ех коэффициентов.
— Все это хорошо, — мнется Фило, — но как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, что тогда?
— Хороший вопрос, — одобряет Асмодей. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени п.
— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.
(O + P)0 = 1
(О + Р)1 = О + Р,
(О + Р)2 = О2 + 2ОР + Р2,
(О + Р)3 = О3 + ЗО2Р+ЗОР2+Р3,
(О + Р)4 = О4 + 4О3Р + 6О2Р2 + 4ОР3 + Р4.
Остается выписать отдельно все коэффициенты:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
— Ой, — изумляется Фило, — это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.
— Умница! — одобряет Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.
Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить эти неожиданные совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.
— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…
— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаа́ка Нью́тона и немца Го́тфрида Ле́йбница.
— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Всё, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.
— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет он в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?
— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой занимались и Ферма, и Паскаль, и Гю́йгенс[45], который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома.
Фило озабоченно хмурится.
— Бином Ньютона… Как сказал поэт, «все это уж было когда-то, но только не помню, когда». В десятом классе, кажется…
— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…
— От французского «комбинезо́н» — «сочетание», — поясняет Асмодей.
— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два: C52. А в общем виде число сочетаний из п предметов по k: Cnk. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:
— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.
— Могли бы и не спрашивать. Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,
Мате хочет еще напомнить, что 2n, то бишь сумма всех коэффициентов в разложении степени бинома, это и есть число всех возможных случаев, но вдруг умолкает и начинает прислушиваться: теперь вместо звона монеты и пьяных голосов из караулки вырываются другие, довольно-таки устрашающие звуки.
— По-моему, там храпят, — говорит он опасливым шепотом.
— Да, — соглашается Асмодей. — Похоже, они уже того… готовы.
— Так что же мы сидим! — ахает Фило. — Чего доброго, опоздаем на премьеру.
И, осторожно перешагнув через спящих на полу мушкетеров, компания благополучно достигает противоположной двери караулки, которая выпускает их в парк.
Версальское представление
— «Чертог сиял! Гремели хором певцы при звуках флейт и лир», — декламирует Фило, любуясь освещенным дворцом.
— Не увлекайтесь, мсье, — остерегает его бес. — Поэты ревнивы. Уместно ли, собираясь на спектакль Мольера, цитировать Пушкина?
— Пушкина, к вашему сведению, уместно цитировать всегда. Но мне что-то не нравится эта суета за окнами. Что она означает? Может статься, антракт?
— Если бы, мсье!
— Как?! Вы хотите сказать, что представление уже окончилось? Уж эта мне шляпа! Знал бы я, что́ из-за нее потеряю…
Но черт полагает, что все к лучшему. Опоздали на одно представление — посмотрят другое. Кстати, оно уже начинается.
В ту же секунду, словно покоряясь неслышному приказу, центральные двери дворца распахиваются, площадку перед ним запруживает причудливо костюмированная толпа, и парк наполняется многоголосым растревоженным гулом.
— Неслыханно! — раздается повсюду. — Этот Мольер окончательно обнаглел… Его величество слишком избаловал его…
— Подумать только! — захлебывается коротышка с непомерно толстыми икрами (за спиной у него болтаются золоченые крылышки и лук, из чего следует, что он изображает амура). — Вывести на сцену духовное лицо в качестве проходимца и обманщика! На это способен разве что безумец.
— Безумцам место в сумасшедшем доме, — надменно басит усатая «пастушка», чей мощный торс чудом втиснут в узкий балетный корсаж.
— Ваша правда, мадам, — жеманно изгибается «амур». — И будь на то моя воля, уж я бы сумел привести ваш приговор в исполнение.
На дворцовом крыльце появляется мажордом в алой ливрее.
— Карету ее величества! — провозглашает он, стукнув высоким жезлом о мраморную площадку.
Гул переходит в почтительный шелест.
— Слышали? Ее величество покидает Версаль!
— Королева-мать покидает Версаль…
— Какой скандал!
— Праздник испорчен! — неожиданно громко басит «пастушка».
Замечание ее разом пресекает какие бы то ни было высказывания. И в напряженной тишине, подобно оперной примадонне, готовящейся спеть свою коронную арию, на крыльце возникает дама в черном — царственная, разгневанная, с тяжелыми, припухшими веками над некогда прекрасными глазами.
Мате дергает Фило за рукав.
— Это кто же такая будет?
— Судя по всему, Анна Австрийская, дражайшая родительница нашего ненаглядного Луи.
— Кто б мог подумать! — наивно изумляется Мате. — Так это из-за нее д’Артаньян ездил в Англию за бриллиантовыми подвесками?
— Не забывайте, — вмешивается Асмодей, — что романтическая история с подвесками произошла достаточно давно, когда прекрасная Анна была не так толста и не так устрашающе набожна. Кроме того, сильно подозреваю, что она (история, а не Анна!) — выдумка мсье Дюма-отца, который, как известно, весьма бесцеремонно обращался с историческими фактами.
— Ну, с подвесками, может, никакой истории и не было, — соглашается Фило. — Зато была другая. Не успел закрыть глаза этот слабохарактерный Людовик Тринадцатый, как у власти тотчас оказались мамаша малолетнего престолонаследника, регентша Анна Австрийская, и ее тайный супруг, кардинал Мазари́ни.
— Это, случайно, не он? — Мате косится на важного сановника, помогающего Анне спускаться по лестнице.
— Фи, фи и в третий раз фи, — балагурит Асмодей. — Мазарини в компании таких же прохвостов вот уже три года жарится у нас в преисподней. Же ву засю́р… Уверяю вас! А тот, о ком вы спрашиваете, — председатель парижского парламента Ламуаньо́н. Он же по совместительству один из главарей общества Святых даров, которому, кстати сказать, деятельно покровительствует королева-матушка.
— Что за общество? — интересуется Мате.
— В сущности, тайная полиция нравов, — поясняет Фило. — Разветвленная негласная организация, которая только и смотрит: не завелось ли где опасного вольнодумства и ереси?
— А негласная почему? В монархическом государстве обществу с такими «благородными» целями вроде бы прятаться незачем.
Фило тонко улыбается. Все не так просто! В том-то и дело, что подлинная цель этого общества — не столько искоренение еретиков, сколько борьба за политическое главенство. Аристократы и церковники, из которых оно состоит, вовсе не жаждут, чтобы власть целиком сосредоточилась в руках короля. Напротив, все их усилия направлены на то, чтобы не дать вышибить себя из седла…