Итальянский ученый Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи («сын Боначчи»), в XIII веке совершил множество открытий в области арифметики и алгебры, которые получили дальнейшее развитие в эпоху Возрождения (XIV–XV века).
В своей «Книге абака» он изложил все знания, накопленные арабами, в том числе объяснил позиционную систему счисления и число ноль (который он называл zephyrum), а также алгоритмы действий с целыми и дробными числами. В «Книге абака» объясняются правило пропорции, способы вычисления квадратного корня числа и алгоритмы решения уравнений первой и второй степени. А самое известное открытие математика — числовой ряд, известный как последовательность Фибоначчи.
Первый трактат по арифметике в торговле был опубликован в Тревизо (Италия) в 1470 году, и автор его неизвестен. В течение XV века было издано около 30 книг на эту тему (из них 14 в Италии, 11 — в Германии). Во всех книгах описывалась арабская система счисления по основанию 10 и алгоритмы действий с отрицательными и положительными числами (так называемыми натуральными). В этих книгах также были описаны дробные числа и операции над ними, правило пропорции, прогрессии, алгоритмы решения прикладных задач торговли (например, расчет реальной стоимости товара при обмене), приводились примеры вычисления налогов и таможенных пошлин, решение задач о сплавах и о преобразованиях единиц измерения.
В это время и была сформирована тесная связь между экономикой, которая понималась как наука об управлении ограниченными ресурсами, и математикой — абстрактной наукой, основанной на правилах элементарной арифметики и логических умозаключениях. Эффективные методы сложения и вычитания чисел (которыми обозначались товары в обращении) легли в основу прогресса. Позднее, с развитием коммерции, возникла необходимость в таких же эффективных и простых алгоритмах умножения и деления.
* * *
СТОЛКНОВЕНИЕ АЛГОРИТМОВ
Средневековая наука в христианском мире ограничивалась переводом оригинальных арабских трудов и арабских изданий древнегреческих книг, в частности «Экономики» Аристотеля. За несколько лет до 1000 года монах Герберт Орильякский, будущий папа римский Сильвестр II, обучился у арабов Андалусии использованию цифр и позиционной системы счисления, а также усовершенствовал римский абак, в котором, тем не менее, по-прежнему не использовался ноль. И лишь в XII веке крестоносцы принесли из Иерусалима в Европу индо-арабские цифры, их систему счисления и ноль. Церковь в те годы препятствовала использованию арабских методов вычисления, объясняя их простоту проделками дьявола, и профессиональные вычислители вынуждены были использовать восточные алгоритмы втайне. И все же, несмотря на противодействие духовенства, с началом эпохи Возрождения арабские алгоритмы широко распространились в торговле.
* * *
Для решения этой задачи требовались новые числа, в частности десятичные дроби, с помощью которых можно было бы говорить о частях единиц длины, веса и объема, а также выражать соответствующую стоимость при купле, продаже и обмене. И тут экономике пришлось обратиться к прошлому, ведь впервые дробные числа упоминаются уже в древнеегипетских папирусах.
Важным применением дробей стало представление процентов как частей целого при вычислении скидок и процентного дохода. Позднее эти числа стали использоваться для представления и других дробей, со знаменателем, отличным от 10 и 100.
Эволюционный процесс завершился, когда дробные величины стали записывать в позиционной системе счисления по основанию 10, которую мы используем и сейчас.
36/100 = 3,6/10 = 36 % (процент) = 0,36 (десятичная дробь).
В эпоху Возрождения величина 78, 4/10, 5/100, 6/1000 записывалась как
78 + 4/10 + 5/100 + 6/1000 = 78,456.
Дробные числа используются в математике начиная с XVII века. Они получили название рациональных чисел и могут записываться двумя способами (в двух нотациях): в виде процентов и в виде десятичных дробей с запятой.
Рациональные числа могут иметь конечное (ограниченное) число десятичных знаков. Это происходит, когда результат деления можно определить точно, например, 34/64 = 0,53125.
Однако они могут иметь и бесконечное (неограниченное) число цифр после запятой, которые иногда неким образом повторяются, например 34/70 = 0,4857142857142857142857142857 …
В это же время появились банки, задачей которых было гарантировать безопасность денежного обращения при покупке и продаже товаров и услуг. Первыми банкирами стали средневековые ювелиры, которые чаще всего были иудеями или мусульманами. Церковь считала ростовщичество греховным, поэтому христианам было запрещено давать деньги в рост. Конечно, по прошествии некоторого времени к числу банкиров и ростовщиков присоединились и христиане, но об этом — позже.
