Но бес опустошает чашку за чашкой, не проявляя никаких признаков сонливости. Напротив: узкие глазки его так и зыркают по сторонам, — дескать, что бы такое вытворить? Наконец, они останавливаются на телевизоре, и тут черт вдруг объявляет, что неплохо бы отдохнуть и посмотреть новую серию «Знатоков». «Знатоки» — его любимая передача (он ведь и сам знаток!), и отказаться от нее, хотя бы и во имя науки, он просто не в состоянии!
Филоматики встречают его предложение по-разному: Фило — с тайной радостью, Мате — с явным неудовольствием. Но Асмодей будто и не слышит его протестов! Он самолично включает приемник, потребовав наперед, чтобы все присутствующие, в том числе Пенелопа, Клеопатра и Буль, заняли свои места и потом уж не вздумали отлучаться. Он этого терпеть не может!
Наконец на экране появляются первые титры. Слышится знакомая музыка. И вдруг… Что такое? Кадры начинают мелькать как сумасшедшие, что-то трещит, гудит, и наконец изображение, а заодно и звук исчезают вовсе. Только и остается, что пустая освещенная поверхность.
Фило обиженно надувает губы. Вечная история! Только настроишься посмотреть хорошую передачу — и на тебе…
— Спокойствие, мсье! Только спокойствие! — призывает черт, не двигаясь с места. — Сейчас все будет в полном порядке. Недаром Хромой бес лучший телевизионный мастер на свете! Уж во всяком случае не хуже, чем Карлсон, который живет на крыше.
Он издали дует на телевизор, и тот снова оживает. Да, но куда же делись «Знатоки»? На экране титры совсем другой передачи!
— «Клуб знаменитых математиков», — читает Фило. — В первый раз слышу. Насколько я помню, в программе нет ничего подобного.
— В вашей программе, может, и нет, мсье. Зато в моей…
Мате понимающе вздергивает брови. Все ясно! Очередной адский фокус. Однако бранить беса он и не думает: передача-то как-никак математическая! Интересно, с чего она начнется? Наверное, как водится, со вступительной песенки…
Так и есть! Звучит хорошо известная мелодия «Клуба знаменитых капитанов», к которой немного погодя присоединяется хор мужских голосов. Только поют они все же какие-то другие слова:
Добрый вечер, мэтры!
Встречи пробил час.
Что нам километры?
Что веков запас?
Вновь камин заветный
Нас к себе манит…
Все мы геометры,
Каждый знаменит!
Но вот хор умолкает, и на экране появляется какая-то комната. Вглядевшись в нее, филоматики взволнованно ахают: это же комната Паскаля на улице Сен-Мишель! Конечно, вот и знакомый диванчик. По-прежнему пылает огонь в очаге. Но теперь перед ним уже не два, а великое множество людей. И как только все они здесь уместились!
Поначалу друзья различают в толпе только Ферма и Паскаля. Лица остальных теряются в красочной сумятице одежд самых разных времен и национальностей (заметьте: черно-белое изображение телевизора Мате непонятным образом превратилось в цветное). Но потом Фило вдруг узнает Омара Хайяма,[75] а Мате — Фибоначчи,[76] и только вмешательство Асмодея не дает им влезть в экран с головой.
Как раз в это время слово берет Ферма. Он объявляет очередное заседание Клуба знаменитых математиков открытым и предлагает избрать председателя на сегодняшний вечер.
— Так как тема нынешнего заседания — «Арифметический треугольник», — говорит Паскаль, — предлагаю избрать мэтра Пифагора.
Раздаются бурные рукоплескания, и с места поднимается смуглолицый грек в белом струящемся облачении.
— Благодарю высокое собрание за честь! — произносит он, с достоинством наклонив курчавобородую голову. — Хотя совершенно очевидно, что причина ее — не столько моя причастность к теме заседания, сколько уважение к древности. Потому что арифметическим треугольником я никогда не занимался.
— Зато ты занимался фигурными числами, которые в него входят, — возражает Хайям.
Пифагор протестующе поднимает руку.
— Не преувеличивай моих заслуг, о Хайям! Фигурные числа — не мое открытие. Много путешествуя, я, конечно, многое и запамятовал. Но фигурные числа я, помнится, вывез из Вавилона заодно с другими математическими редкостями.
— А все-таки узнали мы о них не от вавилонян, а от тебя и от твоего последователя Никомаха, — упорствует Хайям.
— Ну, если так, — Пифагор делает приглашающий жест, — тогда позволь предоставить слово тебе. Недаром ходят слухи, что Омар Хайям тоже имеет некоторое отношение к арифметическому треугольнику.
— Разве? — усмехается тот. — Другие всегда знают о нас больше, чем мы сами. Во всяком случае, если в моей жизни и было что-нибудь подобное, то сам я об этом начисто забыл. Зато наверняка помню, что арифметический треугольник был известен в Древней Индии и в Древнем Китае. А потому предоставь лучше слово мэтру Тарталье. Надеюсь, он-то свою причастность к арифметическому треугольнику отрицать не станет.
— Ни-ни-ни в коем случае, — подает голос высокий итальянец с глубокими шрамами на подбородке, одетый по моде шестнадцатого столетия. — Хотя числа в этом треугольнике я ра-ра-расположил так, что правильнее было бы называть его прямоугольником.
