тпр равен половине от ста двадцати, то есть 60°, — заканчивает Фило. — Это даже я понимаю!
— Растёте на глазах, — ухмыляется Мате. — Ну, а если те же рассуждения применить к углам птр и трп?
— Тогда станет совершенно ясно, что каждый из трех углов треугольника тпр равен 60°, — соображает Фило. — И стало быть, треугольник тпр — рав-но-сто-рон-ний.
— Квод демонстра́ндум э́рат! Что и требовалось доказать, — торжественно заключает Асмодей.
— Не забудьте рассмотреть еще два частных случая первоначального треугольника, — напоминает Мате, — когда сумма двух сторон равна третьей и когда одна из сторон равна нулю. — Он протягивает Фило и Асмодею заранее заготовленные чертежики. — Как видите, моя теорема справедлива также и для них.
— Благодарю вас, мсье! Поверьте, мне было чрезвычайно интересно! — рассыпается бес, но неожиданно зевает и страшно смущается. — Пардон, мсье! Не подумайте, что это от вашей теоремы. Всему виной чай. Он всегда действует на меня как снотворное. С вашего разрешения я вздремну…
Он взлетает на верхнюю полку и скрывается в книге Лесажа, с силой захлопнув за собой картонную обложку. В ту же минуту оттуда начинает исходить легкое блаженное похрапывание: «Хрр-фью… хрр-фью…»
Филоматики растроганно переглядываются.
— Перерыв?
— Перерыв!
Вечер чайного дня
— Открываем наше вечернее заседание, — объявляет Фило, когда все они снова сидят за столом и Асмодей кулачком протирает заспанные глаза. — Что у нас на повестке… пардон, на чашке дня?
Бес молча указывает на рисунок, где три кавалера и одна дама играют в карты.
— Эпизод под названием «В великосветском салоне», — определяет Фило.
Все еще позевывая, Асмодей заглавие одобряет, добавив, однако, что к этому эпизоду примыкает еще один: «Встреча на улице Сен-Мишель», связанный с ним общей темой «Теория вероятностей». Кроме того, прежде чем перейти к обсуждению, не мешает установить дату…
Мате уверенно объявляет, что разговор за карточным столом мог быть только зимой 1654 года.
— Почем вы знаете? — любопытствует Фило.
— Да потому что речь шла о переезде Паскаля и герцога Роанне в Пор-Рояль. Отсюда следует, что интересующий нас эпизод происходил уже после обращения Паскаля, которое, как я выяснил, относится к 23 ноября 1654 года. И судя по тому, что маркиза об этом узнать не успела, разговор ее с де Мере отстоит не слишком далеко от указанной даты: он мог состояться в конце ноября или начале декабря.
— Мог-то мог, но вот состоялся ли? — вырывается у Фило.
— Пф! — Асмодей возмущенно фыркает и просыпается окончательно. — Не все ли равно! Важно другое: убедительно или неубедительно? Вероятно или невероятно?
— Вероятно, вероятно! — дружно успокаивают его филоматики.
— Вот и перейдем к задачам о вероятностях, изложенным шевалье де Мере, — ловко поворачивает разговор черт. — Задача первая: двое играют в кости, бросая по два кубика сразу. Один ставит на то, что хотя бы однажды выпадут две шестерки одновременно. Другой — на то, что две шестерки одновременно не выпадут ни разу. Спрашивается, сколько надо сделать бросков, чтобы шансы на выигрыш первого игрока превысили шансы второго.
— Ясно, что здесь возможны 36 комбинаций, — говорит Мате.
— Это почему же? — сейчас же придирается Фило.
— Потому, что каждая из шести граней первой кости варьируется с шестью гранями второй. Следовательно, число возможных вариантов есть 6×6, что всегда равно 36. И только один из этих 36 вариантов дает выигрыш первому игроку. Стало быть, вероятность выпадения двух шестерок очень мала: 1/36 ≈ 0,028. А вероятность невыпадения, наоборот, очень велика: 1 — 1/36 = 35/36 ≈ 0,972. При вторичном броске вероятность невыпадения сохраняется (35/36), так как она не зависит от результата первого броска. Значит, согласно теореме умножения, вероятность невыпадения с учетом обоих бросков будет уже равна произведению вероятностей каждого броска в отдельности, то есть (35/36)2. Тогда вероятность выпадения при двух бросках равна: 1 — (35/36)2, что больше вероятности выпадения при одном броске почти вдвое: 1 — (35/36)2 ≈ 1—0,95 = 0,05. Остается выяснить, каково должно быть минимальное число бросков, чтобы вероятность выпадения превысила вероятность невыпадения, то есть стала бы больше половины. Обозначим неизвестное нам число бросков через х. Тогда вероятность невыпадения (35/36)x, вероятность выпадения р = 1 — (35/36)x. Вот и все.
— Позвольте! — шебаршится Фило. — Как же всё, если икс так и остался ненайденным? И каким способом вы думаете его найти?
— Либо с помощью логарифмов, либо подбирая вместо икса числа, при которых вероятность выигрыша станет больше половины.
— Значит, именно так решали эту задачу в семнадцатом веке?
— Вот этого не скажу. К сожалению, лично мне способы Паскаля, Ферма и де Мере не известны.
— Зато известны результаты их решений, мсье. У Паскаля и Ферма х = 25. А шевалье де Мере получил два ответа: 24 и 25. И теперь у нас есть возможность выяснить, какой из них верен.
