Далее он относительно быстро подсчитал, что √12 приближенно равен 3,46, а раз так, значит, х ≈ (-3 + 3,46)а = 0,46а.
— Всё! Переходим к третьей задаче.
— Надо ли? — усомнился Мате. — Думаю, вы отлично справитесь с ней дома.
И он протянул товарищу листок, на котором было написано: «в равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковыми сторонами 10 вписать равносторонний пятиугольник, один из углов которого — угол при вершине, а одна из сторон лежит на основании треугольника».
— Скряга! — укорил его Фило.
— Ничего, учитесь мыслить самостоятельно! Ну же, не капризничайте… Хотите, объясню вам принцип счета шестидесятеричной системы счисления?
«Нечего сказать, утешил!» — подумал Фило.
— А вы уверены, что я в состоянии это понять? — спросил он довольно кисло.
Мате скорчил гримасу, означающую: «На глупые вопросы не отвечаю», — и приступил к объяснениям.
— Для сравнения возьмем какое-нибудь число, записанное в нашей, десятичной, системе, ну хоть 2324. В этом числе каждый последующий разряд, начиная справа, больше предыдущего в десять раз. Значит, число это можно записать так:
а это не что иное, как:
В шестидесятеричной системе каждый последующий разряд больше предыдущего не в 10, а в 60 раз. Поэтому та же запись 2324 расшифровывается уже по-другому:
А это, — Мате сосредоточенно пошевелил губами, — это составляет 442 924. Добавлю, что цифры в шестидесятеричной системе счисления пишутся на некотором расстоянии друг от друга. Вот, собственно, и всё. Ну как, постижимо?
— Пока — вполне, но в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо были еще какие-то значки…
— Не значки, а римские цифры. Так в шестидесятеричной системе записывают дробные числа. Опять-таки для сравнения возьмем какую-нибудь десятичную дробь. Например: 2,135. Что это такое? Это
В шестидесятеричной системе место знаменателя 10, естественно, займет другой: 60. Стало быть, если в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо было записано
то читать это следует так:
Подсчитайте — и ответ Фибоначчи в десятичном счислении перед вами!
Фило испуганно отшатнулся:
— Вы что? Да я же до утра не кончу!
— Ладно, ладно, — примирительно проворчал Мате, — все уже давно подсчитано. Икс у Леонардо приближенно равен
Фило был потрясен. Вычислить иррациональный корень с таким невероятным приближением, да еще в шестидесятеричной системе!
Мате усмехнулся:
— Есть у Фибоначчи вещи и более удивительные…
— Что вы имеете в виду?
Но Мате, которому всегда нравилось разжигать любопытство приятеля, пропустил вопрос мимо ушей.
— Налить вам еще кофе? — спросил он самым светским тоном.
— Конечно, налить. Но вы не ответили на…
— Берите, пожалуйста, сахар.
— Нет, это, наконец, невежливо! — вспылил донельзя заинтригованный гость. — Клянусь решетом Эратосфена, вы узнали что-то в высшей степени интересное. Неужели я не заслужил…
— Успокойтесь, заслужили! — сжалился наконец Мате. — Но сперва скажите: знаете вы что-нибудь о теореме Ферма?
— Вы что, издеваетесь?
— Тогда придется вас просветить, потому что, не зная теоремы Ферма, вы ничего не поймете.
И Мате стал рассказывать.
Краса и гордость французской математики, Пьер Ферма жил в XVII веке (кстати сказать, в те же примерно годы, что и Блез Паскаль). Математика, как ни странно, не была его основным занятием: он был юристом королевского парламента в Тулузе, что, впрочем, не помешало ему сделать множество замечательных открытий и оставить громадное математическое наследие, немалое место в котором занимает так называемая великая теорема Ферма.
Теореме этой суждено было стать такой же мучительной загадкой для человечества, как и пятый постулат Эвклида, с той разницей, что пятому постулату повезло больше: вопрос этот успешно разрешен. Что же до теоремы Ферма, то ни доказать ее, ни опровергнуть возможность ее доказательства пока что не удалось никому. Но об этом после. А сейчас о самой теореме. В чем она заключается?
В математике всегда можно подобрать таких три целых числа, чтобы сумма квадратов двух из них равнялась квадрату третьего. Например, 32 + 42= 52. Или 52 + 122 = 132. Таких числовых троек бесконечно много. Но нельзя, оказывается, подобрать три целых числа, чтобы сумма кубов двух из них равнялась кубу третьего. Нельзя это сделать ни для четвертой, ни для пятой — словом, вообще ни для какой степени, если она больше двух. Иначе говоря,
Ферма записал эту теорему на полях «Арифметики» Диофанта[35] и уверял, что доказал ее. Но найти его доказательство так и не удалось. Остается предположить, что если оно вправду было, то Ферма сам уничтожил его, обнаружив в нем ошибку…
С тех пор вот уже триста лет над теоремой бьются многие математики, великие и невеликие, молодые и старые, профессиональные и самодеятельные. Некоторым удалось доказать ее для отдельных или, как у нас говорят, частных случаев, однако общее доказательство по-прежнему остается неуловимым.
