Колебания ставки EURIBOR в 2005–2010 годах.
По сути, для каждой кредитной операции существует отдельная ставка EURIBOR в зависимости от срока выдачи кредита: 1 месяц, 3 месяца, 6 месяцев, 12 месяцев и т. д. Межбанковские процентные ставки ФРС, Банка Англии и Банка Японии для займов сроком в 1 день, 3 месяца или 1 год также отличаются. Расчет EURIBOR выполняется ежедневно до И утра на основе ставок, используемых 64 основными европейскими банками, по следующей схеме: крайние значения (15 % самых высоких и 15 % самых низких ставок) отбрасываются, после чего рассчитывается среднее арифметическое. Дневная межбанковская ставка EONIA рассчитывается Европейским центральным банком на основе дневных межбанковских ставок, используемых 48 европейскими банками.
Глава 3. Банки и страхование. Кредиты и виды процентов
Математика в банковской сфере имеет наибольшее значение при расчете ставок по кредитам и ипотеке. Как вы увидите далее, при принятии финансовых решений очень важно использовать функции и прогрессии.
Сначала дадим определение некоторым основным понятиям: капиталу, процентам с капитала и процентной ставке. В экономике капитал является фактором производства: капитал — это совокупность инвестиций владельца предприятия в оборудование (капиталовложения) или производство. В финансовой сфере капитал ассоциируется с суммой денег, размещаемых на банковском вкладе и предназначенных для приобретения облигаций, ценных бумаг с переменной доходностью и прочих финансовых активов. Также капитал — это деньги, выдаваемые третьим лицам в качестве займов за определенную плату (взимаемую ежедневно, ежемесячно, ежегодно и т. д.), называемую процентной ставкой.
Так, когда мы запрашиваем у банка кредит на некую сумму С0 сроком, например, на три года (n = 3) под 6 % годовых (номинальная процентная ставка i = 6 %), по прошествии трех лет мы должны будем вернуть взятую в кредит сумму плюс три раза по 6 % капитала — сумму процентов, рассчитанных по используемой процентной ставке. Например, если C0= 1000, срок кредита n = 3 года, процентная ставка i = 6 %, то по прошествии трех лет мы должны будем вернуть банку 1000 денежных единиц плюс 3∙(6/100)∙1000 = 180 — капитал плюс проценты в размере 60 денежных единиц в год (общая сумма к уплате — 1180 единиц).
Если каждый год необходимо возвращать одну и ту же сумму процентов, то говорят, что используются простые проценты, а итоговая сумма Сn, которую требуется вернуть к концу срока кредита, состоит из начального заемного капитала и процентов и равняется:
сn = С0 + n∙i∙С0 = С0∙(1 + n∙i).
Это формула простых процентов, где C0— заемный капитал, i — процентная ставка (выраженная в виде десятичной дроби); n — число периодов, в течение которых применяется процентная ставка; Сn — общий капитал плюс проценты к уплате; n∙i∙C0 — общая сумма процентов, которые должны быть уплачены за весь срок кредита.
Когда клиент банка открывает вклад на определенный срок, требуется решить обратную задачу. В этом случае банк должен вернуть клиенту вложенную сумму с процентами, начисляемыми, например, в конце каждого года. Банк перечисляет проценты на текущий счет клиента в сроки, указанные в банковском договоре. Проценты могут начисляться раз в год, раз в полгода, раз в квартал или раз в месяц.
В договоре может указываться годовая процентная ставка, а проценты при этом выплачиваются, например, раз в год, квартал или месяц. В этом случае на счет клиента будет поступать полная сумма процентов за год либо разделенная на 4 или на 12 в зависимости от периодичности начисления процентов. В договоре может использоваться месячная или квартальная процентная ставка. В этом случае для расчетов процентов применяется формула, приведенная выше, однако период времени n выражается в месяцах или кварталах соответственно.
Иногда клиент хочет прибавить полученные проценты к вкладу, чтобы на них также начислялись проценты. В этом случае речь идет о так называемых сложных процентах. Рассмотрим предыдущий пример снова, несколько его изменив. В конце первого года клиент помещает на счет вклада итоговую сумму в 1060 денежных единиц. В конце второго года его капитал будет равен 1123,60, так как, помимо 120 денежных единиц, выплаченных в качестве процентов, также будут выплачены 6 % от 60 единиц, вложенных по итогам первого года, то есть дополнительно 3,6 денежной единицы. В конце третьего года итоговый капитал составит 1191,02, то есть рентабельность вложений за весь срок вклада составит 19,10 % — на 1,1 пункта больше, чем если бы использовались простые проценты.
Процентная ставка по кредиту, или доходность капитала, может быть месячной, квартальной или годовой. Следовательно, если номинальная годовая процентная ставка составляет 12 %, но на сумму кредита ежемесячно начисляется 1 %, и эта сумма добавляется к телу кредита, то итоговая сумма будет отличаться. Поэтому определяется эквивалентная годовая процентная ставка. Эквивалентная годовая процентная ставка по кредиту с годовой процентной ставкой i, проценты по которому начисляются n раз в год (например, ежемесячно), рассчитывается так:
* * *
ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С0, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С0∙i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С1 = С0 + С0∙i = С0∙(1 + i), и так происходит до последнего года.
n = 0; С0,
n = 1; С1= С0+ С0∙i = С0∙(1 + i),
n = 2; С2= С1+ С1∙i = С0∙(1 + i) + С0∙(1 + i)∙i = С0∙(1 + i)∙(1 + i) = С0∙(1 + i)2,
n = 3; С3= С2 + С2∙i = С0∙(1 + i)2+ С0∙(1 + i)2∙i = С0∙(1 + i)2∙(1 + i) = С0∙(1 + i)3
……
n = n; Сn= С0∙(1 + i)n.
Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: Сn = С0∙(1 + i)n. Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i или число периодов n при известных остальных значениях переменной:
С другой стороны, если в формуле Сn = С0∙(1 + i)n перейти к логарифмам, получим:
Эти формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.
* * *
Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться
где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.
Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы
где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.
Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.
Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.
Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C0 = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С3?
C0 = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.
Применив формулу С3 = С0∙(1 + i)3 получим:
С3 = 10000∙(1 + 0,05)3 = 10000∙1,157625 = 11576,25 евро.
Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?
Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С0 = 10000 евро, конечный капитал Сn = 20000 евро и процентную ставку