— Вот именно, — кивает Мате. — При х = 24:
р = 1 — (35/36)24 ≈ 1 — 0,5094 = 0,4906.
При х = 25:
р = 1 — (35/36)25 ≈ 1 — 0,4955 = 0,5045.
Так что правы все-таки Паскаль и Ферма: вероятность, превышающая половину — 0,5045, получается именно при х = 25.
— Слава тебе господи! — ублаготворенно вздыхает Фило. — Одна задача с плеч долой. Можно переходить к следующей…
Но в это время из знакомой нам книги Лесажа, где на обложке Хромой бес возносит в ночное небо сеньора в испанском плаще и широкополой шляпе, вырывается чей-то отчаянный баритон в сопровождении дикого кошачьего хора.
— Асмодей, Асмодей! Куда вы запропастились? Я жду вас целую вечность!
— Дон Клеофас Леандро-Перес Самбульо, — смешливым шепотом поясняет черт. — Всегда этот студент влипает в какие-то истории.
Услыхав голоса сородичей, Пенелопа и Клеопатра приходят в страшное волнение и начинают носиться по квартире как угорелые. Буль, которому передается их беспокойство, рычит, задрав голову к потолку. Но виновник переполоха и ухом не ведет.
— Асмодей! — взывает Самбульо. — Есть у вас совесть? Бросили меня на крыше, а тут какой-то кошачий симпозиум.
«Мя-а-а-у! Мя-а-а-у!» — завывают коты на крыше.
«Мяу! Мяу!» — вторят кошки в комнате.
И тут Асмодей не выдерживает (он бес не БЕСсердечный).
— Лечу, дорогой дон Леандро-Перес! — восклицает он, торопливо доедая пирог. — Продержитесь еще немного.
Он вихрем взвивается к потолку и снова исчезает за картонной обложкой, откуда сразу же доносится жалобный визг разгоняемых симпозиатов вперемешку с чертыханием Самбульо. Потом все стихает, и Асмодей с расцарапанным носом, но зато в прекрасном настроении вновь занимает место у стола.
— Ну и переделка, мсье! По-моему, там собрались все коты Мадрида. Только не пришлось им закончить свою КОТОвасию. Ко-ко-ко…
— Сходное положение. Совсем как во второй задаче де Мере, — острит Мате. — Игроки вносят деньги, но не успевают закончить игру. После чего им приходится выяснять, какая часть ставки причитается каждому.
— Добавьте, мсье, что в игре участвуют трое, бросающие трехгранные кости, и что каждый ставит на одну из граней.
— Разберемся по порядку, — начинает Мате. — Допустим, игроки условились бросать кости по очереди до тех пор, пока у одного из них задуманное число очков не выпадет, скажем, шесть раз. При этом первый, кому повезет, забирает все три ставки себе. Теперь рассмотрим такую картину. У одного игрока уже было пять удач. Значит, до выигрыша ему остается всего один счастливый бросок. У второго и третьего до выигрыша не хватает двух удачных выпадений, то есть у каждого из них задуманное число очков выпало по четыре раза. Но в это время игра по какой-то причине прерывается, и тут возникает вопрос: как разделить поставленные деньги?
— Вот так задачка! — Фило озабоченно почесывает затылок. — На месте де Мере я бы тоже ее не решил.
— Зато это сделали Ферма и Паскаль, причем каждый своим способом. И так как способ Ферма сложнее, разберем решение Паскаля. Итак, первому игроку не хватает одного угадывания. Но ведь неизвестно, как бы сложилась игра в дальнейшем. Могло ведь повезти и другим партнерам. Стало быть, НАВЕРНЯКА первому причитается 1/3 и сверх того какой-то добавок, так как к моменту прекращения игры он был все-таки впереди. Остается выяснить величину этого добавка (при этом заметьте, что до выигрыша кого-либо из игроков не хватает максимум трех бросков). Допустим, игра продолжается, и при следующем броске удача приходит ко второму игроку. Тогда его шансы уравниваются с шансами первого. Но возможность выиграть есть и у третьего. Поэтому, после того как первому отдадут одну треть ставок, надо оставшуюся часть, то есть 2/3 ставок, снова разделить на три равные части. Таким образом, первый игрок получает дополнительно одну треть от 2/3, то есть 2/9. То же, естественно, полагается и второму игроку. Значит, в кассе остается 2/3 — 2/9 — 2/9 = 2/9. Если игра все еще продолжается, то при третьем, последнем, броске, повезти может и третьему игроку. Тогда права всех партнеров на оставшиеся деньги уравниваются. А посему остаток снова следует разделить на три части. Значит, первый получает еще одну треть от 2/9, то есть 2/27. А всего ему причитается: 1/3 + 2/9 + 2/27 = 17/27.
— Можете не продолжать, — перебивает Фило. — Оставшиеся 10/27 надо поделить поровну между двумя другими игроками, по 5/27 каждому.
Ведь когда игра прервалась, шансы их на выигрыш были одинаковы.
— Итак, — заканчивает бес, — ставки следует разделить в отношении 17 : 5 : 5. А теперь подумаем, в каких отношениях разделить яблочный пирог, оставшийся после утреннего заседания.
— Прекрасная задача, — смеется Фило. — Прежде всего потому, что долго думать над ней не приходится.