Иногда, правда, интерес к теореме несколько ослабевает, но довольно малой искры, чтобы заставить его вспыхнуть с новой силой. Были времена, когда увлечение теоремой Ферма превращалось в настоящий свирепый психоз…
— Не психоз, а ферманьячество, — скаламбурил Фило. — Но я, право, не понимаю, при чем тут Фибоначчи?
— До вчерашнего дня я сам этого не знал… Зато сегодня!..
Но тут, в тот самый момент, когда любопытство Фило достигло крайнего напряжения, сердито зарычал Буль, и Мате прервал свой рассказ на самом интересном месте.
— Кажется, к нам заявились незваные гости, — сказал он. — Буль всегда их загодя чувствует.
И правда, в ту же секунду раздался звонок. Пес тотчас направился к двери. Мате, естественно, последовал за ним, и любопытный филолог остался один на один со своим взбудораженным воображением.
ФИЛО ГАДАЕТ
«Интересно, кто это пришел?» — думал он, ожидая, что вот-вот появится Мате в сопровождении посетителя.
Но никто почему-то не приходил.
Прислушиваясь к возбужденным голосам в коридоре, Фило от нечего делать рассматривал большую, давно не ремонтированную комнату, забитую книгами и старой разнородной мебелью. Внезапно он подумал, что Мате, в сущности, никогда о себе не рассказывал, и постарался представить себе его жизнь.
Ему почему-то казалось, что друг его рано осиротел и воспитывался у какой-нибудь тетки, обязательно старой девы, доброй, но страшно безалаберной и мечтательной, а сверх того — страстной любительницы книг. Все свое свободное время она проводила за чтением, лежа на той вон облезлой кушетке, а иногда, по вечерам, когда маленький Мате готовил уроки, раскладывала пасьянс, дымя папиросой и роняя серые столбики пепла на старинные, замусоленные карты.
Время от времени в комнату въезжал очередной полуразвалившийся шкаф или просиженное кресло: это соседи купили новую мебель и попросили приютить прежнюю — ненадолго, конечно, пока не продастся… Тетка беспечно на это соглашалась, но старые вещи почти никогда не продавались, и, привыкнув к ним, она переставала их замечать.
Готовить она так и не научилась, и Мате всегда ел пережаренные котлеты и недоваренную картошку. Единственное, что она умела по-настоящему, так это варить кофе, что и передала своему племяннику вместе с полнейшим пренебрежением к житейским удобствам и немаловажной способностью безоглядно предаваться любимому занятию…
Кончив фантазировать, Фило нетерпеливо поглядел на дверь, потом снова перевел глаза на кушетку и вдруг обнаружил, что вместо воображаемой тетки на ней лежит отнюдь не воображаемая книга. По привычке старого книголюба, он перелистал ее, сразу определил, что книга библиотечная, и тут в глаза ему бросилось знакомое имя…
…Он оторвался от чтения только тогда, когда услыхал шаги за дверью, и едва успел положить книгу на место, как в комнату вошли Мате и Буль.
— Где это вас носит? — спросил Фило с самым невинным видом.
— А, ерунда! — отмахнулся Мате. — Я, видите ли, имел неосторожность написать одну математическую статью, где рассказал, между прочим, о своем юношеском увлечении теоремой Ферма. Статью напечатали в журнале, и с тех пор ко мне то и дело врываются какие-то взъерошенные субъекты, убежденные, что им удалось поймать за хвост неуловимое доказательство…
— Вы говорите так, точно доказать теорему Ферма и в самом деле абсолютно невозможно.[36]
— Если и возможно, то, во всяком случае, не теми доморощенными способами, которыми пользуются мои посетители. У каждого из них обязательно обнаруживается какая-нибудь, притом самая элементарная ошибка. Но вернемся все же к Фибоначчи. Если не ошибаюсь, меня прервали как раз на том месте, когда я собирался объяснить…
— Нет, — сказал Фило. — Объяснять ничего не надо. Я сам отгадаю.
— Это как же?
— Обыкновенно. По картам.
Мате возмущенно поднял плечи. Неужели есть еще люди, которые верят в подобную чепуху! Но Фило настаивал на своем. Когда-то, сказал он, одна старая цыганка научила его гадать на картах, и теперь ему пришло в голову проверить свое искусство.