элементов интегральному целому, но, с другой стороны, требовавшего от всякого элемента множества, чтобы тот был «хорошо определен» или «хорошо различим». Можно сказать и о недостаточной готовности математиков, с Г. Кантора начиная, к тяготам нелегкого обращения с антиномиями… но здесь пришлось бы уходить далеко в глубины оснований математики, да еще и с учетом громадной критической работы, проделанной в свое время А.Ф. Лосевым 16. Поэтому нам остается просто констатировать, что в теории множеств существует два конкурирующих полюса, к которым тяготеют те или иные конструкты теории, – полюс «первичности элемента» и полюс «первичности целого». Существует один из таких конструктов, который как бы застыл посредине между названными полюсами и своим существованием демонстрирует теоретико-множественную специфику. Это – одноэлементное множество, т.е. такое множество M={m}, которое состоит точно из одного элемента m и рассматривается как сущность, неравная этому элементу, т.е. {m} ≠ m. В данном неравенстве встретились две различные реальности, реальность элемента и реальность множества, причем это неравенство нисколько не утрачивает силы от того, что элемент и одноэлементное множество могут носить одно и то же наименование. Как видим, в теории множеств заложены возможности для тончайших различений, казалось бы, близких объектов, но на самом-то деле объектов разной «породы». Здесь невольно напрашиваются параллели к имяславской формуле:
«Имя Божие есть Бог, но сам Бог не есть Имя Божие».
И укажем еще одну параллель, ненадолго покинув область «наивной» теории множеств. К этому подталкивает присутствие связки «есть» в только что приведенной формуле. Именно эта связка занимает ключевое место в интересной логической системе польского математика С. Лесьневского, – она нередко упоминается (но что известна, не сказать) под названием мереологии. В рамках мереологии связка «есть» фактически заменяет понятие принадлежности элемента множеству, а сами множества понимаются не в разделительном, а в собирательном смысле. Кроме того, здесь введено жесткое ограничение на содержательность утверждений со связкой (она употребляется только для непустых единичных имен объектов) и при этом условии специально рассматривается отношение целого и части. В итоге же мереология рассматривается рядом исследователей не как вариант теории множеств, но как ее мощный конкурент 17. Судя по всему, эта до сих пор мало изученная и чрезвычайно утонченная математическая теория представляет большой интерес для новых философских прочтений, причем не в последнюю очередь – прочтений с точки зрения имяславия. Но поскольку московские имяславцы 20-х годов не могли быть знакомы с более поздними изысканиями С. Лесьневского, мы можем коснуться этой темы разве что в порядке резервирования на будущее.
Впрочем, при упоминании мереологии вновь фигурировали отношения части и целого; к более подробному рассмотрению этих отношений и пришла пора перейти. Сразу укажем, что и в этом пункте нас ожидает весьма неожиданный результат. Если, как выяснилось, к отношениям элемента и множества теория Г. Кантора дает тонкий аппарат для (выразимся кратко) «различений близкого», то в теоретико-множественных отношениях части и целого выявляется не менее интересная возможность «сближений далекого». И в первом, и во втором случае при этом обыденная интуиция если и не вовсе пасует, то оказывается по меньшей мере малополезной. Действительно, если говорить о части и целом, то привычки обычной языковой практики готовы засвидетельствовать здесь только одно: часть есть ущерб целого и, лишь разрастаясь до крайних размеров (т.е. переставая быть именно собой), часть становится тождественной целому, совпадает с ним. Заслуга Г. Кантора состояла в строгом доказательстве возможности совсем иного отношения части и целого, справедливого для особого класса множеств. Именно, для бесконечных множеств всегда (подчеркнем – всегда) справедливо то, что для конечной области возможно лишь в вырожденном случае, – эквивалентность бесконечного подмножества (части) своему бесконечному множеству (целому). Если воспользоваться известным крылатым выражением, то фундаментальную особенность области бесконечного можно выразить так: «лев» здесь не только «узнается по когтям», но «когтями» же и полностью представлен. Процедура установления эквивалентности множеств, которую нашел Г. Кантор, оказалась настолько простой и убедительной (это – попарное сочетание элементов сравниваемых множеств и демонстрация того, что ни в одном множестве не остается непарных элементов), что она фактически стала конструктивным методом реального распознавания бесконечных множеств. Для выяснения того, каким является данное множество, конечным или бесконечным, необходимо и достаточно проверить соотношение его как целого к собственной части: неэквивалентность целого и части сигнализирует о конечности, эквивалентность – о бесконечности множества.
Все эти непростые «технические» подробности приходится излагать только ради возможности прийти к вопросу, для нашей темы важнейшему, к вопросу о соприкосновении бесконечности и Бесконечности. Имяславцы давали на него собственный ответ, а в арсенал своих аргументов они вполне могли бы включать следующее высказывание Г. Кантора:
«Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного» 18.
Отнесение «человеческой природы» в область бесконечного вместе с прямым доказательством своего рода «соразмерности» – в этой области, – объемлемого (а если это человек?) и объемлющего (а если это Бог?) дает право решать вопрос о «соприкосновении» в каком-то смысле положительно. Но тут же встает иная проблема. Как ни называть отношение, в строгом ли смысле эквивалентностью множества и подмножества 19, в нестрогом ли смысле «соразмерностью» либо «соприкосновением», сомнение возникает одно и то же: если это отношение предполагается между тварью (пусть – бесконечностью) и Творцом (пусть – Бесконечностью), то построения теории множеств, выходит, смыкаются с пантеизмом. В трудах самого Г. Кантора засвидетельствовано, что упреки в пантеизме он действительно получал 20, а П.А. Флоренский прямо так и объяснял «десятилетнее» молчание математика, первоначально таившего свое новое понимание бесконечности, – он обдумывал и проверял, «нет ли в его идеях ошибок и неувязок, не ведет ли его учение к пантеизму» 21. Поэтому не нужно удивляться, когда где-нибудь в математическом тексте создателя теории множеств вдруг встретится явно не математическое, явно с «онтологическим привкусом» утверждение о том, например, что всякое множество «обладает большей реальностью», чем подмножество. Да, он постоянно помнил о грозной опасности.
Однако Г. Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась пред публикой во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее, умозаключение, но законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы почти на протяжении века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.
Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) множества появились у Г. Кантора на пути дальнейшего совершенствования механизма сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Г. Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое – на понятия мощности и порядкового типа 22. Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Скажем, если не принимается во внимание только качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов, то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т.е. между их элементами устанавливается взаимно однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или, – пример из первых математических подвигов Г. Кантора, – эквивалентны множества натурального ряда чисел и множества положительных рациональных чисел. Два множества считаются