— Какое, однако, удивительное совпадение! — не выдерживает Фило. — «Тарталья» — по-итальянски «заика», а этот уважаемый мэтр и впрямь заикается.
— Ничего удивительного, — поясняет Асмодей. — Прозвище Тартальи сей даровитый синьор получилкак раз за свое заикание, которое началось у него после сильного ранения в нижнюю челюсть.
— А настоящая его фамилия как? — продолжает приставать любопытный Фило.
Но Асмодей лишь досадливо пожимает плечами. Не всегда ж ему знать то, чего не знает никто! И вообще, дадут ему наконец смотреть передачу?
— Однако, до-до-дорогие мэтры, — продолжает Тарталья, — хочу обратить ваше внимание на то, что арифметические треугольники возникали в разные времена и в разных странах совершенно самостоятельно. Свой я, во-во-во всяком случае, придумал сам.
— И я тоже, достопочтенный мэтр Тарталья, — присоединяется Паскаль, — потому что ваши изыскания были мне, к сожалению, неизвестны.
— Вы забыли сказать главное, уважаемый мэтр Паскаль — вмешивается представительный горбоносый красавец с густыми бархатными бровями и легкой любезной улыбкой в уголках рта.
— Насколько я понял, мэтр Лейбниц, вы просите слова, — строго намекает Пифагор. — Рад его вам предоставить.
Тот, извиняясь, склоняет набок голову в крутокудром каштановом парике. Достопочтенному председателю незачем затрудняться! Он, Лейбниц, хотел лишь заметить, что заслуга мэтра Паскаля не столько в том, что он открыл арифметический треугольник, сколько в том, что ему удалось вывести формулу сочетаний. Ту самую формулу, с помощью которой легко вычислить любой элемент числового треугольника.
— Прошу прощения! — живо перебивает Паскаль. — Одновременно со мной ту же формулу вывел мэтр Пьер Ферма.
— Не отрицаю! — весело басит Ферма. — И все-таки честь ознакомить собравшихся с некоторыми свойствами формулы сочетаний я предоставляю вам.
Паскаль молча кланяется и, подойдя к стоящей у камина грифельной доске, выписывает на ней две таблицы.
— Как видите, — поясняет он, — арифметический треугольник изображен здесь в двух видах: в числовом и условном, где каждый член его выражен через число сочетаний из номера строки по номеру своего места в ней. Разумеется, верхней строке и первому числу каждой строки присвоен нулевой номер. Далее обратите внимание на то, что все сочетания, у которых верхний индекс нуль, равны единице. Почему это так, понять нетрудно. Стоит только сравнить обе таблицы. Выберем, допустим, шестую строку (ее порядковый номер 5) и рассмотрим два ее числа, хотя бы 5 и 5. Одно из них в условном треугольнике обозначено как C51, второе — как C54. Но ведь числа эти равны между собой, ибо каждое из них порознь равно 5: C51 = C54 = 5. В свою очередь C51 можно записать какC55–4. И если это обобщить для любой строки (n) и любого порядкового числа в ней (m), то получится любопытное свойство сочетаний: Cnm = Cnn-m (це из эн по эм равно це из эн по эн минус эм). Отсюда ясно, что так как с одной стороны Cnn = 1, а с другой Cnn = Cnn-n = Cno, то и выходит, что Cn0 = 1. Ну, а дальше уж, для общности правила, условились и С0 тоже считать единицей. Вот вам простой и удобный способ отыскивать любое, даже самое большое число сочетаний. И потому вопрос, чему равно, скажем, число сочетаний из тысячи по девятисот девяноста девяти, не должен пугать даже школьника, — вычислить это проще простого:
— За-за-замечательно! — восхищается Тарталья. — Я бы до такого ни-ни-никогда не додумался.
— Не клевещите на себя, дорогой мэтр Тарталья, — протестует Паскаль. — Просто вы жили на сто лет раньше, и время формулы сочетаний еще не пришло. А теперь попрошу нашего досточтимого председателя предоставить слово мэтру Лейбницу, ибо я горю желанием узнать, что сделал с арифметическим треугольником он.
— С величайшим удовольствием! — кивает Пифагор. — Тем более что я и сам давно дожидаюсь такого случая.
— Собственно говоря, я шел по стопам мэтра Паскаля, — уголками рта улыбается Лейбниц, — но мой треугольник составлен в обратном порядке. Так сказать, шиворот-навыворот. Прежде всего вместо целых чисел я взял дробные. А уж из этого вытекает и все остальное.
Он вытирает доску влажной тряпкой и пишет на ней другую таблицу.
— Этот свой треугольник я назвал гармоническим, — поясняет он.
— Превосходно! — горячо одобряет Пифагор. — Всегда говорил, что главное в мире — гармония.
— Вполне с вами согласен, — кланяется Лейбниц. — Но название это объясняется тем, что в правом и левом наклонных рядах моего треугольника стоят числа, которые принято называть гармоническим рядом: 1/1,1/2,1/3,1/4, 1/5, 1/6, 1/7… Особенность этого ряда заключается в том, что сумма его членов: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7… не стремится ни к какому определенному числу — иначе говоря, она бесконечна. Не то что, скажем, другой ряд: 1/2 + 1/2