— Уймитесь, — остановил его Мате. — Наш ряд уже кончился.
— Ну и что же! — горячился Фило. — Да будет вам известно, что числам нет конца.
— Благодарю за новость. Давно ли вы узнали это от меня, и вот уже я узнаю́ это от вас. Ну да ладно! Назовите-ка числа, оставшиеся незачеркнутыми.
— Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать, семнадцать, девятнадцать, двадцать три, двадцать девять, — перечислил Фило.
— Вот вам и первые простые числа.
— А последние какие?
— Никакие, разумеется. По той причине, что простым числам, так же как натуральным, конца нет.
— И вы беретесь это доказать?
— Зачем же доказывать то, что давным-давно доказал Эвклид? Другое дело, если вы спросите, какое наибольшее простое число известно на сегодняшний день…
— В самом деле, какое?
— Два в степени девятнадцать тысяч девятьсот тридцать семь минус единица. Это сокращенно! А чтобы изобразить его полностью, нужно шесть тысяч две цифры.
Фило свистнул. Вот так простое число! Хоть на телеграфной ленте записывай…
— И все же от этого оно не перестает быть простым. Что действительно непросто, так это найти закон, по которому простые числа распределяются среди чисел натуральных.
— Как? — удивился Фило. — Разве он до сих пор не известен?
— Нет. Впрочем, выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышёв нашел метод, позволяющий приближенно определять, сколько простых чисел расположено на отрезке натурального ряда. Но это уж разговор не для вас, — поспешно прервал себя Мате, заметив, что Фило приготовился к новому вопросу. — Кстати, знаете вы, что когда-то способ Эратосфена напоминал решето не только в переносном, но и в прямом смысле? Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском. При этом составные числа он не зачеркивал, а протыкал острой палочкой. И вскоре дощечка и впрямь начинала походить на решето, хотя и не сквозное.
— Вероятно, решето все-таки не единственное изобретение Эратосфена? — тактично полюбопытствовал Фило.
Вместо ответа Мате вышел в прихожую, порылся в рюкзаке и принес какой-то странный прибор. Осмотрев его, Фило заметил не без юмора, что Эратосфен питал пристрастие к домашнему хозяйству: сперва изобрел решето, потом — подставку для чайника.
Он приподнял чайник, обнажив лежащую под ним складную металлическую гармошку. Мате подтвердил, что некоторое сходство действительно есть, но весь фокус в том, что с помощью прибора Эратосфена решалась одна из знаменитых задач древности, тогда как подставка на это решительно не способна.
— Любезный Дон-Кихот, — вкрадчиво попросил Фило, — просветите вашего верного Санчо. О каких знаменитых задачах речь?
Мате посмотрел на друга с досадой и в то же время с тайной гордостью. Право же, любопытство его становится угрожающим!
— А кто выпустил джинна из бутылки? — парировал Фило. — Не вы ли? Вот и расхлебывайте.
Делийская задача
— Нам известны три неразрешимые задачи древности, — начал Мате, — квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба…
— Почему же неразрешимые? — с ходу перебил Фило. — Вы же сами сказали, что Эратосфен решил одну из них посредством своего замысловатого прибора.
— Решить-то решил, но незаконно. Потому что по условию решать эти задачи можно было, пользуясь только двумя простейшими приспособлениями: линейкой без делений и циркулем.
— Что за глупое условие! — фыркнул Фило. — Не все ли равно, каким способом решать? Главное — добиться правильного ответа.
— Ошибаетесь, уважаемый Санчо. Решить задачу, ничего не вычисляя, манипулируя только линейкой и циркулем, — большое искусство. Оно требует изобретательности, остроумия, я бы даже сказал — таланта. Представьте себе: вам даны три отрезка, которые должны стать медианами некоего треугольника. Попробуйте построить этот треугольник, не прибегая ни к чему, кроме слепой линейки и циркуля.
— Увы! — вздохнул Фило. — Для этого надо знать геометрию.
— Золотые слова, хоть и не новые. Нечто подобное сказал Платон еще в четвертом веке до нашей эры. На фронтоне его афинской Академии было начертано: «Не знающий геометрии да не входит сюда!» И вот почему именно к Платону обратились за помощью делийцы, когда произошла история с удвоением куба.
— Вас не поймешь, — рассердился Фило. — То вы говорили, что удвоение куба — задача, теперь это уже история…
Но Мате попросил его не придираться к словам: удвоение куба, как и всякая задача, имеет свою историю.
В IV веке до нашей эры на острове Де́лос в городе Де́льфах вспыхнула эпидемия чумы. Что в таких случаях думают древние люди? Они думают, что прогневили богов, и, естественно, стараются узнать, каким образом их умилостивить. А посему делийцы обратились за советом к знаменитому дельфийскому оракулу, и тот изрек им волю небожителей: бедствие прекратится, когда в дельфийском храме воздвигнут жертвенник, объемом ровно вдвое больше прежнего, причем форма жертвенника — куб — должна оставаться неизменной.