«Меняла с женой», Квентин Массейс, 1514 год. Считается, что на этой картине отражен типичный для той эпохи конфликт между набожностью и стремлением к достатку: жена менялы откладывает молитвенник в сторону, чтобы посмотреть, как муж считает деньги.
* * *
ИЗОБРЕТЕНИЕ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА
В 1494 году монах-францисканец Лука Пачоли изобрел метод, лежащий в основе современного бухгалтерского учета. Его идея о двойной записи стала поистине гениальной, а кроме того, она еще раз подтверждает, какую помощь математика оказала коммерции. Запись доходов и расходов перестала быть бессмысленной — между ними появились наглядные причинно-следственные связи.
Книга Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» была опубликована в Венеции, в эпоху формирования новых политических и торговых отношений.
В этой книге популярно, простым языком описывается ведение дел до начала непосредственной купли-продажи товаров. Пачоли отмечает, что предприниматель должен подготовить полный перечень всей собственности (активов) и перечень обязательств перед третьими лицами (пассивов).
Активы должны группироваться по принципу ценности и мобильности (наличные деньги должны указываться первыми, имущество — последним), а пассивы — согласно срочности (краткосрочные и долгосрочные). Для соблюдения принципа двойной записи необходимо, чтобы все совершенные торговые операции имели причину, а каждая причина — следствие, что и должно быть отражено в равенстве разделов баланса.
Пачоли писал о бухгалтерии: «Все, что запишешь, будет числиться в твоих книгах как долг, и напротив, все, что извлечешь или получишь от нее, запишешь так, как если бы должник уплатил тебе часть долга». Он рассматривает склад товаров как должника при любых операциях и движении товаров по складу. Для записи операций Пачоли предложил вести четыре книги: inventario (книга с перечнем имущества и балансов), giornale (книга учета операций), cuaderno (главная бухгалтерская книга) и memoriale (в настоящее время не используется). Он также описывает важность ведения бухгалтерского учета в системе счетов и другие понятия бухгалтерии, так как они позволяют оценить рыночную ситуацию и определить, является ли торговое дело выгодным.
* * *
Бухгалтерский учет возник как следствие роста торговли, пережившей упадок в позднее Средневековье и эпоху Возрождения (XV–XVI века), и использовался для того, чтобы оценить оборот и величину доходов, размеры вложенного капитала и личного имущества предпринимателей. Чтобы начать новое дело, требовавшее больше средств, чем имелось у предпринимателя, ему необходимо было взять заем, предварительно точно определив его размеры.
Начиная с этого времени двойная бухгалтерская запись стала обязательной. Возникла необходимость и в применении отрицательных чисел, которые назывались «долговыми», или «абсурдными» числами. И действительно, в то время, когда основной целью человека было выжить и справиться с насущными проблемами, казалось, что отрицательные числа не имеют смысла. И хотя они были открыты в Индии еще в V веке, на Западе их начали использовать лишь в XVI столетии.
Операции с отрицательными числами также выполнялись с помощью абаков — эти числа обозначались табличками или шариками другого цвета. И хотя уже в XV веке торговцы для указания на излишки и недостатки товаров на складе использовали германские знаки + и —, отрицательные числа и в XVI веке по-прежнему назывались «ложными», а их повсеместное применение началось лишь в конце XVIII века.
Дополнить традиционную систему счисления отрицательными числами было очень важно, поскольку это упрощало бухгалтерские расчеты. Кроме того, использование отрицательных и рациональных чисел позволяло найти решение любого уравнения первой степени. Например, уравнение Р + 50 = 32 до введения отрицательных чисел не имело решений: Р + 50–50 = 32–50; Р = 32–50; Р = —18.
С появлением протестантизма в XVI веке лютеране и кальвинисты почувствовали себя свободными от запрета давать деньги в рост. Ростовщичество получило широкое распространение и способствовало накоплению капитала, появилась так называемая денежная этика. К этому времени относится и зарождение капитализма, когда деньги превратились практически в высшую жизненную ценность. Их получение перестало быть средством и стало целью, работать необходимо было так, чтобы как можно больше разбогатеть.
В соответствии с протестантской этикой богатому человеку уготовано спасение и обретение после смерти царства небесного. Набожность, благочестие и аскетизм, свойственные протестантам, достаточно хорошо сочетались с новыми капиталистическими ценностями, и многие церковные приходы становились центрами будущих капиталистических компаний.
Социолог Макс Вебер (на этой фотографии, сделанной в 1917 году, он изображен в центре) в 1904–1905 годах создал фундаментальный труд «Протестантская этика и дух капитализма», в котором выдвинул различные гипотезы, касающиеся взаимосвязи между лютеранской моралью и развитием капитализма.