Ознакомясь с задачей, Платон якобы сказал, что боги задали ее в укор и назидание грекам, которые мало думают о математике и пренебрегают геометрией.
— Стало быть, задача показалась ему очень трудной, — заключил Фило. — Но почему? Увеличьте ребро куба в два раза — вот вам и удвоение.
Мате сказал, что решение поистине царское, потому что именно так пытался решить задачу об удвоении куба критский царь Мино́с. При этом объем получился у него не в два, а в восемь раз больше прежнего, так как объем куба равен кубу его ребра, а два в кубе вроде бы восемь… Но Фило тут же сообразил, что длину ребра можно найти и другим способом. Допустим, объем прежнего куба равен единице. Тогда объем нового должен быть равен двум. Значит, извлеките корень кубический из двух, и дело в шляпе.
На сей раз Мате признал, что Фило рассуждает правильно, но вот беда: извлечь корень кубический из двух можно только приближенно. Ведь это число иррациональное, иначе — несоизмеримое с единицей!
— Ничего, — не сдавался Фило, — можно небось подобрать и такую длину ребра, чтобы корень извлекался. Пусть, например, ребро куба равно двум. Тогда объем будет равен восьми, а удвоенный объем — шестнадцати. Извлечем корень кубический из шестнадцати…
— И снова получим иррациональное число. Ведь что такое шестнадцать? Это восемь, умноженное на два. Из восьми корень кубический извлекается, а из двух — нет. А так как при удвоении множитель два под корнем неизбежен, значит, подобрать длину ребра, которая была бы числом рациональным, нельзя:
— Странно, странно и в третий раз странно. Выходит, удвоение куба вообще невозможно?
— Невозможно с помощью слепой линейки и циркуля. Но есть в геометрии и другие способы. Вместо того чтобы извлекать корень, который нельзя вычислить точно, можно найти длину ребра непосредственно на чертеже. Именно так и поступали древние греки. А так как это работа кропотливая, Эратосфен решил упростить ее и придумал прибор, который находит длину ребра механически.
— Платон, наверное, сказал бы, что Эратосфен сплутовал, — предположил Фило.
— Это вы хорошо заметили, — похвалил Мате. — Эратосфен тоже не сомневался, что Платон бы его по головке не погладил.
— Откуда вы знаете?
— От самого Эратосфена. Он написал сочинение «Платоник», где немалое место занимает задача об удвоении куба. Способы решения обсуждают греческие математики Архи́т, Мене́хм, Эвдо́кс и, конечно, сам Платон. И когда заходит речь о применении механического прибора, Эратосфен, искусно подделываясь под стиль Платона, заставляет его высказать свое неодобрение.
— Знаете, — неожиданно заявил Фило, — по-моему, Платон прав. Людям не следует избавлять себя от необходимости думать.
— Согласен, — кивнул Мате, — но у Платона были на этот счет и другие соображения. Как философ-идеалист он презирал все материальное, преходящее, осязаемое. Грубое плотницкое приспособление принижало в его глазах науку. Кроме того, всякий механический прибор неминуемо связан с движением. Вот и прибор Эратосфена основан на передвижении планок. А в те времена вводить движение в геометрию считалось дурным тоном. Так полагали и Платон, и ученик его Аристотель, а вслед за Аристотелем друг наш Хайям. Между прочим, доказательство пятого постулата, принадлежащее ал-Хайсаму, Хайям критиковал как раз за то, что в нем есть элемент движения…
— Хорошо, что вы вспомнили о Хайяме! — обрадовался Фило. — Интересно, как он умудрялся решать кубические уравнения с помощью конических сечений?
— Прекрасный вопрос! — воодушевился Мате. — Только что собирался рассказать вам о способе Менехма.
— При чем тут Менехм?
— Сейчас поймете, если только нальете мне еще стакан вашего несравненного чая.
Снова конические сечения
— Так вот, — продолжал Мате, помешивая ложечкой в стакане, — вы сами установили, что задача об удвоении куба сводится к вычислению корня кубического из двух. На языке современной алгебры это можно записать так: х = 3√2, что вытекает из известного еще в Древнем Вавилоне уравнения х3 = 2. Менехм предложил записать это уравнение в виде двойной порции:
— Не понимаю, — сказал Фило, — откуда взялся игрек?
Мате возвел очи к небу. О господи! Он и забыл, что для Фило алгебраические преобразования — китайская грамота.
— Исключите из этих двух пропорций смущающий вас игрек, и вы снова получите х3 = 2, — объяснил он, доставая блокнот. — Смотрите. Из пропорции 1 : х = х : у следует, что у = х2. Подставьте в равенство хy = 2 вместо игрека х2, и получится, что х3 = 2. Теперь вы видите, что от преобразования Менехма наше уравнение ничуть не изменилось.
— Зачем же было переливать из пустого в порожнее?